Évariste Galois

Évariste Galois

Évariste Galois (/ɡælˈwɑː/; französisch: [evaʁist ɡalwa]; 25. Oktober 1811 – 31. Mai 1832) war ein französischer Mathematiker und politischer Aktivist. Noch als Teenager konnte er eine notwendige und hinreichende Bedingung für die Lösbarkeit von Polynomen durch Radikale bestimmen und löste damit ein Problem, das 350 Jahre lang ungelöst war. Seine Arbeit legte den Grundstein für die Galois-Theorie und die Gruppentheorie, zwei wichtige Zweige der abstrakten Algebra.

Galois war ein überzeugter Republikaner und stark in die politischen Unruhen verwickelt, die die Französische Revolution von 1830 begleiteten. Aufgrund seines politischen Aktivismus wurde er wiederholt verhaftet und verbüßte eine mehrmonatige Gefängnisstrafe. Aus unklaren Gründen kämpfte Galois kurz nach seiner Entlassung aus dem Gefängnis in einem Duell und erlag den erlittenen Wunden.

Leben

### Frühes Leben

Galois wurde am 25. Oktober 1811 als Sohn von Nicolas-Gabriel Galois und Adélaïde-Marie (geb. Demante) geboren. Sein Vater war Republikaner und leitete die liberale Partei von Bourg-la-Reine. Nach der Rückkehr von Ludwig XVIII. auf den Thron im Jahr 1814 wurde sein Vater Bürgermeister des Dorfes. Seine Mutter, die Tochter eines Juristen, las fließend Latein und klassische Literatur und war für die Erziehung ihres Sohnes in dessen ersten zwölf Lebensjahren verantwortlich.

Im Oktober 1823 trat er in das Lycée Louis-le-Grand ein, wo sein Lehrer Louis Paul Émile Richard seine Brillanz erkannte. Im Alter von 14 Jahren begann er, sich ernsthaft für Mathematik zu interessieren.

Galois fand eine Ausgabe von Adrien-Marie Legendres Éléments de Géométrie, die er angeblich „wie einen Roman“ las und beim ersten Lesen beherrschte. Mit 15 Jahren las er die Originalarbeiten von Joseph-Louis Lagrange, wie Réflexions sur la résolution algébrique des équations, was wahrscheinlich seine spätere Arbeit zur Gleichungstheorie motivierte, sowie Leçons sur le calcul des fonctions, eine Arbeit, die für professionelle Mathematiker gedacht war. Seine Schularbeiten blieben jedoch uninspirierend und seine Lehrer warfen ihm vor, sich als Genie aufzuspielen.

### Angehender Mathematiker

Im Jahr 1828 versuchte Galois die Aufnahmeprüfung für die École Polytechnique, die prestigeträchtigste mathematische Einrichtung Frankreichs zu dieser Zeit, ohne die übliche Vorbereitung, und scheiterte aufgrund mangelnder Erklärungen in der mündlichen Prüfung. Im selben Jahr trat er in die École Normale (damals als l'École préparatoire bekannt) ein, eine zu dieser Zeit deutlich schlechtere Einrichtung für mathematische Studien, wo er einige Professoren fand, die mit ihm sympathisierten.

Im folgenden Jahr wurde Galois' erste Arbeit über einfache Kettenbrüche veröffentlicht. Etwa zur gleichen Zeit begann er mit grundlegenden Entdeckungen in der Theorie der polynomialen Gleichungen. Er reichte zwei Arbeiten zu diesem Thema bei der Akademie der Wissenschaften ein. Augustin-Louis Cauchy begutachtete diese Arbeiten, weigerte sich jedoch aus noch immer unklaren Gründen, sie zur Veröffentlichung anzunehmen. Entgegen vieler gegenteiliger Behauptungen wird jedoch weithin angenommen, dass Cauchy die Bedeutung von Galois' Arbeit erkannte und lediglich vorschlug, die beiden Arbeiten zu einer einzigen zusammenzufassen, um sie für den Wettbewerb um den Großen Preis der Akademie für Mathematik einzureichen. Cauchy, ein bedeutender Mathematiker der Zeit, wenn auch mit politischer Einstellung diametral entgegengesetzt zu Galois, betrachtete Galois' Arbeit als potenziellen Gewinner.

