ليوبولد كرونيكر: الله خلق الأعداد الصحيحة

"لقد خلق الله الأعداد الصحيحة، وكل ما عدا ذلك هو من صنع الإنسان" (Die ganzen Zahlen hat der liebe Gott gemacht, alles andere ist Menschenwerk). نقل هاينريش فيبر (Heinrich Weber) هذه العبارة، وقد عاشت لفترة أطول من أي شيء آخر قاله مؤلفها تقريبًا، لأنها ليست ملاحظة ورعة بل إعلان حرب. قضى الرجل الذي نطق بها عقوده الأخيرة في محاولة لتجريد الرياضيات الحديثة من الكائنات اللانهائية التي كان زملاؤه مشغولين باختراعها، وقد صنع الكثير من الأعداء أثناء قيامه بذلك لدرجة أن أحد أعظم المحللين في أوروبا كاد يغادر برلين ليبتعد عنه.

ليغنيتس ومعلم يدعى كومر

وُلد ليوبولد كرونيكر (Leopold Kronecker) في 7 ديسمبر 1823 في ليغنيتس (Liegnitz) في بروسيا - وهي الآن ليغنيتسا (Legnica) في بولندا - لعائلة يهودية ثرية. قام والداه، إيسيدور (Isidor) ويوهانا (Johanna، واسم عائلتها قبل الزواج براوزنيتزر (Prausnitzer))، بتعيين معلمين خاصين في المنزل قبل إرساله إلى صالة الألعاب الرياضية (Gymnasium) في ليغنيتس، حيث تنقل بين العلوم والتاريخ والفلسفة ومارس السباحة والجمباز بنفس الشهية. أصبح شقيقه الأصغر هوغو (Hugo) عالم فسيولوجيا متميزًا. في صالة الألعاب الرياضية، كان معلم الرياضيات الخاص به هو إرنست كومر (Ernst Kummer)، الذي لاحظ موهبته وشجعه عليها - وهي علاقة ستشكل بقية حياة كرونيكر، حيث ظلت مهن الرجلين تتقارب.

التحق بجامعة برلين في عام 1841، مترددًا بين علم الفلك والفلسفة والرياضيات، وقضى صيف عام 1843 في دراسة علم الفلك في بون (Bonn)، ثم تبع كومر إلى بريسلاو (Breslau) للفترة 1843-1844 قبل أن يعود إلى برلين، حيث دافع في عام 1845 عن أطروحته في نظرية الأعداد الجبرية تحت إشراف بيتر غوستاف لوجون ديريكليه (Peter Gustav Lejeune Dirichlet).

رجل الأعمال الذي مارس الرياضيات

ما فعله بعد ذلك كان غير عادي لرجل يتمتع بمواهبه: لا شيء أكاديمي على الإطلاق. عاد إلى المنزل لإدارة عقار زراعي كبير والاهتمام بأعمال العائلة. تزوج من ابنة عمه فاني براوزنيتزر (Fanny Prausnitzer) في عام 1848 وأنجب ستة أطفال. كان، لمدة عقد تقريبًا، رجل أعمال إقليمي مزدهر تصادف أنه ينشر رياضيات أصلية في أوقات فراغه - بما في ذلك مذكرات عام 1853 حول القابلية للحل الجبري للمعادلات التي وسعت عمل غالوا (Galois)، وعلاج عام 1850 للمعادلة من الدرجة الخامسة باستخدام نظرية المجموعات (وليس عن طريق الجذور، وهو ما أثبت أبيل (Abel) وروفيني (Ruffini) بالفعل أنه مستحيل).

نجح العمل بشكل كافٍ لدرجة أنه في عام 1855 تمكن من العودة إلى برلين والعيش هناك كباحث خاص دون منصب ودون حاجة إليه. منحته الانتخابات في أكاديمية برلين في عام 1861 الحق في إلقاء محاضرات في الجامعة، وهو ما بدأ القيام به في عام 1862؛ لقد درس لمدة عقدين دون كرسي. في عام 1866 رفض كرسي الرياضيات في غوتينغن (Göttingen) - مقعد غاوس (Gauss) وديريكليه، والذي يمكن القول إنه أرقى منصب في الرياضيات الأوروبية - مفضلاً برلين. فقط في عام 1883، عندما تقاعد كومر، تولى منصب أستاذ عادي، خلفًا للمعلم الذي اكتشفه.

أعز أحلام نظرية الأعداد

رياضيات كرونيكر هي النوع الذي يبذر تخصصًا بدلاً من إغلاقه. لقد صاغ في عام 1853 ما أصبح مبرهنة كرونيكر-فيبر (Kronecker-Weber theorem)، والتي قدم ديفيد هيلبرت (David Hilbert) برهانها الكامل لاحقًا. قدم مبرهنة البنية للمجموعات الأبيلية المولدة بشكل محدود (structure theorem for finitely generated abelian groups)، وهي واحدة من النتائج الحاملة للجبر الحديث. عمل على الدوال الإهليلجية (elliptic functions) وتكهن بما أسماه "أعز أحلام شبابه" (liebster Jugendtraum) - رؤية لنظرية حقل الصفوف الصريحة (explicit class field theory) التي دمجها هيلبرت لاحقًا في مسألته الثانية عشرة، حيث لا تزال برنامج بحث حي.

