Giuseppe Peano: Der Mann, der die Mathematik sagen ließ, was sie meinte

Im August 1900, beim Internationalen Kongress für Philosophie in Paris, beobachtete Bertrand Russell einen kleinen italienischen Professor, wie er einen Gegner nach dem anderen deklassierte. „Ich stellte fest, dass er immer präziser war als jeder andere“, schrieb Russell später, „und dass er bei jedem Argument, auf das er sich einließ, ausnahmslos die Oberhand behielt.“ Russell kehrte mit einem Stapel von Peanos Papieren nach Hause zurück und zog sich auf das Land zurück, um jedes Wort, das von ihm oder seinen Schülern geschrieben wurde, in Ruhe zu studieren. Die moderne analytische Philosophie beginnt ungefähr dort.

Der Bauernhof in Spinetta

Peano wurde am 27. August 1858 auf einem Bauernhof bei Cuneo im Piemont, damals Königreich Sardinien, geboren. Seine Eltern waren Landarbeiter; er besuchte die Dorfschule in Spinetta und ging dann täglich fünf Kilometer zur Schule in Cuneo. Die Flucht gelang durch die Familie. Sein Onkel mütterlicherseits, ein Priester und Anwalt in Turin, erkannte, was der Junge konnte, und brachte ihn 1870 für eine angemessene Sekundarbildung an das Liceo Cavour in die Stadt.

Er trat 1876 in die Universität Turin ein. D'Ovidio unterrichtete ihn im ersten Jahr in analytischer Geometrie und Algebra, Angelo Genocchi im zweiten Jahr in Infinitesimalrechnung, und im dritten Jahr war er der einzige Student der Fakultät, der noch reine Mathematik las – alle anderen waren zum Ingenieurwesen gewechselt. Er schloss sein Studium mit einer Promotion am 29. September 1880 ab, und die Universität behielt ihn, um zuerst D'Ovidio und dann Genocchi, der den Lehrstuhl für Infinitesimalrechnung innehatte, zu assistieren.

Der Mann, der die Fehler fand

Peanos bestimmendes Merkmal kündigte sich fast sofort an. 1882, als er das Standardlehrbuch zur Infinitesimalrechnung von Serret durcharbeitete, stellte er fest, dass dessen Definition der Fläche einer gekrümmten Oberfläche falsch war. Er brachte es zu Genocchi und erfuhr, dass Schwarz sie bereits entdeckt hatte – aber der Instinkt war geweckt und verließ ihn nie wieder. Er sollte sein Leben damit verbringen, die Arbeiten anderer Mathematiker zu lesen und die Stelle zu finden, an der die Argumentation im Stillen versagte.

Dies war kein Hobby. Als Corrado Segre vage Aussagen mit der Begründung verteidigte, dass der Moment der Entdeckung mehr zähle als eine rigorose Formulierung, war Peanos Antwort vernichtend: „Ich glaube, es ist neu in der Geschichte der Mathematik, dass Autoren wissentlich in ihren Forschungen Sätze verwenden, für die Ausnahmen bekannt sind oder für die sie keinen Beweis haben.“ Er demontierte die Beweise von Hermann Laurent und kam bei der Rezension eines Buches von Veronese zu dem Schluss, dass seine Fehler und sein Mangel an Strenge ihm jeglichen Wert raubten. Er machte sich stetig Feinde.

Als sich Genocchis Gesundheit verschlechterte, übernahm Peano die Vorlesungen zur Infinitesimalrechnung, und das 1884 erschienene Calcolo differenziale e principii di calcolo integrale wurde unter Genocchis Namen veröffentlicht. Genocchi gab ehrenhaft einen öffentlichen Haftungsausschluss ab: Alles, so sagte er, verdanke man „diesem hervorragenden jungen Mann Dr. Giuseppe Peano“.

Zwei Paukenschläge, 1889 und 1890

1889 veröffentlichte Peano Arithmetices principia, nova methodo exposita – Prinzipien der Arithmetik, vorgestellt durch eine neue Methode. Darin legte er die Axiome fest, die noch immer seinen Namen tragen, die Standard-Axiomatisierung der natürlichen Zahlen, wobei die gesamte Arithmetik von einem Ausgangspunkt, einer Nachfolgeoperation und Induktion abgeleitet wird. Es ist zugleich ein Meilenstein in der Geschichte der mathematischen Logik und in den Grundlagen der Mathematik. Er schrieb es auf Latein, ein Akt, den ein Historiker als reinen Romantizismus bezeichnet.

Ein Jahr später kam die raumfüllende Kurve. Cantor hatte gezeigt, dass das Einheitsintervall und das Einheitsquadrat die gleiche Kardinalität haben; Netto hatte gezeigt, dass keine solche Korrespondenz gleichzeitig bijektiv und stetig sein kann. Peano konstruierte eine stetige Kurve, die durch jeden Punkt des Quadrats verläuft – wobei er die Injektivität aufgab, um die Stetigkeit zu bewahren, und dabei jede bequeme Intuition darüber zerstörte, was eine Kurve ist und was Dimension bedeutet. Hausdorff nannte es eine der bemerkenswertesten Tatsachen der Mengenlehre. Daneben stehen der Existenzsatz von Peano für Differentialgleichungen, das Peano-Jordan-Maß und der Peano-Kern-Satz.

