Felix Klein

Jeder weiß, was eine Kurve ist, bis er genug Mathematik studiert hat, um durch die unzähligen möglichen Ausnahmen verwirrt zu werden.

Christian Felix Klein war ein deutscher Mathematiker und Mathematikpädagoge, bekannt für seine Arbeiten zu Gruppentheorie, komplexer Analysis, nichteuklidischer Geometrie und den Verbindungen zwischen Geometrie und Gruppentheorie. Sein Erlanger Programm von 1872, das Geometrien nach ihren grundlegenden Symmetriegruppen klassifizierte, war eine einflussreiche Synthese vieler mathematischer Arbeiten jener Zeit.

Leben

Felix Klein wurde am 25. April 1849 in Düsseldorf geboren, mit preußischen Eltern; sein Vater, Caspar Klein 1809–1889, war Sekretär eines preußischen Regierungsbeamten in der Rheinprovinz. Kleins Mutter war Sophie Elise Klein 1819–1890, geb. Kayser. Er besuchte das Gymnasium in Düsseldorf und studierte dann Mathematik und Physik an der Universität Bonn, 1865–1866, mit der Absicht, Physiker zu werden. Zu dieser Zeit hatte Julius Plücker Bonns Professur für Mathematik und experimentelle Physik inne, doch als Klein während 1866 sein Assistent wurde, lag Plückers Interesse bei der Geometrie. Klein erhielt seinen Doktortitel unter der Betreuung von Plücker von der Universität Bonn während 1868.

Plücker starb während 1868 und hinterließ sein Buch über die Grundlagen der Liniengeometrie unvollständig. Klein war die offensichtliche Person, um den zweiten Teil von Plückers Neue Geometrie des Raumes zu vollenden, und wurde so mit Alfred Clebsch bekannt, der sich während 1868 nach Göttingen verlagert hatte. Klein besuchte Clebsch im nächsten Jahr, zusammen mit Besuchen in Berlin und Paris. Während Juli 1870, zu Beginn des Deutsch-Französischen Krieges, war er in Paris und musste das Land verlassen. Für kurze Zeit diente er als medizinischer Gehilfe in der preußischen Armee, bevor er während Anfang 1871 zum Dozenten in Göttingen ernannt wurde.

Erlangen ernannte Klein während 1872 zum Professor, als er nur 23 Jahre alt war. Dafür wurde er von Clebsch befürwortet, der ihn als wahrscheinlich zum besten Mathematiker seiner Zeit werdend ansah. Klein wünschte sich keine Schule in Erlangen, wo es wenige Studenten gab, und war daher erfreut, während 1875 ein Professorenamt an Münchens Technische Hochschule angeboten zu bekommen. Dort lehrten er und Alexander von Brill fortgeschrittene Kurse für viele ausgezeichnete Studenten, einschließlich Adolf Hurwitz, Walther von Dyck, Karl Rohn, Carl Runge, Max Planck, Luigi Bianchi und Gregorio Ricci-Curbastro.

Während 1875 heiratete Klein Anne Hegel, die Enkelin des Philosophen Georg Wilhelm Friedrich Hegel.

Nach fünf Jahren an der Technische Hochschule wurde Klein auf einen Lehrstuhl für Geometrie in Leipzig berufen. Dort gehörten seine Kollegen Walther von Dyck, Rohn, Eduard Study und Friedrich Engel an. Kleins Jahre in Leipzig, 1880 bis 1886, veränderten sein Leben grundlegend. Während 1882 brach seine Gesundheit zusammen; während 1883–1884 war er von Depression geplagt. Dennoch setzte sich seine Forschung fort; seine grundlegende Arbeit über hyperelliptische Sigmafunktionen stammt aus etwa dieser Zeit, wurde während 1886 und 1888 veröffentlicht.

Klein akzeptierte während 1886 eine Professur an der Universität Göttingen. Von da an bis zu seiner Pensionierung 1913 versuchte er, Göttingen als das weltweit führende Mathematik-Forschungszentrum wiederherzustellen. Doch es gelang ihm nie, seine eigene Vorrangstellung als Entwickler der Geometrie von Leipzig nach Göttingen zu transferieren. In Göttingen unterrichtete er eine Vielzahl von Kursen, hauptsächlich zu den Schnittstellen zwischen Mathematik und Physik, wie Mechanik und Potentialtheorie.

