Euklids Parallelenpostulat
Das Parallelenpostulat besagt: Zu einer Geraden und einem Punkt, der nicht auf ihr liegt, gibt es genau eine Gerade, die durch diesen Punkt verläuft und parallel zur gegebenen Geraden ist. Das scheint offensichtlich. Aber im Gegensatz zu Euklids anderen Postulaten ist es nicht selbstverständlich notwendig. 2.000 Jahre lang nahmen Mathematiker an, es könne aus den anderen abgeleitet werden. Das kann es nicht.
Lobatschewskis hyperbolische Geometrie
Lobatschewski (1829) und Bolyai (1832) zeigten unabhängig voneinander, dass man eine konsistente Geometrie erhält, wenn man annimmt, dass unendlich viele Parallelen durch den Punkt verlaufen — die hyperbolische Geometrie. Im hyperbolischen Raum ist die Winkelsumme eines Dreiecks kleiner als 180°, und die Geometrie ist negativ gekrümmt (wie eine Sattelfläche).
Riemanns Erweiterung
Bernhard Riemann (1854) verallgemeinerte dies weiter: Man kann auch null Parallelen haben (sphärische Geometrie, wo sich Großkreise immer schneiden). Und Geometrie muss nicht einmal in drei Dimensionen flach sein — der Raum selbst kann sich krümmen. Dies wurde zum mathematischen Rahmen, den Einstein 60 Jahre später für die allgemeine Relativitätstheorie nutzte.
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IQ-Test starten →Ablehnung und Anerkennung
Lobatschewski veröffentlichte seine Ergebnisse 1829; sie wurden verspottet und ignoriert. Bolyais Vater schickte die Arbeit an Gauss, der antwortete, er habe schon Jahre zuvor daran gedacht (wahrscheinlich wahr, aber er hat es nie veröffentlicht). Lobatschewski starb, ohne zu erleben, wie seine Arbeit anerkannt wurde. Die Anerkennung kam mit Riemanns Verallgemeinerung und schließlich mit Einsteins Bestätigung, dass der Raum tatsächlich gekrümmt ist.
Häufig gestellte Fragen
Was ist nichteuklidische Geometrie?
Nichteuklidische Geometrie ist jede Geometrie, die Euklids Parallelenpostulat ablehnt. In der hyperbolischen Geometrie (Lobatschewski, Bolyai) verlaufen mehrere Parallelen durch einen gegebenen Punkt; in der sphärischen Geometrie (Riemann) keine. Beide sind intern konsistent und beschreiben reale physikalische Räume.
Wer erfand die nichteuklidische Geometrie?
Nikolai Lobatschewski (Russland, 1829) und János Bolyai (Ungarn, 1832) entdeckten unabhängig voneinander die hyperbolische nichteuklidische Geometrie. Gauss behauptete später, er habe sie unabhängig entdeckt, aber nie veröffentlicht. Riemann verallgemeinerte sie alle im Jahr 1854.
Wie bezieht sich die nichteuklidische Geometrie auf Einstein?
Einsteins allgemeine Relativitätstheorie (1915) nutzt die Riemannsche Geometrie, um Gravitation als Krümmung der vierdimensionalen Raumzeit zu beschreiben. Massive Objekte krümmen die Geometrie des Raums; was wir als gravitative Anziehung erfahren, ist Bewegung entlang gekrümmter Geodäten. Ohne nichteuklidische Geometrie hätte die allgemeine Relativitätstheorie keine mathematische Sprache.