Am 28. Juli 1829 starb Galois' Vater durch Suizid nach einem bitteren politischen Streit mit dem Dorfpfarrer. Ein paar Tage später unternahm Galois seinen zweiten und letzten Versuch, in die Polytechnique aufgenommen zu werden, und scheiterte erneut. Es ist unbestritten, dass Galois mehr als qualifiziert war; die Berichte darüber, warum er scheiterte, gehen auseinander. Plausible Berichte besagen, dass Galois zu viele logische Sprünge machte und den inkompetenten Prüfer verwirrte, was Galois erzürnte. Der kürzliche Tod seines Vaters könnte ebenfalls sein Verhalten beeinflusst haben.

Nachdem ihm die Aufnahme in die École Polytechnique verweigert worden war, legte Galois die Abiturprüfungen ab, um in die École Normale einzutreten. Er bestand und erhielt sein Diplom am 29. Dezember 1829. Sein Mathematikprüfer berichtete: „Dieser Schüler drückt seine Ideen manchmal undeutlich aus, aber er ist intelligent und zeigt einen bemerkenswerten Forschungsgeist.“

Galois reichte seine Abhandlung zur Gleichungstheorie mehrmals ein, sie wurde jedoch zu seinen Lebzeiten nie veröffentlicht. Obwohl sein erster Versuch von Cauchy abgelehnt wurde, reichte er sie im Februar 1830 auf Cauchys Vorschlag hin beim Sekretär der Akademie, Joseph Fourier, zur Begutachtung für den Großen Preis der Akademie ein. Leider starb Fourier kurz darauf und die Abhandlung ging verloren. Der Preis wurde in diesem Jahr posthum an Niels Henrik Abel sowie an Carl Gustav Jacob Jacobi verliehen. Trotz der verlorenen Abhandlung veröffentlichte Galois in diesem Jahr drei Arbeiten. Eine legte den Grundstein für die Galois-Theorie. Die zweite befasste sich mit der numerischen Lösung von Gleichungen (in moderner Terminologie Wurzelfindung). Die dritte war eine wichtige Arbeit in der Zahlentheorie, in der das Konzept eines endlichen Körpers erstmals artikuliert wurde.

### Politischer Brandstifter

Galois lebte in einer Zeit politischer Unruhen in Frankreich. Karl X. war 1824 auf Ludwig XVIII. gefolgt, doch 1827 erlitt seine Fraktion einen großen Wahlrückschlag und bis 1830 bildete die liberale Oppositionspartei die Mehrheit. Karl, konfrontiert mit politischem Widerstand der Kammern, inszenierte einen Staatsstreich und erließ seine berüchtigten Juli-Verordnungen, was die Julirevolution auslöste, die mit der Krönung von Ludwig Philipp I. zum König endete. Während ihre Pendants an der Polytechnique auf der Straße Geschichte schrieben, war Galois an der École Normale vom Direktor der Schule eingesperrt worden. Galois war empört und schrieb einen vernichtenden Brief, in dem er den Direktor kritisierte, den er bei der Gazette des Écoles einreichte und mit vollem Namen unterzeichnete. Obwohl der Herausgeber der Gazette die Unterschrift für die Veröffentlichung ausließ, wurde Galois verwiesen.

Obwohl sein Ausschluss formal erst am 4. Januar 1831 in Kraft getreten wäre, verließ Galois die Schule sofort und trat der dezidiert republikanischen Artillerieeinheit der Nationalgarde bei. Er teilte seine Zeit zwischen seiner mathematischen Arbeit und seinen politischen Zugehörigkeiten auf. Aufgrund der Kontroverse um die Einheit wurde die Artillerie der Nationalgarde kurz nach Galois' Eintritt am 31. Dezember 1830 aufgelöst, aus Angst, sie könnten die Regierung destabilisieren. Etwa zur gleichen Zeit wurden neunzehn Offiziere von Galois' ehemaliger Einheit verhaftet und wegen Verschwörung zum Sturz der Regierung angeklagt.