Die Forschungseinrichtung, die Klein in Göttingen gründete, diente als Modell für die besten solchen Einrichtungen auf der ganzen Welt. Er führte wöchentliche Diskussionstreffen ein und schuf ein mathematisches Lesezimmer und eine Bibliothek. Während 1895 holte Klein David Hilbert von der Universität Königsberg weg; diese Ernennung erwies sich als schicksalhaft, da Hilbert Göttingens guten Ruf bis zu seiner eigenen Pensionierung während 1932 aufrechterhielt.

Mit Kleins Redaktion wurde Mathematische Annalen eine der besten mathematischen Zeitschriften der Welt. Von Clebsch gegründet, erst unter Kleins Verwaltung rivalisierte sie und überholte dann Crelles Journal mit Sitz an der Universität Berlin. Klein etablierte ein kleines Team von Redakteuren, die sich regelmäßig trafen und demokratische Entscheidungen trafen. Die Zeitschrift spezialisierte sich auf komplexe Analysis, algebraische Geometrie und Invariantentheorie, zumindest bis Hilbert das Thema beendete. Sie bot auch einen wichtigen Ausweg für reelle Analysis und die neue Gruppentheorie.

Während 1893 in Chicago war Klein ein Hauptredner auf dem Internationalen Mathematischen Kongress, der als Teil der Weltausstellung von Kolumbus abgehalten wurde. Teilweise aufgrund von Kleins Bemühungen begann Göttingen während 1893, Frauen zuzulassen. Er betreute die erste Doktorarbeit in Mathematik, die von einer Frau an Göttingen geschrieben wurde; sie war Grace Chisholm Young, eine englische Studentin von Arthur Cayley, den Klein bewunderte. Während 1897 wurde Klein Auslandsmitglied der Königlich Niederländischen Akademie der Künste und Wissenschaften.

Um 1900 begann Klein sich für mathematischen Unterricht in Schulen zu interessieren. Während 1905 war er entscheidend bei der Formulierung eines Plans, der empfahl, dass analytische Geometrie, die Grundlagen der Differential- und Integralrechnung und das Funktionskonzept in Sekundärschulen gelehrt werden. Diese Empfehlung wurde schrittweise in vielen Ländern auf der ganzen Welt umgesetzt. Während 1908 wurde Klein zum Präsidenten der Internationalen Kommission für Mathematischen Unterricht auf dem Rom-Internationalen Mathematikerkongress gewählt. Unter seiner Anleitung veröffentlichte der deutsche Teil der Kommission viele Bände über den Unterricht in Mathematik auf allen Ebenen in Deutschland.

Die London Mathematical Society verlieh Klein während 1893 ihre De Morgan Medal. Er wurde während 1885 zum Mitglied der Royal Society gewählt und erhielt während 1912 ihre Copley Medal. Er pensionierte sich im nächsten Jahr aufgrund von Gesundheitsproblemen, unterrichtete aber einige Jahre lang weiterhin Mathematik in seinem Haus.

Klein war einer der 93 Unterzeichner des Manifests der Dreiundneunzig, ein Dokument, das zur Unterstützung der deutschen Invasion Belgiens in den frühen Stadien des Ersten Weltkriegs verfasst wurde.

Klein hatte den Titel eines Geheimrats.

Er starb in Göttingen während 1925.

Arbeiten

Kleins Dissertation über Liniengeometrie und ihre Anwendungen auf die Mechanik klassifizierte Linienkomplexe zweiten Grades mit Weierstrass' Theorie der elementaren Divisoren.

Kleins erste wichtige mathematische Entdeckungen wurden während 1870 gemacht. In Zusammenarbeit mit Sophus Lie entdeckte er die fundamentalen Eigenschaften der asymptotischen Linien auf der Kummer-Fläche. Sie untersuchten später W-Kurven, Kurven, die unter einer Gruppe von projektiven Transformationen invariant sind. Es war Lie, der Klein das Konzept der Gruppe einführte, das eine große Rolle in seiner späteren Arbeit spielen sollte. Klein lernte auch von Camille Jordan über Gruppen.

