Grigori Perelman

Wenn der Beweis korrekt ist, ist keine weitere Anerkennung erforderlich

Grigori Jakowlewitsch Perelman ist ein russischer Mathematiker, der für seine Beiträge zu den Bereichen geometrische Analysis, Riemannsche Geometrie und geometrische Topologie bekannt ist.

In den 1990er Jahren leistete er, teilweise in Zusammenarbeit mit Yuri Burago, Mikhael Gromov und Anton Petrunin, einflussreiche Beiträge zum Studium der Aleksandrov-Räume. 1994 bewies er die Soul-Vermutung in der Riemannschen Geometrie, die zuvor 20 Jahre lang ein offenes Problem war. 2002 und 2003 entwickelte er neue Techniken bei der Analyse des Ricci-Flusses und lieferte damit einen detaillierten Beweisskizze der Poincaré-Vermutung und der Geometrisierungsvermutung von Thurston, wobei die erstere über ein Jahrhundert lang eines der berühmtesten offenen Probleme der Mathematik war. Die vollständigen Details von Perelmans Arbeit wurden in den folgenden Jahren von verschiedenen Autoren ausgefüllt und erläutert.

Im August 2006 wurde Perelman die Fields-Medaille für „seine Beiträge zur Geometrie und seine revolutionären Einblicke in die analytische und geometrische Struktur des Ricci-Flusses" angeboten, aber er lehnte die Auszeichnung ab und sagte: „Ich bin nicht interessiert an Geld oder Ruhm; ich will nicht wie ein Tier im Zoo zur Schau gestellt werden." Am 22. Dezember 2006 erkannte die wissenschaftliche Zeitschrift Science Perelmans Beweis der Poincaré-Vermutung als wissenschaftlichen „Durchbruch des Jahres" an, die erste solche Auszeichnung im Bereich der Mathematik.

Am 18. März 2010 wurde bekannt gegeben, dass er die Kriterien erfüllt hatte, um den ersten Clay Millennium Prize für die Lösung der Poincaré-Vermutung zu erhalten. Am 1. Juli 2010 lehnte er den Preis von einer Million Dollar ab und sagte, dass er die Entscheidung des Vorstands des Clay Institute für unfair hielt, da sein Beitrag zur Lösung der Poincaré-Vermutung nicht größer war als der von Richard S. Hamilton, dem Mathematiker, der den Ricci-Fluss teilweise mit dem Ziel der Angriff auf die Vermutung entwickelt hat. Er hatte zuvor 1996 den prestigeträchtigen Preis der Europäischen Mathematischen Gesellschaft abgelehnt.

Frühe Jahre und Ausbildung

Grigori Jakowlewitsch Perelman wurde in Leningrad, Sowjetunion, jetzt Saint Petersburg, Russland am 13. Juni 1966 als Sohn russisch-jüdischer Eltern Yakov, der nun in Israel lebt, und Lyubov, die noch in Saint Petersburg mit Grigori lebt, geboren. Grigoris Mutter Lyubov gab Postgraduiertenarbeit in Mathematik auf, um ihn großzuziehen. Grigoris mathematisches Talent wurde im Alter von zehn Jahren offensichtlich, und seine Mutter meldete ihn in Sergei Rukshin's außerschulisches Mathematik-Trainingsprogramm an.

Seine mathematische Ausbildung setzte sich an der Leningrader Sekundarschule #239 fort, einer Spezialschule mit fortgeschrittenen Programmen in Mathematik und Physik. Grigori zeichnete sich in allen Fächern aus, außer in körperlicher Erziehung. 1982 gewann er als Mitglied der Sowjetunion-Mannschaft, die beim Internationalen Mathematik-Olympiad antrat, einem internationalen Wettbewerb für Gymnasiasten, eine Goldmedaille mit perfekter Punktzahl. Er setzte sich als Student der Schule für Mathematik und Mechanik an der Leningrader Staatsuniversität fort, ohne Aufnahmeprüfungen und an der Universität immatrikuliert zu werden.