Im April 1831 wurden die Offiziere von allen Vorwürfen freigesprochen, und am 9. Mai 1831 wurde ein Bankett zu ihren Ehren abgehalten, an dem viele illustre Personen wie Alexandre Dumas teilnahmen. Das Verfahren wurde tumultartig. Irgendwann stand Galois auf und schlug einen Toast vor, bei dem er mit einem Dolch über seinem Becher sagte: „Auf Ludwig Philipp“. Die Republikaner auf dem Bankett interpretierten Galois' Toast als eine Drohung gegen das Leben des Königs und jubelten. Er wurde am nächsten Tag im Haus seiner Mutter verhaftet und bis zu seinem Prozess am 15. Juni 1831 im Gefängnis Sainte-Pélagie festgehalten. Galois' Verteidiger behauptete geschickt, Galois habe eigentlich gesagt: „Auf Ludwig-Philipp, falls er verrät“, aber dass der Zusatz im Jubel untergegangen sei. Der Staatsanwalt stellte einige weitere Fragen, und vielleicht beeinflusst durch Galois' Jugend, sprach ihn die Jury am selben Tag frei.

Am folgenden Bastille-Tag (14. Juli 1831) stand Galois an der Spitze eines Protests, trug die Uniform der aufgelösten Artillerie und war schwer bewaffnet mit mehreren Pistolen, einem geladenen Gewehr und einem Dolch. Er wurde erneut verhaftet. Während seines Gefängnisaufenthalts trank Galois einmal auf Anstiften seiner Mitgefangenen zum ersten Mal Alkohol. Einer dieser Insassen, François-Vincent Raspail, notierte in einem Brief vom 25. Juli, was Galois im betrunkenen Zustand sagte. Auszug aus dem Brief:

> Und ich sage dir, ich werde in einem Duell aus Anlass irgendeiner coquette de bas étage sterben. Warum? Weil sie mich einladen wird, ihre Ehre zu rächen, die ein anderer kompromittiert hat.

Weißt du, was mir fehlt, mein Freund? Ich kann es nur dir anvertrauen: Es ist jemand, den ich lieben kann, und nur im Geiste lieben kann. Ich habe meinen Vater verloren und niemand hat ihn je ersetzt, hörst du mich...?

Raspail fährt fort, dass Galois, immer noch im Delirium, versucht habe, sich das Leben zu nehmen, und dass er Erfolg gehabt hätte, wenn ihn seine Mitgefangenen nicht gewaltsam gestoppt hätten. Monate später, als Galois' Prozess am 23. Oktober stattfand, wurde er wegen unrechtmäßigen Tragens einer Uniform zu sechs Monaten Gefängnis verurteilt. Während der Haft entwickelte er seine mathematischen Ideen weiter. Er wurde am 29. April 1832 entlassen.