Klein erfand die nach ihm benannte „Klein-Flasche", eine einseitige geschlossene Oberfläche, die nicht in den dreidimensionalen euklidischen Raum eingebettet werden kann, sich aber als ein Zylinder immersieren kann, der sich selbst durchloopt, um sich mit seinem anderen Ende von innen zu verbinden. Sie kann im euklidischen Raum der Dimensionen 4 und höher eingebettet werden. Das Konzept einer Klein-Flasche wurde als dreidimensionales Möbius-Band erfunden, wobei eine Konstruktionsmethode das Anbringen der Kanten von zwei Möbius-Bändern ist.

Während der 1890er Jahre begann Klein, mathematische Physik intensiver zu studieren, schreibend über den Gyroskop mit Arnold Sommerfeld. Während 1894 initiierte er die Idee einer Enzyklopädie der Mathematik einschließlich ihrer Anwendungen, die zur Encyklopädie der mathematischen Wissenschaften wurde. Dieses Unternehmen, das bis 1935 andauerte, bot eine wichtige Standard-Referenz von bleibendem Wert.

Erlanger Programm

Während 1871, während er in Göttingen war, machte Klein große Entdeckungen in der Geometrie. Er veröffentlichte zwei Arbeiten Über die sogenannte Nicht-Euklidische Geometrie, die zeigten, dass euklidische und nicht-euklidische Geometrien als metrische Räume betrachtet werden konnten, die durch eine Cayley-Klein-Metrik bestimmt sind. Diese Einsicht hatte die Folgerung, dass nicht-euklidische Geometrie konsistent war, wenn und nur wenn euklidische Geometrie konsistent war, was denselben Status für euklidische und nicht-euklidische Geometrien gab und alle Kontroversen über nicht-euklidische Geometrie beendete. Arthur Cayley akzeptierte Kleins Argument nie, da er glaubte, dass es zirkulär sei.

Kleins Synthese der Geometrie als das Studium der Eigenschaften eines Raums, der unter einer gegebenen Gruppe von Transformationen invariant ist, bekannt als das Erlanger Programm 1872, beeinflusste die Entwicklung der Mathematik tiefgreifend. Dieses Programm wurde durch Kleins Antrittsvorlesung als Professor in Erlangen initiiert, obwohl es nicht die tatsächliche Rede war, die er bei dieser Gelegenheit hielt. Das Programm schlug ein einheitliches System der Geometrie vor, das zur modernen Standardmethode geworden ist. Klein zeigte, wie die wesentlichen Eigenschaften einer gegebenen Geometrie durch die Gruppe von Transformationen dargestellt werden konnten, die diese Eigenschaften bewahrten. Daher umfasste die Definition des Programms für Geometrie sowohl euklidische als auch nicht-euklidische Geometrie.

Gegenwärtig ist die Bedeutung von Kleins Beiträgen zur Geometrie mehr als offensichtlich, aber nicht, weil diese Beiträge jetzt als seltsam oder falsch angesehen werden. Im Gegenteil, diese Beiträge sind so sehr Teil unseres gegenwärtigen mathematischen Denkens geworden, dass es schwierig für uns ist, ihre Neuheit und die Art und Weise, in der sie nicht sofort von allen seinen Zeitgenossen akzeptiert wurden, zu würdigen.

Komplexe Analysis

Klein sah seine Arbeiten zur komplexen Analysis als seinen Hauptbeitrag zur Mathematik an, speziell seine Arbeiten zu:

• Der Verbindung zwischen bestimmten Ideen von Riemann und Invariantentheorie,
• Zahlentheorie und abstrakter Algebra;
• Gruppentheorie;
• Geometrie mit mehr als 3 Dimensionen und Differentialgleichungen, besonders Gleichungen, die er erfand, nämlich elliptische Modulfunktionen und automorphe Funktionen.