Er wurde 1889 zum Professor der ersten Klasse an der Königlichen Militärakademie, 1890 zum außerordentlichen Professor für Infinitesimalrechnung in Turin und 1895 zum ordentlichen Professor ernannt.

Eine Sprache für die Mathematik

Ab 1891 verfolgte Peano das Projekt, das den Rest seines Arbeitslebens in Anspruch nehmen sollte: das Formulario Mathematico, eine Enzyklopädie, die alle bekannten Formeln und Sätze der Mathematik enthalten sollte, wobei jeder in einer von ihm selbst entwickelten Standard-Symbolnotation ausgedrückt war. „Eine solche Sammlung“, schrieb er, „die in gewöhnlicher Sprache lang und schwierig wäre, wird durch die Verwendung der Notation der mathematischen Logik merklich erleichtert.“

Die Notation war die wahre Leistung. Die Symbole, die arbeitende Mathematiker täglich für Mitgliedschaft, Vereinigung, Durchschnitt und Existenz verwenden, stammen von Peano. Die letzte Ausgabe von 1908 enthielt 4.200 Formeln und Sätze, alle vollständig dargelegt und die meisten davon bewiesen. Fast niemand las es.

Warum Giuseppe ein Genie genannt wird

Die spezifische Fähigkeit ist eine Art rücksichtslose semantische Klarheit: die Fähigkeit, einen mathematischen Satz, den jeder akzeptierte, zu betrachten und genau zu sehen, welches Wort eine ungeprüfte Arbeit leistete – und es dann entweder mit einem neuen Symbol zu reparieren oder es mit einem Gegenbeispiel in die Luft zu jagen. Die raumfüllende Kurve und die Axiome für die Arithmetik sind das gleiche Talent, das in entgegengesetzte Richtungen weist: eines zerstört eine falsche Intuition, das andere baut ein Fundament so auf, dass überhaupt keine Intuition benötigt wird.

Das Wort wurde von Menschen verwendet, deren Urteil zählt. Russell nannte Peanos Notation „ein Instrument der logischen Analyse, wie ich es seit Jahren gesucht hatte.“ Hausdorff nannte die Kurve eine der bemerkenswertesten Tatsachen der Mengenlehre. Sein Biograph Kennedy stufte ihn als einen der großen Wissenschaftler seines Jahrhunderts ein.

Der Gegenfall ist ungewöhnlich klar, und Peanos eigene Bewunderer bringen ihn vor. Seine Originalität konzentriert sich auf die Jahre vor 1900; danach steckte er enorme Energie in zwei Projekte – das Formulario und eine künstliche Sprache –, die die mathematische Gemeinschaft einfach nicht nutzte. Er war so entschlossen, seine Symbole zu lehren, dass er die Infinitesimalrechnung, für deren Lehre er bezahlt wurde, vernachlässigte, und die Militärakademie entließ ihn 1901; nur die institutionelle Autonomie Turins rettete seinen Universitätsposten. Und obwohl Peano die mathematische Logik als Arbeitspraxis begründete, wird allgemein Gottlob Frege als ihr Vater bezeichnet. Peanos Genie war real, eng begrenzt und wurde von seinem Besitzer teilweise verschwendet.

Latein ohne Grammatik

1903 kündigte er Latino sine flexione an – Latein, befreit von Flexion, mit Vokabular aus Latein, Englisch, Französisch und Deutsch, gedacht als universelle Hilfssprache für die Wissenschaft. Am 3. Januar 1908 las er einen Artikel vor der Akademie der Wissenschaften in Turin, der in gewöhnlichem Latein begann und, Vereinfachung für Vereinfachung, in der neuen Zunge endete. Er wurde zum Direktor der Academia pro Interlingua gewählt, die zu seinen Gunsten das Idiom Neutral aufgab. Er schrieb das endgültige Formulario darin, was nichts dazu beitrug, seine Leserschaft zu vergrößern.

Die letzte Vorlesung

Er heiratete 1887 Carola Crosio, die Tochter des Turiner Malers Luigi Crosio. Ehrungen häuften sich stetig – die Akademie der Wissenschaften von Turin 1891, Ritter des Ordens der Heiligen Mauritius und Lazarus 1901, korrespondierendes Mitglied der Accademia dei Lincei 1905, Komtur der Krone von Italien 1921. Er lehrte in Turin bis zu dem Tag, bevor er starb; er erlitt am 20. April 1932 im Alter von dreiundsiebzig Jahren einen tödlichen Herzinfarkt. Jeder Student, der schreibt, dass ein Element zu einer Menge gehört, verwendet seine Handschrift.