في نظرية الأعداد الجبرية، بنى نظرية للمقسومات (divisors) كبديل لنظرية المثاليّات (ideals) الخاصة بديديكايند (Dedekind)، وقد فعل ذلك لأسباب فلسفية وليس تقنية: يمكن التعامل مع المقسومات عن طريق البناء الصريح، بينما تتطلب المثاليّات مجموعات لا نهائية. فازت مقاربة ديديكايند بالقرن، وكانت مقاربة كرونيكر تُعامل على نطاق واسع كفضول - حتى أعاد القرن العشرين إحياءها. أصبح اسمه الآن مرتبطًا بكمية غير محتملة من أثاث الرياضيات: دلتا كرونيكر، حاصل ضرب كرونيكر، رمز كرونيكر، صيغة حد كرونيكر، مبرهنة كرونيكر، مبرهنة كرونيكر المساعدة، مبرهنة كرونيكر-كابيلي، تعويض كرونيكر.

الحرب على اللانهائي

الموقف الفلسفي الذي ولّد نظرية المقسومات ولّد كل شيء آخر، بما في ذلك العداء. رأى كرونيكر أن الرياضيات يجب أن تُبنى من الأعداد الصحيحة عن طريق بناء محدود وصريح - وهو مذهب يسمى الآن التناهوية (finitism)، مما جعله رائدًا للحدسية (intuitionism). لقد ساهم في مفهوم الاستمرارية وإعادة بناء الأعداد غير النسبية في التحليل الحقيقي، لكنه رفض دالة فايرشتراس (Weierstrass) المستمرة وغير القابلة للاشتقاق لأسباب فلسفية، وهاجم نظرية المجموعات الخاصة بجورج كانتور (Georg Cantor)، بتسلسلها الهرمي لللانهائيات الفعلية، باعتبارها غير شرعية.

لم يحصر هذه الآراء في الندوات. لقد أدت حملته إلى توتر علاقته مع كارل فايرشتراس (Karl Weierstrass) لدرجة أن فايرشتراس كاد يترك الجامعة في عام 1888. في العام الأخير من حياته، اعتنق كرونيكر المسيحية. توفي في برلين في 29 ديسمبر 1891 ودُفن في مقبرة كنيسة القديس متى القديمة (Alter St Matthäus Kirchhof) في شونبيرغ (Schöneberg).

لماذا يُدعى ليوبولد عبقريًا

تستند القضية إلى مزيج محدد ونادر: غريزة عالم الجبر للبنية مقترنة بمطلب مهووس تقريبًا بالمحتوى البنائي. يبدو أن كرونيكر لم يكن قادرًا على قبول كائن رياضي لا يمكنه، من حيث المبدأ، بناؤه - وهذا القيد، الذي يبدو كأنه حد، عمل كمنشئ. لقد أنتج نظرية المقسومات، ومبرهنة البنية للمجموعات الأبيلية المولدة بشكل محدود، ومبرهنة كرونيكر-فيبر وأحلام الشباب، والعديد منها أعاد تنظيم مجالاتها. كانت تخميناته أيضًا جيدة التصويب بشكل غير عادي: إنه لشيء يدل على أن هيلبرت بذل جهدًا كبيرًا في إثبات إحداها وتكريس أخرى كمسألة مسماة.

القضية المضادة الصادقة هي أن حكمه على الرياضيات ككل كان سيئًا، وبتكلفة باهظة. لقد كان مخطئًا بشأن دالة فايرشتراس المرضية، التي تعد الآن مادة قياسية للطلاب الجامعيين. لقد كان مخطئًا بشأن كانتور، الذي أصبح حسابه فوق اللانهائي أساسيًا. طغت مثاليات ديديكايند على نظرية المقسومات التي يفضلها معظم القرن، مما يشير إلى أن تدقيقه البنائي كلف قوة تعبيرية حقيقية في ذلك الوقت. وقد دفع بهذه القناعات بشراسة شخصية كادت تطرد زميلًا بمكانة فايرشتراس من برلين - وهو سلوك لم يتمكن المؤرخون من تبريره على أنه مجرد دقة. الملخص العادل هو أن كرونيكر كان عالم رياضيات من الدرجة الأولى ونبيًا من الدرجة الثانية: مبرهناته تقدمت في العمر بشكل أفضل بكثير من آرائه، وتبين أن اعتراضاته الفلسفية كانت أكثر فائدة كموقف أقلية دائم داخل الرياضيات من كونها البرنامج الذي كان ينوي تنفيذه.

الإرث

تم انتخابه لعضوية الأكاديمية البروسية للعلوم في عام 1861، وأكاديمية العلوم الفرنسية في عام 1868، والجمعية الملكية في عام 1884، ويحمل الكويكب 25624 كرونيكر اسمه. أشرف على كورت هنزل (Kurt Hensel)، وأدولف كنيزر (Adolf Kneser)، وماتياس ليرش (Mathias Lerch)، وفرانز ميرتنز (Franz Mertens) - حيث كانت أعداد هنزل p-adic سليلًا مباشرًا للدفعة البنائية. إن إحياء القرن العشرين لنظرية المقسومات الخاصة به، وبقاء الحدسية كبديل أساسي جاد، يعني أن الرجل الذي خسر الجدال في حياته لم يخسره تمامًا.