Nach Abschluss seines Doktorgrades 1990 begann Perelman seine Arbeit in der Leningrader Abteilung des Steklov-Instituts für Mathematik der UdSSR-Akademie der Wissenschaften, wo seine Berater Aleksandr Aleksandrov und Yuri Burago waren. Ende der 1980er und frühen 1990er Jahre erhielt Perelman mit einer starken Empfehlung des Geometers Mikhail Gromov Forschungspositionen an mehreren Universitäten in den Vereinigten Staaten. 1991 gewann Perelman den Young Mathematician Prize der Saint Petersburg Mathematical Society für seine Arbeit an Aleksandrovs Räumen mit Krümmung, die von unten begrenzt ist. 1992 wurde er eingeladen, ein Semester jeweils am Courant Institute an der New York University und an der Stony Brook University zu verbringen, wo er mit Mannigfaltigkeiten mit unteren Grenzen für Ricci-Krümmung zu arbeiten begann. Danach akzeptierte er 1993 ein zweijähriges Miller Research Fellowship an der University of California, Berkeley. Nach dem Beweis der Soul-Vermutung 1994 erhielt er Stellenangebote von mehreren Top-Universitäten in den USA, darunter Princeton und Stanford, aber er lehnte sie alle ab und kehrte 1995 im Sommer zum Steklov Institute in Saint Petersburg zurück, um eine reine Forschungsposition zu übernehmen.

Forschung in den 1990er Jahren

Perelmans bemerkenswerteste Arbeit in dieser Zeit war im Bereich der Aleksandrov-Räume, deren Konzept auf die 1950er Jahre zurückgeht. In einem bekannten Papier von 1992, das gemeinsam mit Yuri Burago und Mikhail Gromov verfasst wurde, legte Perelman die modernen Grundlagen dieses Feldes fest, mit der Vorstellung der Gromov-Hausdorff-Konvergenz als Organisationsprinzip. 1993 entwickelte Perelman einen Begriff der Morse-Theorie auf diesen nicht-glatten Räumen. Für seine Arbeit an Aleksandrov-Räumen wurde Perelman eingeladen, beim International Congress of Mathematicians 1994 zu dozieren.

Cheeger und Gromoll's Soul-Vermutung, formuliert 1972, besagt:

Angenommen, (M, g) ist eine vollständige, zusammenhängende und nicht-kompakte Riemannsche Mannigfaltigkeit mit Schnittkrümmung K ≥ 0, und es existiert ein Punkt in M, wo die Schnittkrümmung (in alle Schnittrichtungen) streng positiv ist. Dann ist die Soul von M ein Punkt; äquivalent ist M diffeomorph zu Rn.

Dies war von Interesse, da Cheeger und Gromoll das Ergebnis unter der stärkeren Annahme etabliert hatten, dass alle Schnittkrümmungen positiv sind. Da die Deformation von nicht-negativer zu positiver Krümmung nicht gut verstanden ist, wurde die Soul-Vermutung vorgeschlagen. 1994 gab Perelman einen kurzen und eleganten Beweis der Vermutung, indem er feststellte, dass im allgemeinen Fall K ≥ 0, Sharafutdinov's Retraktion P : M → S eine Submersion ist.

Drei bemerkenswerte Arbeiten von Perelman aus 1994 bis 1997 behandeln die Konstruktion verschiedener interessanter Riemannscher Mannigfaltigkeiten mit positiver Ricci-Krümmung.

Geometrisierungs- und Poincaré-Vermutungen

Das Problem

Die Poincaré-Vermutung, 1904 vom französischen Mathematiker Henri Poincaré vorgeschlagen, war eines der Schlüsselprobleme in der Topologie. Jede Schleife auf einer 3-Sphäre – wie durch die Menge der Punkte in einem Abstand von 1 vom Ursprung im vierdimensionalen euklidischen Raum veranschaulicht – kann in einen Punkt kontrahiert werden. Die Poincaré-Vermutung besagt, dass jede geschlossene dreidimensionale Mannigfaltigkeit, bei der jede Schleife in einen Punkt kontrahiert werden kann, topologisch eine 3-Sphäre ist. Das analoge Ergebnis ist seit 1960 in Dimensionen größer oder gleich fünf bekannt, wie in der Arbeit von Stephen Smale. Der vierdimensionale Fall widersetzt sich länger, wurde aber schließlich 1982 von Michael Freedman gelöst. Aber der Fall der 3-Mannigfaltigkeiten erwies sich als der schwierigste von allen. Vereinfacht gesagt liegt dies daran, dass bei der topologischen Manipulation einer 3-Mannigfaltigkeit zu wenige Dimensionen vorhanden sind, um „problematische Regionen" aus dem Weg zu räumen, ohne etwas anderes zu beeinträchtigen. Der grundlegendste Beitrag zum dreidimensionalen Fall wurde von Richard S. Hamilton erbracht. Die Rolle von Perelman war es, das Hamilton-Programm abzuschließen.

