Pál Turán: Theoreme aus einem Arbeitslager

Im Juli 1944 schob ein ungarischer Jude in Zwangsarbeit Ziegelwagen auf Schienen in einer Fabrik nahe Budapest. Wo sich die Gleise kreuzten, ruckelten die Wagen und die Arbeit wurde schwerer. Die meisten Männer hätten die Kreuzungen verflucht. Turán begann sich zu fragen, wie hoch die minimale Anzahl an Kreuzungen für m Brennöfen und n Lagerhäuser sei – und stellte damit das heute sogenannte Turánsche Ziegelwerk-Problem auf, eine der grundlegenden Fragen der Theorie der Kreuzungszahlen. Er war ein Gefangener. Er betrieb in diesem Moment auch Mathematik.

Budapest, Fejér und eine geschlossene Tür

Turán wurde am 18. August 1910 in Budapest, damals Österreich-Ungarn, in eine ungarische jüdische Familie geboren. Sein Talent zeigte sich in der Sekundarschule. Er erwarb seinen Lehramtsabschluss 1933 an der Universität Budapest und promovierte 1935 an der Eötvös-Loránd-Universität bei Lipót Fejér, der zentralen Figur der ungarischen Analysis.

Er veröffentlichte 1933 zwei bedeutende Arbeiten in den Zeitschriften der American und London Mathematical Societies. Für seine Anstellungsfähigkeit machte das keinen Unterschied. Ungarns Numerus-clausus-Gesetze, die die jüdische Beteiligung an der Hochschulbildung einschränkten, hielten ihn jahrelang von einer stabilen akademischen Arbeit fern, und die Stelle, die er schließlich 1938 erhielt, war an einer rabbinischen Ausbildungsschule in Budapest. Hier ist ein Mathematiker, der mit dreiundzwanzig Jahren international publiziert und mit achtundzwanzig an einem Seminar unterrichtet, weil der Staat ihn gesetzlich aus der Universität ausgeschlossen hatte.

Begegnung mit Erdős

Am 1. September 1930 traf Turán bei einem mathematischen Seminar an der Universität Budapest auf Paul Erdős. Beide waren schon als Schüler bekannte Problemlöser in der Fachzeitschrift KöMaL gewesen. Die Zusammenarbeit, die an diesem Tag begann, dauerte sechsundvierzig Jahre und brachte achtundzwanzig gemeinsame Arbeiten hervor – eine der großen, beständigen Partnerschaften der Mathematik des 20. Jahrhunderts und die Quelle für vieles, was wir über Turáns Charakter wissen, da Erdős ausführlich über ihn schrieb und ihn nicht schmeichelte.

Fünf Jahre in den Lagern

Im September 1940 wurde Turán aufgrund seiner jüdischen Herkunft verhaftet und in Arbeitslager geschickt. Er verbrachte fünf Jahre in verschiedenen Lagern in Siebenbürgen und Ungarn.

Dieser Zeitraum hätte eine Lücke in seiner Bibliographie sein sollen. Das war er nicht. Ein Offizier namens Joshef Winkler, der selbst mathematisch ausgebildet war, erkannte Turáns Namen und arrangierte leichtere Aufgaben für ihn. Turán nutzte den Spielraum, den ihm dies verschaffte. Er verfasste während seiner Internierung eine bedeutende Arbeit über die Riemannsche Zeta-Funktion und hielt sich geistig fit, indem er Probleme im Kopf löste und über Probleme nachdachte. Die Beobachtung im Ziegelwerk kam im Juli 1944; er griff sie erst nach 1952 ernsthaft auf, aber die Frage wurde auf den Schienen geboren.

Erdős drückte es direkt aus: Turán „verlor selbst in den Nazi-Lagern nicht seinen Geist und leistete dort brillante Arbeit.“ Er wurde 1944 befreit und kehrte zum Unterrichten zurück.

Extremale Graphentheorie

Das folgenreichste, was Turán aufbaute, baute er während seiner Gefangenschaft. Erdős erneut: „1940–1941 schuf er das Gebiet der extremalen Probleme in der Graphentheorie, das heute eines der am schnellsten wachsenden Themen in der Kombinatorik ist.“

Das grundlegende Ergebnis, der Satz von Turán, liefert eine obere Schranke für die Anzahl der Kanten, die ein Graph haben kann, ohne einen vollständigen Teilgraphen mit r Knoten zu enthalten. Um ihn zu beweisen, erfand er den Turán-Graphen, eine Verallgemeinerung vollständiger bipartiter Graphen. Die Bedeutung des Satzes liegt nicht in der spezifischen Schranke, sondern in der Frageform, die er etablierte: Wie viel Struktur kann man haben, bevor ein gewisses Muster erzwungen wird? Diese Frage, die seitdem in Tausenden von Kontexten gestellt wurde, ist das, was extremale Kombinatorik ausmacht. Der Satz von Kővári–Sós–Turán erweiterte den Ansatz auf bipartite Graphen mit verbotenen Teilgraphen.

Das Sieb und die Potenzsumme

Zahlentheorie war sein Hauptgebiet. Das Turán-Sieb von 1934 lieferte einen vereinfachten Beweis eines Ergebnisses von Hardy und Ramanujan aus dem Jahr 1917 über die Normalordnung der Anzahl der verschiedenen Primteiler. Halász identifizierte seine wahre Bedeutung: „Seine wahre Bedeutung liegt in der Tatsache, dass es der Ausgangspunkt der probabilistischen Zahlentheorie war.“ Eine Vereinfachung, die eine Disziplin begründet, ist keine Vereinfachung. Die Turán-Kubilius-Ungleichung verallgemeinerte die Arbeit.

