Was der Satz aussagt
Der Große Fermatsche Satz besagt: Es gibt keine positiven ganzen Zahlen x, y, z und eine ganze Zahl n > 2, sodass xⁿ + yⁿ = zⁿ gilt. Für n = 2 gibt es unendlich viele Lösungen (Pythagoreische Tripel: 3² + 4² = 5² usw.). Für n ≥ 3 behauptet der Satz, dass es keine gibt. Einfach auszusprechen; außerordentlich schwierig zu beweisen.
Drei Jahrhunderte der Versuche
Euler bewies den Fall n = 3 im Jahr 1770. Dirichlet und Legendre bewiesen n = 5 im Jahr 1825. Lamé bewies n = 7 im Jahr 1839. Kummer bewies den Satz für alle „regulären Primzahlen“ im Jahr 1850. Bis in die 1980er Jahre war der Große Fermatsche Satz für alle n bis zu 125.000 rechnerisch überprüft worden – doch Berechnung ist kein Beweis. Der allgemeine Fall widersetzte sich jedem.
Wiles’ Beweis
Andrew Wiles war von Fermat besessen, seit er davon als 10-Jähriger gelesen hatte. 1986 bewies Ken Ribet, dass die Taniyama-Shimura-Vermutung den Großen Fermatschen Satz impliziert – wenn alle elliptischen Kurven modular sind, dann ist der Satz wahr. Wiles verbrachte 7 Jahre im Geheimen damit, die Taniyama-Shimura-Vermutung für semistabile elliptische Kurven zu beweisen. Er kündigte den Beweis im Juni 1993 an. Es wurde eine Lücke gefunden. Nach weiteren 14 Monaten Arbeit erschien der vollständige Beweis 1995 – 130 Seiten modernster Zahlentheorie. Der Rand war in der Tat zu schmal für Fermats Beweis – weil sein Beweis mit an Sicherheit grenzender Wahrscheinlichkeit nicht existierte.
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Was ist der Große Fermatsche Satz?
Der Große Fermatsche Satz besagt, dass es für ganze Zahlen n > 2 keine positiven ganzzahligen Lösungen für xⁿ + yⁿ = zⁿ gibt. Für n = 2 gibt es zahlreiche Lösungen (Pythagoreische Tripel wie 3,4,5). Fermat behauptete 1637, einen Beweis zu haben, schrieb ihn aber nie nieder. Andrew Wiles bewies ihn 1995 unter Verwendung elliptischer Kurven und Modulformen – Mathematik, die zu Fermats Zeit nicht existierte.
Hatte Fermat tatsächlich einen Beweis?
Fast mit Sicherheit nicht. Wiles’ Beweis verwendet Mathematik des 20. Jahrhunderts (elliptische Kurven, Modulformen, Galois-Darstellungen), die Fermat nicht hätte kennen können. Die Beweise für Spezialfälle (n=3, n=5, n=7) erforderten bereits erhebliche Innovationen, die über Fermats Ära hinausgingen. Der Konsens ist, dass Fermat entweder ein fehlerhaftes Argument hatte, das er nicht sorgfältig geprüft hatte, oder sich mit einem einfacheren, verwandten Ergebnis täuschte.
Wie bewies Andrew Wiles den Großen Fermatschen Satz?
Wiles bewies die Taniyama-Shimura-Vermutung für semistabile elliptische Kurven: Jede solche Kurve entspricht einer Modulform. Ken Ribet hatte zuvor bewiesen, dass dies den Großen Fermatschen Satz impliziert. Wiles arbeitete 7 Jahre lang heimlich in Princeton, kündigte 1993 einen Beweis an (der eine Lücke enthielt), stellte dann 1994 den korrigierten Beweis fertig, der 1995 auf 130 Seiten veröffentlicht wurde.