Perelmans Beweis

Im November 2002 postete Perelman den ersten von drei Preprints auf arXiv, in dem er behauptete, einen Beweis der Geometrisierungsvermutung skizziert zu haben, von der die Poincaré-Vermutung ein besonderer Fall ist. Darauf folgten die beiden anderen Preprints 2003.

Perelman modifizierte Richard S. Hamiltons Programm für einen Beweis der Vermutung. Die zentrale Idee ist der Begriff des Ricci-Flusses. Hamiltons grundlegende Idee bestand darin, einen „dynamischen Prozess" zu formulieren, bei dem eine gegebene 3-Mannigfaltigkeit geometrisch verzerrt wird, wobei der Verzerrungsprozess durch eine Differentialgleichung analog zur Wärmegleichung gesteuert wird. Die Wärmegleichung, die viel früher Riemann veranlasste, seine Riemann-Hypothese über die Nullstellen der Zeta-Funktion aufzustellen, beschreibt das Verhalten skalarer Größen wie Temperatur. Sie stellt sicher, dass Konzentrationen erhöhter Temperatur sich ausbreiten, bis überall in einem Objekt eine gleichmäßige Temperatur erreicht wird. Ähnlich beschreibt der Ricci-Fluss das Verhalten einer Tensorgröße, dem Ricci-Krümmungstensor. Hamiltons Hoffnung war, dass unter dem Ricci-Fluss Konzentrationen großer Krümmung sich ausbreiten, bis über der gesamten 3-Mannigfaltigkeit eine gleichmäßige Krümmung erreicht wird. Falls ja, sollte man, wenn man mit einer beliebigen 3-Mannigfaltigkeit beginnt und den Ricci-Fluss auftreten lässt, im Prinzip schließlich eine Art „Normalform" erhalten. Nach William Thurston muss diese Normalform eine von wenigen Möglichkeiten annehmen, jede mit einer anderen Art von Geometrie, genannt Thurston-Modell-Geometrien.

Es wurde jedoch weit verbreitet erwartet, dass der Prozess durch die Entwicklung von „Singularitäten" behindert würde. In den 1990er Jahren machte Hamilton Fortschritte im Verständnis der möglichen Arten von Singularitäten, die auftreten können, konnte aber keine umfassende Beschreibung liefern. Perelmans Artikel skizzierten eine Lösung. Nach Perelman sieht jede Singularität entweder wie ein Zylinder aus, der zu seiner Achse zusammenbricht, oder eine Sphäre, die zu ihrem Mittelpunkt zusammenbricht. Mit diesem Verständnis war er in der Lage, eine Modifikation des Standard-Ricci-Flusses zu konstruieren, genannt Ricci-Fluss mit Chirurgie, der singular Regionen systematisch ausschneiden kann, während sie sich auf kontrollierte Weise entwickeln. Die Idee für Ricci-Fluss mit Chirurgie war bereits in einem Artikel von Hamilton von 1993 vorhanden, der sie 1997 in der Umgebung höherdimensionaler Räume unter bestimmten eingeschränkten geometrischen Bedingungen erfolgreich durchgeführt hatte. Perelmans Chirurgieverfahren war grob ähnlich zu Hamiltons, unterschied sich aber in seinen technischen Aspekten auffällig.

Perelman zeigte, dass jede Singularität, die sich in endlicher Zeit entwickelt, im Wesentlichen ein „Einklemmen" entlang bestimmter Sphären ist, das der Primzerlegung der 3-Mannigfaltigkeit entspricht. Darüber hinaus resultieren alle „unendlichen Zeit"-Singularitäten aus bestimmten kollabierenden Teilen der JSJ-Zerlegung. Perelmans Arbeit beweist diese Behauptung und beweist somit die Geometrisierungsvermutung.

