مارك كاتس: هل يمكنك سماع شكل الطبل؟

في عام 1966، نشر عالم رياضيات احتمالات بولندي أمريكي مقالاً يتمحور حول سؤال يمكن لطفل أن يطرحه: إذا كنت تسمع طبلًا، هل يمكنك معرفة شكله؟ تبين أن الإجابة هي لا، حيث يمكن لأجهزة رنين مختلفة أن تتشارك في ترددات ذاتية متطابقة. هذا السؤال أسس لمجال علمي كامل. فاز كاتس بجائزة شوفينيت (Chauvenet Prize) عن المقال بعد عامين، وهي جائزته الثانية، وترك وراءه واحداً من الأسئلة الرياضية القليلة جداً التي أصبحت جملة يقتبسها الناس دون أن يعرفوا قائلها.

كريمينيتس، والحدود التي تحركت

ولد كاتس في 3 أغسطس 1914 في كريمينيتس (Kremenets) - كشيمينيتس (Krzemieniec) بالبولندية - التي كانت آنذاك جزءاً من الإمبراطورية الروسية، لعائلة يهودية بولندية. تغيرت تبعية المدينة بينما كان طفلاً، حيث انتقلت من ما أصبح أوكرانيا السوفيتية إلى بولندا بموجب معاهدة ريغا. لم ينتقل هو، بل تحركت الحدود. إنه أصل مناسب لعالم رياضيات قضى حياته المهنية في دراسة سلوك الأنظمة التي تتحرك تحت قدميك.

لفيف، وشتاينهاوس، والمخرج

حصل على الدكتوراه من جامعة لفيف (University of Lwów) في عام 1937 تحت إشراف هوغو شتاينهاوس (Hugo Steinhaus)، وكان ينتمي إلى مدرسة لفيف للرياضيات (Lwów School of Mathematics) - وهي التجمع الأكثر أهمية للمواهب الرياضية في بولندا بين الحربين العالميتين، وهو تجمع كان العقد القادم سيقضي عليه تماماً.

في عام 1938، مكنته منحة من مؤسسة بارناس (Parnas Foundation) من المغادرة إلى الولايات المتحدة. وصل إلى نيويورك في نوفمبر 1938. كان التوقيت، بكل معنى الكلمة، هو الفرق بين حياة وإحصائية: لقد عبر المحيط الأطلسي في النافذة الأخيرة قبل أن تغلق.

كورنيل، والحرب

انضم إلى جامعة كورنيل في عام 1939، حيث ترقى من مدرس إلى أستاذ مساعد في 1943 ثم إلى أستاذ متفرغ في 1947. حصل على الجنسية الأمريكية في 1943. من 1943 إلى 1945، عمل مع جورج أولينبيك (George Uhlenbeck) في مختبر الإشعاع التابع لمعهد ماساتشوستس للتكنولوجيا (MIT)، في مشروع الرادار - وهي واحدة من تلك التعيينات في زمن الحرب حيث اكتشف علماء الرياضيات البحتة أن تجريداتهم لها أسنان فيزيائية فورية. استمر التعاون مع أولينبيك بعد الحرب؛ وعمل الاثنان، مع بي. سي. هيمر (P. C. Hemmer)، لاحقاً على استنتاج رياضيات غاز فان دير فالس.

أغسطس 1942

بقي والداه وأخوه في كريمينيتس. قُتلوا على يد النازيين في عمليات الإعدام الجماعي في أغسطس 1942.

هذه الحقيقة موجودة في سيرته الذاتية دون تعليق، كما هو الحال عادة مع مثل هذه الحقائق، ولا ينبغي تنميقها لتصبح سردية. كان كاتس في أمريكا، يدرس في كورنيل، في منتصف مسيرة أكاديمية صاعدة، عندما قُتلت عائلته في البلدة التي تحركت الحدود حولها عندما كان صبياً. مهما كانت العواقب الداخلية، يُظهر السجل الخارجي رجلاً عمل، وعمل بإنتاجية، لأربعين عاماً أخرى، وفي وقت لاحق من حياته شارك في رئاسة لجنة العلماء القلقين (Committee of Concerned Scientists)، مروجاً لقضايا العلماء المضطهدين بمن فيهم فلاديمير صامويلوفيتش كيسليك (Vladimir Samuilovich Kislik) ويوسف بيغون (Yosif Begun). لقد تعلم مبكراً ما هي التكلفة عندما لا يحدث أحد ضجيجاً.

الفيزياء الإحصائية: الحلقة ونموذج إيزينغ

كانت الخمسينيات عقده في الفيزياء. في عام 1952، قدم مع ثيودور إتش. برلين (Theodore H. Berlin) النموذج الكروي للمغناطيس الحديدي؛ ومع جي. سي. وارد (J. C. Ward) قدم حلاً دقيقاً لنموذج إيزينغ (Ising model) - وهو حل نادر وثمين، لأن النماذج التي يمكن حلها بدقة هي النقاط الثابتة التي يبحر منها مجال كامل.

