Ernest Michael: Cómo elegir sin elegir mal

En 1956, un joven topólogo de la Universidad de Washington publicó un teorema sobre la toma de decisiones. Dada una regla que asigna a cada punto no un valor único, sino un conjunto completo de valores aceptables, ¿cuándo se puede elegir uno de cada uno —de forma continua, de modo que los puntos cercanos obtengan elecciones cercanas? La respuesta que dio se utiliza ahora cada vez que un economista demuestra que existe un equilibrio o un teórico del control demuestra que un sistema puede ser dirigido. Cincuenta años después, una revista dedicó un número especial completo a lo que había surgido de ello, y llamó a 1956 "el año de nacimiento de esta teoría".

Zúrich, Berlín, La Haya, Nueva York

Michael nació en Zúrich el 26 de agosto de 1925, hijo de Jacob y Erna Michael, una familia judía asquenazí.

Los siguientes catorce años se leen como el mapa de un continente que se desmorona. La familia se mudó de Berlín en 1932, el año anterior a que Hitler tomara el poder, lo que significa que leyeron la situación pronto y correctamente. Se fueron a La Haya. En 1939, con los Países Bajos a meses de la invasión, emigraron de nuevo, a Nueva York. Michael sería descrito después como estadounidense, de origen suizo y alemán; cada una de esas palabras fue comprada con una partida.

Se graduó de la Escuela Horace Mann a los quince años. Fue a Cornell, pero la guerra lo interrumpió: sirvió a bordo del USS Kwajalein de 1944 a 1946, regresando para obtener su licenciatura en 1947. Le siguió una maestría de Harvard en 1948, y en 1951 un doctorado de la Universidad de Chicago bajo la dirección de Irving Segal, con una tesis sobre álgebras topológicas localmente multiplicativamente convexas.

Cuarenta y un años en Seattle

En 1952, Michael se unió al departamento de matemáticas de la Universidad de Washington. Fue profesor asistente de 1952 a 1956, profesor asociado de 1956 a 1960 y profesor desde 1960 hasta su jubilación en 1993: cuarenta y un años en un mismo departamento, en una vida cuyos primeros catorce habían contenido tres países.

Viajó desde esa base en lugar de mudarse de nuevo: cuatro períodos separados como visitante en el Instituto de Estudios Avanzados, un año en la ETH de Zúrich en 1973-74 —de regreso a la ciudad de su nacimiento— y un año en la Universidad de Stuttgart en 1978-79.

El teorema de selección

El resultado de 1956 se refiere a los mapas de valor conjunto, a veces llamados correspondencias o multifunciones.

Una función ordinaria le da una salida por entrada. Un mapa de valor conjunto le da un conjunto completo de ellas: para cada precio, el conjunto de cantidades que una empresa podría producir de manera óptima; para cada estado de una máquina, el conjunto de controles que son permisibles. Una selección es una función ordinaria que elige un elemento de cada uno de esos conjuntos. Las selecciones siempre existen si se acepta el axioma de elección, pero generalmente serán tremendamente discontinuas, y una elección discontinua es inútil para los propósitos que la gente realmente tiene.

El teorema de selección de Michael da las condiciones bajo las cuales existe una selección continua: aproximadamente, que el dominio sea paracompacto y el mapa sea semicontinuo inferiormente con valores convexos cerrados. El teorema es la razón por la que funciona una gran parte del análisis moderno. Los argumentos de punto fijo en economía matemática, la teoría de inclusiones diferenciales, la optimización y el control dependen en algún momento de poder elegir continuamente a partir de un conjunto en movimiento.

No se detuvo en el teorema. Fundó toda la teoría de las selecciones continuas en torno a él, y el artículo de 1956 es considerado propiamente como el origen de ese campo.

La línea de Michael

Su otra construcción famosa es un contraejemplo, y es uno de los más citados en topología general.

Los topólogos han querido durante mucho tiempo que las propiedades se comporten bien bajo productos: si dos espacios son agradables, su producto debería ser agradable. La línea de Michael mata esa esperanza para un emparejamiento específico e importante. Es un espacio paracompacto cuyo producto con el espacio de los números irracionales ni siquiera es normal.

Los contraejemplos de esta calidad hacen un trabajo particular en matemáticas. Marcan el límite de lo posible y salvan a todos los que vienen después de perder años intentando una prueba de algo falso. El nombre de Michael también se asocia a la topología de producto de Michael y a resultados sobre subespacios cerrados, y publicó más de cien artículos en topología general, en Transactions, Annals y Duke, sobre hiperespacios de subconjuntos, paracompacidad, selecciones continuas y el comportamiento de los espacios normales.

Por qué se llama genio a Ernest

La evidencia más fuerte es la durabilidad de un tipo específico e inusual. Un solo artículo publicado en 1956 seguía generando nuevas matemáticas cincuenta años después, hasta el punto de que Topology and Its Applications dedicó un número especial al aniversario. Muy pocos resultados logran eso.

La calidad cognitiva involucrada vale la pena nombrarla con precisión, porque no es poder computacional puro. El don de Michael era encontrar las hipótesis exactas —las condiciones mínimas bajo las cuales una cosa deseable es verdadera, junto con los ejemplos agudos que muestran lo que sucede en el momento en que las relajas. El teorema de selección y la línea de Michael son el mismo talento mirando en direcciones opuestas: uno mapea dónde el suelo es sólido, el otro marca precisamente dónde cede. Los matemáticos de este tipo son más raros que los solucionadores de problemas y más útiles para la salud a largo plazo de un campo, porque definen su geografía.

El contraargumento honesto es que el célebre trabajo de Michael es estrecho en superficie. La topología general en la segunda mitad del siglo XX no era donde se situaba el centro de gravedad de la disciplina; su mayor honor fue la inclusión en la clase inaugural de miembros de la Sociedad Matemática Estadounidense en 2012, una distinción grande y colectiva que llegó cincuenta y seis años después del teorema. No ganó ningún Premio Wolf, ningún Premio Steele, ni ninguna membresía en academias nacionales registrada en las fuentes accesibles. Ningún colega ha dejado constancia de llamarlo genio. Gran parte de la fama del teorema de selección se toma prestada de los usuarios intermedios: economistas y teóricos del control que lo citan como un lema sin involucrarse en absoluto con su topología. Un veredicto justo es que Michael fue un matemático de precisión excepcional que encontró un teorema tan exactamente correcto que sobrevivió a la moda de su propio campo.

Legado

Michael se jubiló en 1993 y murió el 29 de abril de 2013, a los ochenta y siete años, en Seattle.

El teorema está en todos los textos de posgrado sobre análisis de valor conjunto. La línea de Michael está en todos los cursos de topología que discuten productos. Ambos se enseñan, la mayor parte del tiempo, sin que nadie mencione que su autor fue un niño judío que dejó Berlín en 1932, cruzó un océano antes de una invasión, sirvió en el Pacífico y luego se sentó en una habitación en Seattle durante cuarenta y un años y resolvió precisamente cuándo es posible elegir bien.