### Letzte Tage

Galois kehrte nach seinem Ausschluss von der École Normale zur Mathematik zurück, obwohl er weiterhin Zeit mit politischen Aktivitäten verbrachte. Nachdem sein Ausschluss im Januar 1831 offiziell geworden war, versuchte er, einen Privatkurs in höherer Algebra zu starten, der ein gewisses Interesse weckte, was jedoch nachließ, da sein politischer Aktivismus Vorrang zu haben schien. Siméon Denis Poisson bat ihn, seine Arbeit zur Gleichungstheorie einzureichen, was er am 17. Januar 1831 tat. Um den 4. Juli 1831 erklärte Poisson Galois' Arbeit für „unverständlich“ und stellte fest, dass „[Galois'] Argumentation weder klar noch ausreichend entwickelt ist, um ihre Strenge beurteilen zu können“; der Ablehnungsbericht endet jedoch mit einer ermutigenden Note: „Wir würden dem Autor dann vorschlagen, seine gesamte Arbeit zu veröffentlichen, um sich eine endgültige Meinung bilden zu können.“ Während Poissons Bericht vor Galois' Verhaftung am 14. Juli verfasst wurde, dauerte es bis Oktober, bis er Galois im Gefängnis erreichte. Angesichts seines Charakters und seiner Situation zu der Zeit ist es nicht überraschend, dass Galois heftig auf den Ablehnungsbrief reagierte und beschloss, die Veröffentlichung seiner Arbeiten über die Akademie aufzugeben und sie stattdessen privat durch seinen Freund Auguste Chevalier zu veröffentlichen. Anscheinend ignorierte Galois Poissons Rat jedoch nicht, da er noch im Gefängnis anfing, alle seine mathematischen Manuskripte zu sammeln und seine Ideen bis zu seiner Freilassung am 29. April 1832 weiter verfeinerte, wonach er irgendwie zu einem Duell überredet wurde.

Galois' tödliches Duell fand am 30. Mai statt. Die wahren Motive hinter dem Duell sind unklar. Es gab viele Spekulationen darüber. Bekannt ist, dass er fünf Tage vor seinem Tod einen Brief an Chevalier schrieb, der deutlich auf eine zerbrochene Liebesbeziehung anspielt.

Einige Archivuntersuchungen der Originalbriefe deuten darauf hin, dass die Frau von romantischem Interesse Stéphanie-Félicie Poterin du Motel war, die Tochter des Arztes in der Herberge, in der Galois die letzten Monate seines Lebens verbrachte. Fragmente von Briefen von ihr, die von Galois selbst kopiert wurden (wobei viele Teile, wie ihr Name, entweder unkenntlich gemacht oder absichtlich ausgelassen wurden), sind verfügbar. Die Briefe deuten darauf hin, dass Poterin du Motel Galois einige ihrer Sorgen anvertraut hatte, was ihn möglicherweise dazu veranlasst haben könnte, das Duell selbst in ihrem Namen zu provozieren. Diese Vermutung wird auch durch andere Briefe gestützt, die Galois später in der Nacht vor seinem Tod an seine Freunde schrieb. Als Galois' Cousin Gabriel Demante gefragt wurde, ob er die Ursache des Duells kenne, erwähnte er, dass Galois „sich im Beisein eines vermeintlichen Onkels und eines vermeintlichen Verlobten wiederfand, von denen jeder das Duell provozierte.“ Galois selbst rief aus: „Ich bin das Opfer einer berüchtigten Kokotte und ihrer zwei Dummköpfe.“

Was seinen Gegner im Duell betrifft, so nennt Alexandre Dumas Pescheux d'Herbinville, der tatsächlich einer der neunzehn Artillerieoffiziere war, deren Freispruch auf dem Bankett gefeiert wurde, das zu Galois' erster Verhaftung führte. Dumas ist jedoch der Einzige mit dieser Behauptung, und wäre sie korrekt, bliebe unklar, warum d'Herbinville involviert gewesen wäre. Es wurde spekuliert, dass er zu der Zeit der „vermeintliche Verlobte“ von Poterin du Motel war (sie heiratete letztendlich jemand anderen), aber es wurden keine klaren Beweise gefunden, die diese Vermutung stützen. Andererseits geben erhaltene Zeitungsausschnitte von nur wenigen Tagen nach dem Duell eine Beschreibung seines Gegners (identifiziert mit den Initialen „L.D.“), die genauer auf einen von Galois' republikanischen Freunden zutreffen zu scheint, höchstwahrscheinlich Ernest Duchatelet, der mit Galois unter denselben Anklagen inhaftiert war. Angesichts der widersprüchlichen Informationen könnte die wahre Identität seines Mörders in der Geschichte verloren gegangen sein.