Der Inhalt der drei Arbeiten ist unten zusammengefasst:

• Der erste Preprint, The entropy formula for the Ricci flow and its geometric applications, bietet viele neuartige Techniken bei der Untersuchung des Ricci-Flusses, deren Hauptergebnis ein Satz ist, der eine quantitative Charakterisierung von hochkrümmungs-Regionen des Flusses liefert.
• Der zweite Preprint, Ricci flow with surgery on three-manifolds, korrigiert einige inkorrekte Aussagen des ersten Papiers und füllt einige Details aus, und verwendet das Hauptergebnis des ersten Papiers zur Verschreibung des Chirurgie-Verfahrens. Die zweite Hälfte des Papiers ist einer Analyse von Ricci-Flüssen gewidmet, die für unendliche Zeit existieren.
• Der dritte Preprint, Finite extinction time for the solutions to the Ricci flow on certain three-manifolds, bietet eine Abkürzung zum Beweis der Poincaré-Vermutung, die die Argumente in der zweiten Hälfte des zweiten Preprints vermeidet. Es zeigt, dass auf einem beliebigen Raum, der die Annahmen der Poincaré-Vermutung erfüllt, der Ricci-Fluss mit Chirurgie nur für endliche Zeit existiert, sodass die unendliche-Zeit-Analyse des Ricci-Flusses nicht relevant ist.

Tobias Colding und William Minicozzi II haben ein vollständig alternatives Argument zu Perelmans drittem Preprint bereitgestellt. Ihr Argument, gegeben die Voraussetzung einiger ausgefeilter geometrischer Maßtheorie-Argumente wie sie in den 1980er Jahren entwickelt wurden, ist besonders einfach.

Überprüfung

Perelmans Preprints zogen schnell die Aufmerksamkeit der mathematischen Gemeinschaft auf sich, obwohl sie allgemein als schwer verständlich angesehen wurden, da sie etwas knapp geschrieben worden waren. Gegen den üblichen Stil in akademischen mathematischen Veröffentlichungen waren viele technische Details weggelassen. Es wurde bald deutlich, dass Perelman bedeutende Beiträge zu den Grundlagen des Ricci-Flusses geleistet hatte, obwohl es für die mathematische Gemeinschaft nicht sofort klar war, dass diese Beiträge ausreichten, um die Geometrisierungsvermutung oder die Poincaré-Vermutung zu beweisen.

Im April 2003 besuchte Perelman das Massachusetts Institute of Technology, die Princeton University, die Stony Brook University, die Columbia University und die New York University, um kurze Vorlesungsreihen über seine Arbeit zu halten und einige Details für Experten in den relevanten Bereichen zu klären.

Im Juni 2003 veröffentlichten Bruce Kleiner und John Lott, beide damals von der University of Michigan, Notizen auf Lotts Website, die abschnittweise viele Details in Perelmans erstem Preprint ausfüllten. Im September 2004 wurden ihre Notizen aktualisiert, um Perelmans zweiten Preprint einzubeziehen. Nach weiteren Überarbeitungen und Korrektionen veröffentlichten sie am 25. Mai 2006 eine Version auf arXiv, eine modifizierte Version davon wurde 2008 in der akademischen Zeitschrift Geometry & Topology veröffentlicht. Beim International Congress of Mathematicians 2006 sagte Lott: „Es hat einige Zeit gedauert, Perelmans Arbeit zu prüfen. Dies ist teilweise auf die Originalität von Perelmans Arbeit und teilweise auf die technische Raffinesse seiner Argumente zurückzuführen. Alle Indizien deuten darauf hin, dass seine Argumente korrekt sind." In der Einleitung ihres Artikels erklärten Kleiner und Lott

Perelmans Beweise sind prägnant und teilweise skizzenhaft. Der Zweck dieser Notizen ist es, die Details bereitzustellen, die in [Perelmans ersten zwei Preprints] fehlen... Bezüglich der Beweise enthalten [Perelmans Papiere] einige falsche Aussagen und unvollständige Argumente, auf die wir versucht haben, den Leser hinzuweisen. (Einige der Fehler in [Perelmans erstem Papier] wurden in [Perelmans zweitem Papier] korrigiert.) Wir haben keine ernsthafte Probleme gefunden, das heißt Probleme, die mit den von Perelman eingeführten Methoden nicht korrigiert werden können.

Im Juni 2006 veröffentlichte das Asian Journal of Mathematics