Karen Uhlenbeck: Die Analystin, die die Geometrie neu aufbaute

Ein Seifenfilm, der über einen Drahtrahmen gespannt ist, nimmt die kleinste mögliche Oberfläche an. Karen Uhlenbeck baute ihre Karriere auf dem auf, was passiert, wenn dies nicht möglich ist – wenn der energie-minimierende Prozess an isolierten Punkten zusammenbricht und sich in dem konzentriert, was Mathematiker heute als Blase (Bubble) bezeichnen. Die Arbeit, die sie mit Jonathan Sacks schrieb und die dieses Versagen beschrieb, spaltete die Disziplin in zwei Hälften. „Es gab ein Vorher vor dem Sacks-Uhlenbeck-Papier und ein Nachher“, sagte der Geometer François Labourie. Im Jahr 2019 wurde sie die erste Frau, die den Abel-Preis erhielt.

Cleveland und ein Bibliotheksausweis

Karen Keskulla Uhlenbeck wurde am 24. August 1942 in Cleveland, Ohio, als ältestes von vier Kindern des Ingenieurs Arnold Keskulla und der Künstlerin Carolyn Windeler Keskulla geboren. Sie wuchs auf dem Land auf und las zwanghaft. „Als Kind habe ich viel gelesen und ich habe alles gelesen“, erinnerte sie sich. „Ich ging in die Bibliothek und blieb dann die ganze Nacht wach und las.“ Mit etwa zwölf Jahren gab ihr Vater ihr Fred Hoyles Bücher über Astrophysik; George Gamows Eins, zwei, drei... unendlich (One, Two, Three... Infinity) fesselte sie, weil es erklärte, dass es verschiedene Größen von Unendlichkeit gibt.

Sie ging an die University of Michigan mit der Absicht, Physik zu studieren, und erwarb 1964 einen Bachelor-Abschluss in Mathematik. Ein Master-Abschluss in Brandeis folgte 1966 und dort 1968 ein Doktortitel unter Richard Palais.

Eine Tür, die sich nicht öffnen wollte

Dann geriet die Karriere ins Stocken, aus Gründen, die nichts mit Mathematik zu tun hatten. Nach einem Postdoc-Jahr am MIT und zwei Jahren als Dozentin in Berkeley konnte Uhlenbeck keine feste Stelle bekommen. Sie äußerte sich direkt dazu, warum. „Mir wurde gesagt ... dass Leute keine Frauen einstellten, dass Frauen nach Hause gehen und Babys bekommen sollten.“ Die Universitäten, die ihren Ehemann wollten – MIT, Stanford, Princeton – lehnten es ab, sie einzustellen, und beriefen sich auf Anti-Nepotismus-Regeln, damit die Ablehnung wie ein formelles Verfahren klang.

Sie nahm 1971 eine Stelle an der University of Illinois in Urbana-Champaign an, und ihr Ehemann folgte ihrer Karriere. Von dort aus wechselte sie an die University of Illinois in Chicago und wurde zur ordentlichen Professorin befördert. Ein MacArthur-Stipendium führte sie 1983 an die University of Chicago, und seit 1988 hält sie den Sid W. Richardson Foundation Regents Chair an der University of Texas in Austin.

Blasenbildung (Bubbling)

Die Sacks-Uhlenbeck-Arbeit befasste sich mit harmonischen Abbildungen: was passiert mit Energiefunktionalen für Abbildungen von Flächen in gekrümmte Räume. Das Paar zeigte, dass energie-minimierende Sequenzen fast überall gegen harmonische Abbildungen konvergieren, aber dass an isolierten Punkten die Analyse versagt und eine Energiemenge in Form einer Kugel abgetrennt wird – es entstehen Blasen (Bubbles). Die Einsicht war nicht, dass die Methode kaputt war, sondern dass der Bruch eine präzise, klassifizierbare Struktur hatte. Singularitäten hörten auf, ein Hindernis zu sein, und wurden zu einem Studienobjekt. Blasenbildung ist heute Standardausrüstung in der geometrischen Analysis.

Eichtheorie und die Donaldson-Revolution

In den frühen 1980er Jahren wandte Uhlenbeck die gleichen analytischen Instinkte auf die Yang-Mills-Gleichungen an, die Mathematik, die der Physik von Eichfeldern zugrunde liegt. Sie führte neue Koordinatensysteme ein, die an das Problem angepasst waren, bewies einen Kompaktheitssatz für Verbindungen mit beschränkter Krümmung und etablierte ihre Ergebnisse über behebbare Singularitäten – sie zeigte im Grunde, dass die schlechten Punkte in vier Dimensionen ausgefüllt werden können.

Dies war die Maschinerie, auf die ein ganzes Feld gewartet hatte. Ihre Werkzeuge ermöglichten es, Instantonen geometrisch zu nutzen, was Simon Donaldson in der Arbeit tat, die ihm die Fields-Medaille einbrachte. Donaldsons eigene Einschätzung ist, dass Uhlenbecks Ergebnisse „den größten Teil der nachfolgenden Arbeit in diesem Bereich untermauern“.