Klein zeigte, dass die Modulgruppe die Grundregion der komplexen Ebene bewegt, um diese Ebene zu tessellieren. Während 1879 untersuchte er die Wirkung von PSL2,7, betrachtet als ein Bild der Modulgruppe, und erhielt eine explizite Darstellung einer Riemannschen Fläche, die jetzt als Klein-Quartik bekannt ist. Er zeigte, dass diese Fläche eine Kurve im projektiven Raum war, dass ihre Gleichung x3y + y3z + z3x = 0 war, und dass ihre Symmetriegruppe PSL2,7 der Ordnung 168 war. Sein Ueber Riemann's Theorie der algebraischen Funktionen und ihre Integrale 1882 behandelt komplexe Analysis auf geometrische Weise, verbindend Potentialtheorie und konforme Abbildungen. Diese Arbeit zog auf Vorstellungen aus der Fluiddynamik.

Klein betrachtete Gleichungen von Grad > 4, und war besonders daran interessiert, Transkendentalmethoden zu verwenden, um die allgemeine Gleichung fünften Grades zu lösen. Aufbauend auf den Methoden von Charles Hermite und Leopold Kronecker produzierte er ähnliche Ergebnisse wie Brioschi und löste später das Problem vollständig mit Hilfe der ikosaedralen Gruppe. Diese Arbeit ermöglichte es ihm, eine Serie von Arbeiten über elliptische Modulfunktionen zu schreiben.

In seinem 1884er Buch über das Ikosaeder etablierte Klein eine Theorie automorpher Funktionen, die Algebra und Geometrie assoziiert. Allerdings veröffentlichte Poincaré einen Überblick über seine Theorie automorpher Funktionen während 1881, was zu einer freundschaftlichen Rivalität zwischen den beiden Männern führte. Beide versuchten, einen großen Uniformisierungssatz zu formulieren und zu beweisen, der die neue Theorie vollständiger etablieren würde. Klein gelang es, einen solchen Satz zu formulieren und eine Strategie zu seiner Beweisführung zu beschreiben. Aber während dieser Arbeit nahm seine Gesundheit ab, wie oben erwähnt.

Klein fasste seine Arbeiten über automorphe und elliptische Modulfunktionen in einer vierbändigen Abhandlung zusammen, geschrieben mit Robert Fricke während einer Zeit von etwa 20 Jahren.

Ausgewählte Werke

• 1882: Ueber Riemann's Theorie der Algebraischen Functionen und ihre Integrale JFM 14.0358.01
• e-text bei Project Gutenberg, auch verfügbar von Cornell
• 1884:Vorlesungen über das Ikosaeder und die Auflösung der Gleichungen vom 5ten Grade Englische Übersetzung von G. G. Morrice 1888 Lectures on the Ikosahedron; and the Solution of Equations of the Fifth Degree via Internet Archive
• Englische Übersetzung von G. G. Morrice 1888 Lectures on the Ikosahedron; and the Solution of Equations of the Fifth Degree via Internet Archive
• 1886: Über hyperelliptische Sigmafunktionen Erster Aufsatz p. 323–356, Mathematische Annalen Bd. 27,
• 1888: Über hyperelliptische Sigmafunktionen Zweiter Aufsatz p. 357–387, Math. Annalen, Bd. 32,
• 1894: Über die hypergeometrische Funktion
• 1894: Über lineare Differentialgleichungen der 2. Ordnung
• 1897: mit Arnold Sommerfeld Theorie des Kreisels weitere Bände: 1898, 1903, 1910
• 1890: mit Robert Fricke Vorlesungen über die Theorie der elliptischen Modulfunktionen 2 Bände und 1892
• 1894: Evanston Colloquium 1893 berichtet und veröffentlicht von Ziwet New York, 1894
• Fricke, Robert; Klein, Felix 1897, Vorlesungen über die Theorie der automorphen Functionen. Erster Band; Die gruppentheoretischen Grundlagen in German, Leipzig: B. G. Teubner, ISBN 978-1-4297-0551-6, JFM 28.0334.01 Zweiter Band. 1901.
• 1901: Gauss' wissenschaftliches Tagebuch, 1796—1814. Mit Anwendungen von Felix Klein
• Fricke, Robert; Klein, Felix 1912, Vorlesungen über die Theorie der automorphen Functionen. Zweiter Band: Die funktionentheoretischen Ausführungen und die Anwendungen. 1. Lieferung: Engere