El postulado de las paralelas de Euclides
El postulado de las paralelas afirma: dada una recta y un punto que no pertenece a ella, existe exactamente una recta que pasa por dicho punto y es paralela a la recta dada. Esto parece obvio. Pero, a diferencia de los otros postulados de Euclides, no es evidente por sí mismo. Durante 2.000 años, los matemáticos asumieron que podía derivarse de los otros. No se puede.
La geometría hiperbólica de Lobachevsky
Lobachevsky (1829) y Bolyai (1832) demostraron independientemente que, si se asume que por un punto pasan infinitas rectas paralelas, se obtiene una geometría consistente: la geometría hiperbólica. En el espacio hiperbólico, la suma de los ángulos de un triángulo es menor de 180°, y la geometría tiene curvatura negativa (similar a la superficie de una silla de montar).
La extensión de Riemann
Bernhard Riemann (1854) generalizó aún más: también pueden existir cero rectas paralelas (geometría esférica, donde los círculos máximos siempre se cortan). Y la geometría no tiene por qué ser plana ni siquiera en tres dimensiones: el propio espacio puede curvarse. Esto se convirtió en el marco matemático que Einstein utilizó para la relatividad general 60 años después.
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Hacer la prueba de CI →Rechazo y reivindicación
Lobachevsky publicó sus resultados en 1829; fueron ridiculizados e ignorados. El padre de Bolyai envió el trabajo a Gauss, quien respondió que ya había pensado en todo esto años antes (probablemente cierto, pero nunca lo publicó). Lobachevsky murió sin ver su trabajo aceptado. La reivindicación llegó con la generalización de Riemann y, finalmente, con la confirmación de Einstein de que el espacio está genuinamente curvado.
Preguntas frecuentes
¿Qué es la geometría no euclidiana?
La geometría no euclidiana es cualquier geometría que rechaza el postulado de las paralelas de Euclides. En la geometría hiperbólica (Lobachevsky, Bolyai), pasan múltiples rectas paralelas por un punto dado; en la geometría esférica (Riemann), no pasa ninguna. Ambas son internamente consistentes y describen espacios físicos reales.
¿Quién inventó la geometría no euclidiana?
Nikolai Lobachevsky (Rusia, 1829) y János Bolyai (Hungría, 1832) descubrieron de forma independiente la geometría hiperbólica no euclidiana. Gauss afirmó más tarde haberla descubierto independientemente, pero nunca la publicó. Riemann las generalizó todas en 1854.
¿Cómo se relaciona la geometría no euclidiana con Einstein?
La relatividad general de Einstein (1915) utiliza la geometría riemanniana para describir la gravedad como la curvatura del espacio-tiempo tetradimensional. Los objetos masivos curvan la geometría del espacio; lo que experimentamos como atracción gravitatoria es el movimiento a lo largo de geodésicas curvas. Sin la geometría no euclidiana, la relatividad general no tendría lenguaje matemático.