Arieh Iserles: Lograr que las computadoras respeten la geometría

Un planeta que orbita una estrella conserva su energía exactamente, para siempre. Simula esa estrella en una computadora usando un método numérico estándar y la energía se desviará: el planeta girará en espiral lentamente hacia el sol o hacia la oscuridad, no porque la física lo diga, sino porque la aritmética pierde precisión. Arieh Iserles pertenece al grupo de matemáticos que decidieron que esto era inaceptable y se propusieron construir algoritmos que obedezcan las leyes que codifican sus ecuaciones.

De Jerusalén al Cam

Iserles nació el 2 de septiembre de 1947 y estudió en la Universidad Hebrea de Jerusalén y en la Universidad Ben-Gurión del Néguev. Su trabajo doctoral versó sobre métodos numéricos para ecuaciones diferenciales ordinarias rígidas, un tema que parece limitado y que es todo lo contrario.

La rigidez es la patología que aparece siempre que un sistema contiene procesos que se ejecutan a escalas de tiempo radicalmente diferentes: una reacción química en la que un paso toma microsegundos y otro toma horas. Los métodos numéricos ingenuos se ven obligados a avanzar al ritmo del proceso más rápido, incluso cuando no ocurre nada interesante allí, y el cálculo se vuelve inviable. Resolver adecuadamente la rigidez fue uno de los problemas prácticos centrales de la computación científica del siglo XX, y es un buen campo de entrenamiento para alguien que dedicará su carrera al desajuste entre las matemáticas continuas y las máquinas discretas.

Cambridge, con un desvío

Llegó a Cambridge como investigador junior en King's College en 1978, se convirtió en investigador sénior allí en 1982 y pasó el período 1986-1987 como profesor asociado en la Universidad de Arizona. Luego regresó y se quedó.

Fue profesor universitario en Cambridge de 1987 a 1995, lector en análisis numérico de 1995 a 1999 y, desde 1999, es profesor de análisis numérico de ecuaciones diferenciales en el Departamento de Matemáticas Aplicadas y Física Teórica (DAMTP), el departamento en el que trabajaron Dirac y Hawking. De 2010 a 2015 dirigió el Centro de Análisis de Cambridge.

Integración geométrica

La idea central de la vida investigadora de Iserles es que una ecuación diferencial posee estructura y un buen método numérico debe preservarla.

Algunos sistemas conservan la energía. Algunos conservan el volumen en el espacio de fases. Algunos evolucionan en una variedad curvada: un cuerpo rígido en rotación, por ejemplo, cuyo estado vive en el grupo de rotaciones y nunca puede salir de él, sin importar cuánto tiempo se espere. Los métodos numéricos convencionales no saben nada de esto. Aproximan el siguiente paso y aceptan un pequeño error, y a lo largo de una simulación larga esos pequeños errores se acumulan hasta convertirse en un sinsentido cualitativo: la matriz de rotación deja de ser una rotación, la energía se desvía, la órbita es incorrecta de una manera que ninguna cantidad de precisión adicional solucionará.

La integración numérica geométrica ataca esto diseñando métodos que respetan exactamente los invariantes: integradores simplécticos para sistemas hamiltonianos, métodos que conservan el volumen y esquemas diseñados para que un sistema que vive en un grupo de Lie permanezca en él. Las propias contribuciones de Iserles se agrupan en torno a la maquinaria para esto: aproximaciones de la exponencial matricial, en particular métodos que mapean correctamente un álgebra de Lie en su grupo de Lie, y el análisis de flujos isoespectrales y estructuras de Lie-Poisson.

Oscilación, el otro caso difícil

Su segundo gran territorio son los fenómenos altamente oscilatorios, problemas en los que la solución oscila muy rápido.