Er prägte den Begriff „Primzahlrennen“ für die Unregelmäßigkeiten bei der Verteilung von Primzahlen auf Restklassen und arbeitete mit Knapowski an Ergebnissen, die sich auf den Tschebyscheff-Bias beziehen. Die Erdős-Turán-Vermutung betrifft Primzahlen in arithmetischen Folgen. Und er entwickelte die Potenzsummenmethode, eine Technik für Ungleichungen über Summen von Potenzen der Nullstellen der Riemannschen Zeta-Funktion, mit Anwendungen, die in die komplexe Analysis, numerische Analysis, Differentialgleichungen, transzendente Zahlentheorie und die allgemeine Abschätzung von Nullstellen hineinreichen.

Zur Hypothese selbst hielt Erdős fest, dass Turán „ein 'Ungläubiger', ja ein 'Heide' war: Er glaubte nicht an die Wahrheit der Riemannschen Hypothese.“ Seine Analyse führte zu den Turánschen Ungleichungen für Legendre-Polynome und, zusammen mit Erdős, zur Erdős-Turán-Gleichverteilungsungleichung.

Eine geheim gehaltene Diagnose

Er wurde 1945 außerordentlicher Professor an der Universität Budapest und 1949 ordentlicher Professor. Der Kossuth-Preis folgte 1948 und erneut 1952; er wurde 1948 zum korrespondierenden Mitglied der Ungarischen Akademie der Wissenschaften und 1953 zum ordentlichen Mitglied gewählt. Er gründete und leitete die János-Bolyai-Mathematische Gesellschaft, saß in den Redaktionsbeiräten führender Fachzeitschriften, sprach 1970 auf dem Internationalen Mathematikerkongress und wurde in diesem Jahr in das Komitee für den Fields-Preis eingeladen. Der Tibor-Szele-Preis folgte 1975.

Er heiratete 1939 Edit Kóbor, mit der er einen Sohn, Róbert, hatte; 1952 heiratete er die Mathematikerin Vera Sós, mit der er gemeinsam publizierte und zwei Söhne, György und Tamás, hatte.

Um 1970 wurde bei ihm Leukämie diagnostiziert. Nur Vera wusste davon. Sie entschied sich, es ihm nicht zu sagen, da sie glaubte, er sei „zu sehr in das Leben verliebt“ und wäre verzweifelt. Sie sagte es Erdős erst 1976. Erdős beklagte später die Kosten: Da er nicht wusste, dass seine Zeit knapp war, verschob Turán bestimmte Arbeiten „auf später“ und vollendete sie nie.

Warum Pál ein Genie genannt wird

Die spezifische Fähigkeit ist die Problemerzeugung auf der Ebene ganzer Disziplinen. Turáns einzelne Theoreme sind stark, aber sein Markenzeichen ist, dass drei separate Bereiche ihren Ursprung auf ihn zurückführen: die extremale Graphentheorie, deren Schaffung Erdős ihm explizit für 1940–41 zuschreibt; die probabilistische Zahlentheorie, die laut Halász mit seinem Sieb von 1934 begann; und die Theorie der Kreuzungszahlen, die mit Ziegeln begann. Ein Feld zu begründen ist eine Karriere. Drei zu begründen ist etwas anderes – ein ungewöhnlicher Instinkt für die Frage unter der Frage, deren allgemeine Form eine Instanz einer spezifischen Schwierigkeit ist.

Die Umstände schärfen die Behauptung, anstatt sie nur zu schmücken. Er schuf die extremale Graphentheorie in einem Arbeitslager, ohne Bibliothek, ohne Kollegen und ohne Papier, indem er die Strukturen im Kopf behielt. Erdős, der nicht sentimental in Bezug auf mathematische Fähigkeiten war und jeden kannte, den es zu kennen lohnte, sagte, er habe dort brillante Arbeit geleistet.

Das Gegenargument ist dünner als üblich, aber real. Erdős war sechsundvierzig Jahre lang sein engster Freund und sein meistzitierter Gutachter, was keine unabhängige Quelle ist. Turáns Potenzsummenmethode hat trotz ihrer Reichweite die Riemannsche Hypothese, an die er nicht glaubte, nicht geknackt. Seine Ehrungen – zwei Kossuth-Preise, der Szele-Preis, die Akademie-Mitgliedschaft – sind ungarische nationale Anerkennungen und nicht die höchsten internationalen Auszeichnungen der Disziplin. Und das explosive Wachstum der extremalen Graphentheorie verdankt viel denen, die sie nach ihm entwickelten. Er stellte die Frage; andere bauten das Thema auf.

Vermächtnis

Turán starb am 26. September 1976 im Alter von sechsundsechzig Jahren in Budapest an Leukämie, ohne zu wissen, was ihn tötete. Jeder Kombinatorikkurs lehrt heute seinen Satz, und die probabilistische Zahlentheorie datiert ihre Gründung auf ein Sieb, das er mit vierundzwanzig Jahren entwickelte. Das Ziegelwerk-Problem bleibt im Allgemeinen offen. Es ist ein passendes Denkmal: eine Frage, die von einem Gefangenen gestellt wurde, der Schienenkreuzungen beobachtete, und die die Disziplin noch nicht zu Ende beantwortet hat.