Qué dice el teorema
El Último teorema de Fermat establece: no existen números enteros positivos x, y, z y un entero n > 2 tales que xⁿ + yⁿ = zⁿ. Para n = 2, existen infinitas soluciones (ternas pitagóricas: 3² + 4² = 5², etc.). Para n ≥ 3, el teorema afirma que no hay ninguna. Sencillo de enunciar; extraordinariamente difícil de demostrar.
Tres siglos de intentos
Euler demostró el caso n = 3 en 1770. Dirichlet y Legendre demostraron n = 5 en 1825. Lamé demostró n = 7 en 1839. Kummer demostró el teorema para todos los «primos regulares» en 1850. En la década de 1980, el Último teorema de Fermat había sido verificado computacionalmente para todo n hasta 125.000, pero la computación no es una demostración. El caso general se resistió a todos.
La demostración de Wiles
Andrew Wiles había estado obsesionado con Fermat desde que lo leyó a los 10 años. En 1986, Ken Ribet demostró que la conjetura de Taniyama-Shimura implica el Último teorema de Fermat: si todas las curvas elípticas son modulares, entonces el teorema es cierto. Wiles pasó 7 años en secreto demostrando la conjetura de Taniyama-Shimura para curvas elípticas semiestables. Anunció la demostración en junio de 1993. Se encontró un error. Tras 14 meses de trabajo adicional, la demostración completa apareció en 1995: 130 páginas de teoría de números de vanguardia. El margen era, de hecho, demasiado estrecho para la prueba de Fermat, porque es casi seguro que su demostración no existía.
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¿Qué es el Último teorema de Fermat?
El Último teorema de Fermat establece que para enteros n > 2, no existen soluciones en números enteros positivos para xⁿ + yⁿ = zⁿ. Para n = 2, las soluciones son abundantes (ternas pitagóricas como 3,4,5). Fermat afirmó tener una demostración en 1637 pero nunca la escribió. Andrew Wiles lo demostró en 1995 utilizando curvas elípticas y formas modulares, matemáticas que no existían en la época de Fermat.
¿Tenía realmente Fermat una demostración?
Casi con seguridad no. La demostración de Wiles utiliza matemáticas del siglo XX (curvas elípticas, formas modulares, representaciones de Galois) que Fermat no podría haber conocido. Las demostraciones de casos especiales (n=3, n=5, n=7) ya requerían innovaciones sustanciales más allá de la era de Fermat. El consenso es que Fermat tenía un argumento defectuoso que no revisó cuidadosamente, o que se confundió con un resultado relacionado más sencillo.
¿Cómo demostró Andrew Wiles el Último teorema de Fermat?
Wiles demostró la conjetura de Taniyama-Shimura para curvas elípticas semiestables: cada una de esas curvas corresponde a una forma modular. Ken Ribet había demostrado anteriormente que esto implica el Último teorema de Fermat. Wiles trabajó en secreto durante 7 años en Princeton, anunció una demostración en 1993 (que tenía un fallo), y completó la demostración corregida en 1994, publicada en 1995 en 130 páginas.