Was auch immer die Gründe für das Duell waren, Galois war so überzeugt von seinem bevorstehenden Tod, dass er die ganze Nacht wach blieb, um Briefe an seine republikanischen Freunde zu schreiben und das zu verfassen, was sein mathematisches Testament werden sollte: den berühmten Brief an Auguste Chevalier, in dem er seine Ideen skizzierte, sowie drei beigefügte Manuskripte. Der Mathematiker Hermann Weyl sagte über dieses Testament: „Dieser Brief ist, gemessen an der Neuheit und Tiefe der darin enthaltenen Ideen, vielleicht das substanziellste Schriftstück in der gesamten Literatur der Menschheit.“ Allerdings scheint die Legende, dass Galois seine mathematischen Gedanken in der Nacht vor seinem Tod auf Papier niederschrieb, übertrieben zu sein. In diesen letzten Papieren skizzierte er die groben Umrisse einiger Arbeiten, die er in der Analysis gemacht hatte, und kommentierte eine Kopie des Manuskripts, das bei der Akademie eingereicht worden war, sowie andere Papiere.

Früh am Morgen des 30. Mai 1832 wurde er in den Bauch geschossen, von seinen Gegnern und seinen eigenen Sekundanten im Stich gelassen und von einem vorbeifahrenden Bauern gefunden. Er starb am nächsten Morgen um zehn Uhr im Hôpital Cochin (wahrscheinlich an Peritonitis), nachdem er die Dienste eines Priesters abgelehnt hatte. Seine Beerdigung endete in Unruhen. Es gab Pläne, während seiner Beerdigung einen Aufstand anzuzetteln, aber zur gleichen Zeit erfuhren die Anführer vom Tod des Generals Jean Maximilien Lamarque und der Aufstand wurde verschoben, ohne dass es bis zum 5. Juni zu Unruhen kam. Nur Galois' jüngerer Bruder wurde vor Galois' Tod von den Ereignissen benachrichtigt. Galois war 20 Jahre alt. Seine letzten Worte an seinen jüngeren Bruder Alfred waren:

> „Ne pleure pas, Alfred ! J'ai besoin de tout mon courage pour mourir à vingt ans !“ (Weine nicht, Alfred! Ich brauche meinen ganzen Mut, um mit zwanzig zu sterben!)

Am 2. Juni wurde Évariste Galois in einem Gemeinschaftsgrab auf dem Friedhof Montparnasse beigesetzt, dessen genaue Lage unbekannt ist. Auf dem Friedhof seiner Heimatstadt – Bourg-la-Reine – wurde ein Kenotaph zu seinen Ehren neben den Gräbern seiner Verwandten errichtet.

Im Jahr 1842 begann Joseph Liouville, Galois' unveröffentlichte Papiere zu studieren, und erkannte ihren Wert im Jahr 1843. Es ist nicht klar, was in den zehn Jahren zwischen 1832 und 1842 geschah, noch was Liouville schließlich dazu inspirierte, Galois' Papiere zu lesen. Jesper Lützen untersucht dieses Thema ausführlich in Kapitel XIV „Galois-Theorie“ seines Buches über Joseph Liouville, ohne zu endgültigen Schlussfolgerungen zu gelangen.

Es ist durchaus möglich, dass Mathematiker (einschließlich Liouville) Galois' Papiere nicht veröffentlichen wollten, weil Galois ein republikanischer politischer Aktivist war, der 5 Tage vor der Juni-Rebellion starb, einem erfolglosen antimonarchistischen Aufstand der Pariser Republikaner. In Galois' Nachruf beschuldigte sein Freund Auguste Chevalier die Akademiker der École Polytechnique fast, Galois getötet zu haben, denn wenn sie seine Arbeit nicht abgelehnt hätten, wäre er Mathematiker geworden und hätte sich nicht dem republikanischen politischen Aktivismus gewidmet, für den einige glaubten, dass er getötet wurde. Da Frankreich noch immer unter dem Schatten der Schreckensherrschaft und der napoleonischen Ära lebte, hätte Liouville vielleicht gewartet, bis sich die politischen Unruhen gelegt hatten (nach der gescheiterten Juni-Rebellion und ihren Folgen), bevor er seine Aufmerksamkeit auf Galois' Papiere richtete.