Integrable Systeme und ein eigenes Fachgebiet

Zusammen mit Nigel Hitchin und Chuu-Lian Terng zeigte Uhlenbeck, dass harmonische Abbildungen von Flächen in homogene Räume in Ein-Parameter-Familien vorkommen, was sie mit unendlich-dimensionalen integrablen Systemen verbindet – eine Brücke zwischen Geometrie und der algebraischen Maschinerie der Solitonentheorie.

Zusammengenommen kommt die Arbeit der Gründung der modernen geometrischen Analysis gleich: der bewussten Verschmelzung von komplizierten partiellen Differentialgleichungen mit Topologie und Geometrie. Uhlenbecks Beschreibung ihrer Arbeit ist charakteristischerweise wenig glamourös – wie „von einem Deck zu springen, ohne zu wissen, was passieren würde“.

Raum schaffen

Sie behandelte ihren eigenen Werdegang in der Profession nicht als Privatangelegenheit. Uhlenbeck war Mitbegründerin des Women and Mathematics-Programms am Institute for Advanced Study in Princeton und half bei der Einrichtung des Park City Mathematics Institute; ihr Mentoring für Mathematikerinnen wird routinemäßig als legendär bezeichnet. Sie weigerte sich, die Selbstbeweihräucherung der Disziplin über den Fortschritt zu akzeptieren. Als sie 2007 den AMS Steele Prize erhielt, sagte sie: „Ich bin nach wie vor ziemlich enttäuscht von der Anzahl der Frauen, die Mathematik betreiben und Führungspositionen innehaben. Dies ist meiner Meinung nach hauptsächlich auf die Kultur der mathematischen Gemeinschaft sowie auf harte gesellschaftliche Zwänge von außen zurückzuführen.“

Die Ehrungen häuften sich: MacArthur-Stipendium 1983, American Academy of Arts and Sciences 1985, AMS Colloquium Lectures im selben Jahr, National Academy of Sciences 1986, Noether Lecture 1988, ein Plenarvortrag auf dem International Congress of Mathematicians 1990 – erst die zweite Frau, die einen hielt –, die National Medal of Science im Jahr 2000 „für ihre vielen bahnbrechenden Beiträge zur globalen Geometrie“, der Steele Prize 2007, der Abel-Preis 2019, ein AWM-Fellowship 2020 und ein Fellowship der Royal Society 2023.

Warum Karen als Genie bezeichnet wird

Die fragliche Fähigkeit ist eine spezifische Art von Nervenstärke: Uhlenbecks Instinkt ist es, direkt an den Punkt zu gehen, an dem eine Methode zusammenbricht. Die meisten Mathematiker weichen Singularitäten aus. Sie behandelte den Ort, an dem die Analyse versagt, als den Ort, an dem die Geometrie tatsächlich lebt, und baute dann den technischen Apparat, um ihn zu beschreiben. Deshalb fungieren ihre Ergebnisse als Infrastruktur – Blasenbildung, Kompaktheit, behebbare Singularitäten sind nicht so sehr Theoreme, die Leute zitieren, sondern Werkzeuge, die Leute benutzen, ohne es zu merken.

Die Leute, die das sagen, sind keine Werbetexter. Die Abel-Würdigung schreibt ihr „bahnbrechende Errungenschaften in geometrischen partiellen Differentialgleichungen, Eichtheorie und integrablen Systemen“ und einen „fundamentalen Einfluss“ auf Analysis, Geometrie und mathematische Physik zu, und die Norwegische Akademie beschrieb ihre Arbeit als eine der dramatischsten Fortschritte in der Mathematik der letzten vierzig Jahre. Donaldson sagt, ihre Ergebnisse untermauern das Feld. Sun-Yung Alice Chang stellt fest, dass „ihr Einfluss die verschiedenen Zweige der Mathematik durchzieht“. Labourie zieht eine Linie durch die Geschichte bei einer ihrer Arbeiten.

Der ehrliche Gegenpunkt hat zwei Teile. Erstens sind ihre bedeutendsten Leistungen befähigend: Die von ihr gelieferte Analyse machte die grundlegenden Theoreme anderer Leute möglich, und die Fields-Medaille für die Geometrie von Instantonen ging an Donaldson. Ob sie dadurch die wichtigere oder weniger wichtige Figur ist, ist ein echtes Argument, kein geklärtes. Zweitens kam die Anerkennung spät und ist heute untrennbar mit der Tatsache verbunden, dass sie die Erste war – eine Einrahmung, die riskiert, eine beeindruckende Analystin in ein Symbol zu verwandeln und die Mathematik stillschweigend zu überspringen. Uhlenbeck selbst hat darauf geachtet, niemals Hellsichtigkeit zu beanspruchen. Ihre eigene Darstellung der Arbeit ist, dass sie von einem Deck sprang, ohne zu wissen, was darunter war.

Vermächtnis

Geometrische Analysis existiert als kohärentes Thema zu einem großen Teil deshalb, weil Uhlenbeck darauf bestand, dass die schwierigsten verfügbaren analytischen Techniken in die Geometrie gehören. Die Blasen, die sie und Sacks Ende der 1970er Jahre fanden, sind heute ein Standardbestandteil davon, wie Mathematiker über Grenzen und Versagen nachdenken, und die Frauen, die durch ihr Princeton-Programm in das Feld kamen, bilden einen zweiten, weniger zitierfähigen Teil ihrer Arbeit.