Esto es una auténtica pesadilla para el análisis numérico estándar y por una razón poco intuitiva. La cuadratura ordinaria funciona mediante muestreo; si la función oscila más rápido de lo que se muestrea, no se aprende nada, y la respuesta clásica es muestrear más rápido, lo que cuesta más cuanto peor se vuelve el problema. Iserles trabajó en métodos de discretización eficaces para integrales altamente oscilatorias, una familia de técnicas en las que, sorprendentemente, la alta oscilación puede convertirse de un obstáculo en una ventaja, mejorando la precisión a medida que aumenta la frecuencia en lugar de colapsar. Amplió el enfoque a las ecuaciones diferenciales y a los espectros de operadores, y desarrolló integradores exponenciales para ecuaciones con varias escalas de oscilación que interactúan.

Su amplio abarca ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales, teoría de aproximación, polinomios ortogonales, ecuaciones funcionales y dinámica computacional.

El guardián

Iserles ha ocupado un lugar inusualmente central en las instituciones de su campo. Es director ejecutivo de Acta Numerica, el volumen de revisión anual que es esencialmente la declaración del campo sobre su situación, y editor en jefe del IMA Journal of Numerical Analysis, además de ocupar puestos en consejos directivos en otros lugares. De 1997 a 2000 presidió la Sociedad para los Fundamentos de las Matemáticas Computacionales.

Y escribió A First Course in the Numerical Analysis of Differential Equations, publicado por Cambridge University Press y ahora en su segunda edición; para un gran número de estudiantes de posgrado en todo el mundo, el libro que les enseñó la materia.

Por qué se llama genio a Arieh

La cualidad intelectual que se manifiesta es un tipo específico de inversión: tomar repetidamente la propiedad que hace que un problema sea difícil y convertirlo en la propiedad que hace que la solución funcione. El caso más claro es la integración altamente oscilatoria, donde el encuadre estándar trata la oscilación rápida como el enemigo a contrarrestar mediante muestreo, y los métodos en los que trabajó Iserles mejoran a medida que aumenta la oscilación. La integración geométrica implica el mismo movimiento a un nivel superior: dejar de tratar una ecuación diferencial como una fórmula que debe aproximarse y empezar a tratarla como un objeto geométrico cuya estructura debe preservarse. Las reformulaciones de ese tipo son más raras y difíciles que el virtuosismo técnico, y cambian lo que toda una comunidad cree que está haciendo.

El reconocimiento, sopesado honestamente, es sustancial pero centrado en el servicio. La Medalla Onsager llegó en 1999. Le siguió la Medalla David Crighton en 2012, otorgada explícitamente "por sus servicios a las matemáticas y a la comunidad matemática". El Premio SIAM por Servicio Distinguido a la Profesión llegó en 2014. Dos de esos tres tratan, según sus propias citas, sobre el servicio más que sobre el descubrimiento.

Por lo tanto, el contraargumento es real. Ningún teorema lleva el nombre de Iserles de la forma en que lo hace un método de Runge-Kutta o de Newton. La integración geométrica fue construida por una comunidad (Hairer, Lubich, Wanner, Marsden, McLachlan y otros junto a él) y él es un colaborador importante, no su único autor. Su mayor influencia mensurable puede ser editorial y pedagógica: dirigir Acta Numerica, dirigir el IMA Journal, escribir el curso introductorio estándar. Ninguna fuente accesible registra que nadie lo llame genio. Es un matemático aplicado sobresaliente y un constructor de instituciones excepcional, y la segunda mitad de esa frase hace más trabajo del que los admiradores suelen admitir.

Legado

Iserles permanece en el DAMTP, en el departamento donde trabaja desde 1987.

El programa que ayudó a impulsar ha ganado silenciosamente. Los integradores simplécticos y que conservan la estructura son ahora estándar en la dinámica molecular, la mecánica celeste, la física de plasmas y el diseño de aceleradores, en cualquier lugar donde una simulación tenga que ejecutarse durante mucho tiempo y seguir siendo creíble al final. La idea subyacente es tanto filosófica como técnica: un método numérico no es un instrumento neutral para aproximar una ecuación. Es un pequeño sistema dinámico por derecho propio y, si se construye descuidadamente, te contará una historia sobre un universo que no existe.