Liouville veröffentlichte Galois' Manuskripte schließlich in der Ausgabe vom Oktober–November 1846 des Journal de Mathématiques Pures et Appliquées. Galois' berühmtester Beitrag war ein neuartiger Beweis dafür, dass es keine Formel für Gleichungen fünften Grades gibt – also, dass Gleichungen fünften und höheren Grades im Allgemeinen nicht durch Radikale lösbar sind. Obwohl Niels Henrik Abel bereits 1824 die Unmöglichkeit einer „Formel für Gleichungen fünften Grades“ durch Radikale bewiesen hatte und Paolo Ruffini 1799 eine Lösung veröffentlicht hatte, die sich als fehlerhaft herausstellte, führten Galois' Methoden zu tieferer Forschung in das, was heute Galois-Theorie genannt wird und mit der man für jede polynomiale Gleichung bestimmen kann, ob sie eine Lösung durch Radikale hat.

Beiträge zur Mathematik

Aus den letzten Zeilen eines Briefes von Galois an seinen Freund Auguste Chevalier vom 29. Mai 1832, zwei Tage vor Galois' Tod:

> Tu prieras publiquement Jacobi ou Gauss de donner leur avis, non sur la vérité, mais sur l'importance des théorèmes.

Après cela, il y aura, j'espère, des gens qui trouveront leur profit à déchiffrer tout ce gâchis.

>(Bitten Sie Jacobi oder Gauss öffentlich um ihre Meinung, nicht zur Wahrheit, sondern zur Bedeutung dieser Theoreme. Später wird es, so hoffe ich, einige Leute geben, die es als Vorteil empfinden werden, all dieses Durcheinander zu entschlüsseln.)

Innerhalb der etwa 60 Seiten der gesammelten Werke von Galois finden sich viele wichtige Ideen, die weitreichende Konsequenzen für fast alle Zweige der Mathematik hatten. Seine Arbeit wurde mit der von Niels Henrik Abel (1802–1829) verglichen, einem zeitgenössischen Mathematiker, der ebenfalls in sehr jungem Alter starb und dessen Arbeit sich in weiten Teilen mit der von Galois überschnitt.

### Algebra

Während viele Mathematiker vor Galois das betrachteten, was heute als Gruppen bekannt ist, war er der Erste, der das Wort Gruppe (französisch: groupe) in einem Sinn verwendete, der dem heute verstandenen technischen Sinn nahekommt, was ihn zu einem der Begründer des Zweiges der Algebra machte, der als Gruppentheorie bekannt ist. Er bezeichnete die Zerlegung einer Gruppe in ihre Links- und Rechtsnebenklassen als eine eigentliche Zerlegung, wenn die Links- und Rechtsnebenklassen übereinstimmen, was zur Vorstellung dessen führt, was heute als Normalteiler bekannt ist. Er führte auch das Konzept eines endlichen Körpers (zu seinen Ehren auch Galois-Feld genannt) im Wesentlichen in der gleichen Form ein, wie es heute verstanden wird.

In seinem letzten Brief an Chevalier und den beigefügten Manuskripten, dem zweiten von drei, stellte er grundlegende Studien zu linearen Gruppen über endlichen Körpern an:

Er konstruierte die allgemeine lineare Gruppe über einem Primkörper GL(ν, p) und berechnete deren Ordnung, während er die Galois-Gruppe der allgemeinen Gleichung vom Grad p studierte.

- Er konstruierte die projektive spezielle lineare Gruppe PSL(2,p). Galois konstruierte sie als gebrochen-lineare Transformationen und stellte fest, dass sie einfach sind, außer wenn p 2 oder 3 ist. Dies war die zweite Familie endlicher einfacher Gruppen nach den alternierenden Gruppen. - Er bemerkte die außergewöhnliche Tatsache, dass PSL(2,p) einfach ist und genau dann auf p Punkten operiert, wenn p 5, 7 oder 11 ist.