في عام 1956 جاءت حلقة كاتس (Kac ring)، وربما تكون أكثر بناء منفرد له أناقة. اللغز الذي تعالجه قديم ومزعج حقاً: كيف يمكن لعدم الانعكاس العياني - حقيقة أن الأشياء تتدهور ولا تعود تلقائياً - أن تنشأ من قوانين مجهرية متماثلة تماماً في الوقت؟ مفارقة لوشميت (Loschmidt's paradox). بنى كاتس نموذجاً بسيطاً بما يكفي لتحليله تماماً وغنياً بما يكفي لإظهار الظاهرة، وبالتالي أنتج تفسيراً بدلاً من حجة. هذا هو أعلى شكل من أشكال نوع معين من الفيزياء الرياضية: استبدال نزاع فلسفي بمثال قابل للحساب.

الطبل

سأل مقاله عام 1966 عما إذا كان الشكل الهندسي للطبل يتحدد بشكل فريد من خلال صوته. أثبتت الإجابة أنها سلبية بشكل عام - يمكن لأشكال متميزة أن تنتج نفس الطيف - على الرغم من أنه بالنسبة لأشكال معينة، بما في ذلك الطبول الدائرية، يمكن بالفعل استنتاج الهندسة من طيف عامل لابلاس (Laplacian). ومن هنا جاءت الهندسة الطيفية (spectral geometry)، وهي الدراسة المنهجية لما يخبرك به طيف المؤثر عن المساحة التي يعيش فيها.

تكمن قوة السؤال في شكله. إنه مذكور بلغة عادية، وهو مفهوم فوراً لغير الرياضيين، ويتضح أنه يتطلب آلات ثقيلة للإجابة عليه. قلة قليلة من الباحثين يصيغون مشكلة بكل هذه الخصائص الثلاث.

لماذا يُسمى مارك عبقرياً

القدرة المميزة هي اختيار المشكلات. أعمال كاتس التقنية - حل إيزينغ، النموذج الكروي، رياضيات فان دير فالس - من الطراز الأول، لكن الكثير من الأعمال التقنية من الطراز الأول تختفي في الأدبيات. ما يميزه هو أنه وجد مراراً وتكراراً الصياغة التي جعلت منطقة غامضة قابلة للمعالجة فجأة. فعلت حلقة كاتس ذلك لمفارقة لوشميت: نموذج جُرد إلى العظم ومع ذلك يعرض الشيء الذي كان الجميع يتجادلون حوله. فعل سؤال الطبل ذلك للهندسة الطيفية: جملة إنجليزية فتحت تخصصاً رياضياً. هذه موهبة محددة وغير شائعة - ليس حل المشكلات الصعبة بل تحديد المشكلة الصعبة التي تستحق الحل وصياغتها بنظافة كافية لدرجة أن الآخرين يمكنهم بدء العمل.

موهبته التفسيرية هي نفس الغريزة الموجهة للخارج، وقد تم الاعتراف بها: جائزتان من جوائز شوفينيت، في 1950 لمقال عام 1947 وفي 1968 لورقة الطبل، بالإضافة إلى جائزة ليستر آر. فورد (Lester R. Ford Award) في 1967. تبعتها المصادقات المؤسسية - الأكاديمية الأمريكية للفنون والعلوم في 1959، الأكاديمية الوطنية للعلوم في 1965، الجمعية الفلسفية الأمريكية في 1969، محاضر سولفاي في بروكسل في 1971، ومحاضر فيرمي في سكولا نورمالي في بيزا في 1980.

الحالة المضادة: لا أحد في السجل يطبق الكلمة عليه بالفعل، جوائزه هي للتفسير بدلاً من الاكتشاف، وسؤال الطبل مشهور جزئياً لأنه ساحر - الإجابة قدمها آخرون. قراءة معادية ستسميه متواصلاً رائعاً وعالم رياضيات جيد جداً بدلاً من عظيم. القراءة العادلة هي أن التأطير نفسه شكل من أشكال الاكتشاف، وقد فعل كاتس ذلك أكثر من مرة.

الإرث

غادر كاتس كورنيل في 1961 إلى جامعة روكفلر (The Rockefeller University)، حيث أمضى حوالي عقدين حتى 1981، مختتماً في جامعة جنوب كاليفورنيا. توفي في 26 أكتوبر 1984. علمت كتبه - الاستقلال الإحصائي في الاحتمالات والتحليل ونظرية الأعداد (1959)، الاحتمالات والمواضيع ذات الصلة في العلوم الفيزيائية (1959)، الرياضيات والمنطق مع ستانيسلاف أولام (1968) - جيلاً كاملاً، وظهرت سيرته الذاتية، ألغاز الصدفة (Enigmas of Chance)، بعد وفاته في 1985. تم اختيار العنوان بشكل جيد من قبل رجل ماتت عائلته بسبب حادث حدود ونجا هو بحادث منحة.