### Galois-Theorie

Galois' bedeutendster Beitrag zur Mathematik ist die Entwicklung der Galois-Theorie. Er erkannte, dass die algebraische Lösung einer polynomialen Gleichung mit der Struktur einer Gruppe von Permutationen verknüpft ist, die mit den Wurzeln des Polynoms assoziiert sind, der Galois-Gruppe des Polynoms. Er fand heraus, dass eine Gleichung durch Radikale gelöst werden kann, wenn man eine Reihe von Untergruppen ihrer Galois-Gruppe finden kann, von denen jede in ihrem Nachfolger normal ist und einen abelschen Quotienten aufweist, d.h., ihre Galois-Gruppe ist auflösbar. Dies erwies sich als ein fruchtbarer Ansatz, den spätere Mathematiker auf viele andere Felder der Mathematik anwandten, über die Theorie der Gleichungen hinaus, auf die Galois sie ursprünglich angewandt hatte.

### Analysis

Galois leistete auch einige Beiträge zur Theorie der abelschen Integrale und Kettenbrüche.

Wie er in seinem letzten Brief schrieb, ging Galois vom Studium elliptischer Funktionen zur Betrachtung der Integrale der allgemeinsten algebraischen Differentiale über, die heute als abelsche Integrale bezeichnet werden. Er klassifizierte diese Integrale in drei Kategorien.

### Kettenbrüche

In seiner ersten Arbeit von 1828 bewies Galois, dass der reguläre Kettenbruch, der eine quadratische Irrationalzahl ζ darstellt, genau dann rein periodisch ist, wenn ζ eine reduzierte Irrationalzahl ist, das heißt:

ζ > 1

{\displaystyle \zeta >1}

und ihr Konjugiertes

η

{\displaystyle \eta }

erfüllt

1 < η < 0

{\displaystyle -1<\eta <0}

.

Tatsächlich zeigte Galois mehr als das. Er bewies auch, dass wenn ζ eine reduzierte quadratische Irrationalzahl und η ihr Konjugiertes ist, dann sind die Kettenbrüche für ζ und für (−1/η) beide rein periodisch, und der sich wiederholende Block in einem dieser Kettenbrüche ist das Spiegelbild des sich wiederholenden Blocks im anderen. In Symbolen haben wir:

ζ

= [

a

0

;

a

1

,

a

2

, … ,

a

m − 1

¯

]

1

η

= [

a

m − 1

;

a

m − 2

,

a

m − 3

, … ,

a

0

¯

]

{\displaystyle {\begin{aligned}\zeta &=[\,{\overline {a_{0};a_{1},a_{2},\dots ,a_{m-1}}}\,]\\{\frac {-1}{\eta }}&=[\,{\overline {a_{m-1};a_{m-2},a_{m-3},\dots ,a_{0}}}\,]\,\end{aligned}}}

wobei ζ eine beliebige reduzierte quadratische Irrationalzahl ist und η ihr Konjugiertes.

Aus diesen beiden Sätzen von Galois lässt sich ein Ergebnis ableiten, das bereits Lagrange bekannt war. Wenn r > 1 eine rationale Zahl ist, die keine perfekte Quadratzahl ist, dann gilt:

r

=

[

a

0

;

a

1

,

a

2

, … ,

a

2

,

a

1

, 2

a

0

¯

]

.

{\displaystyle {\sqrt {r}}=\left[\,a_{0};{\overline {a_{1},a_{2},\dots ,a_{2},a_{1},2a_{0}}}\,\right].}

Insbesondere enthält die reguläre Kettenbruchdarstellung von √n, wenn n eine positive ganze Zahl ist, die keine Quadratzahl ist, einen sich wiederholenden Block der Länge m, bei dem die ersten m - 1 Teilnenner eine palindromische Zeichenkette bilden.