John Wallis

بينما الطبيعة لا تعترف بأكثر من ثلاثة أبعاد ... قد يبدو من العادل جداً أن نتحدث عن مادة صلبة ... مرسومة في بعد رابع أو خامس أو سادس أو أبعد.

جون واليس كان رجل دين وعالم رياضيات إنجليزياً يُنسب إليه جزئياً الفضل في تطور حساب التفاضل والتكامل اللامحدود. بين عامي 1643 و1689 عمل كرئيس مشفري الأكواز للبرلمان ولاحقاً للمحكمة الملكية. يُنسب إليه الفضل في إدخال الرمز ∞ لتمثيل مفهوم اللانهاية. كما استخدم 1/∞ للتمثيل الكمي اللامحدود. كان جون واليس معاصراً لنيوتن وواحداً من أعظم المفكرين في عصر النهضة المبكر للرياضيات.

الحياة

ولد جون واليس في Ashford وKent. كان الثالث من بين خمسة أطفال للقس جون واليس وجوانا تشابمان. تلقى تعليمه في البداية في مدرسة في Ashford لكنه انتقل إلى مدرسة جيمس موفات في Tenterden عام 1625 بعد تفشي وباء الطاعون. تعرض واليس للرياضيات للمرة الأولى عام 1631 في مدرسة Felsted التي كانت تُعرف آنذاك باسم مدرسة مارتن هولبيتش في Felsted؛ كان يستمتع بالرياضيات، لكن دراسته كانت غير منتظمة، إذ إن "الرياضيات، في ذلك الوقت بيننا، كانت تُعتبر بالكاد دراسات أكاديمية، بل بالأحرى ميكانيكية" Scriba 1970. في المدرسة في Felsted، تعلم واليس كيفية التحدث والكتابة باللاتينية. في هذا الوقت أيضاً، كان بارعاً في الفرنسية واليونانية والعبرية. كما كان مقرراً أن يكون طبيباً، تم إرساله عام 1632 إلى كلية Emmanuel بجامعة Cambridge. بينما كان هناك، قام بعمل على عقيدة الدورة الدموية؛ قيل إن ذلك كان أول مناسبة في أوروبا تم فيها الدفاع عن هذه النظرية علناً في نقاش. لكن اهتماماته كانت تتمحور حول الرياضيات. حصل على درجة البكالوريوس عام 1637 وماجستير عام 1640، وبعد ذلك دخل الكهنوت. من 1643 إلى 1649، عمل كاتباً بدون صوت في جمعية Westminster. تم انتخابه زميلاً في كلية Queens' بجامعة Cambridge عام 1644، والتي اضطر إلى الاستقالة منها بعد زواجه.

طوال هذا الوقت، كان واليس قريباً من الحزب البرلماني، ربما نتيجة لتعرضه لـ Holbeach في مدرسة Felsted. قدم لهم مساعدة عملية كبيرة في فك تشفير الرسائل الملكية. كانت جودة التشفير في ذلك الوقت مختلطة؛ رغم النجاحات الفردية لعلماء رياضيات مثل François Viète، لم تكن المبادئ الكامنة وراء تصميم التشفير وتحليله مفهومة بشكل جيد جداً. معظم الأصفار كانت طرقاً مخصصة تعتمد على خوارزمية سرية، بدلاً من الأنظمة المبنية على مفتاح متغير. أدرك واليس أن الأخيرة كانت أكثر أماناً بكثير – حتى أنه وصفها بأنها "غير قابلة للكسر"، على الرغم من أنه لم يكن واثقاً بما يكفي من هذا التأكيد لتشجيع الكشف عن خوارزميات التشفير. كان قلقاً أيضاً بشأن استخدام الأصفار من قبل القوى الأجنبية، وفي الواقع رفض على سبيل المثال طلب Gottfried Leibniz عام 1697 لتعليم طلاب Hanoverian التشفير.

بعد عودته إلى لندن – حيث تم تعيينه كاهناً في St Gabriel Fenchurch عام 1643 – انضم واليس إلى مجموعة العلماء التي كانت ستتطور لاحقاً لتصبح الجمعية الملكية. أخيراً تمكن من الاستمتاع باهتماماته الرياضية، حيث أتقن Clavis Mathematicae لـ William Oughtred في غضون بضعة أسابيع عام 1647. بدأ قريباً في كتابة أطروحاته الخاصة، التي تتناول طائفة واسعة من المواضيع، واستمر في ذلك لبقية حياته. كتب واليس أول مسح عن المفاهيم الرياضية في إنجلترا حيث ناقش النظام الهندي-العربي.

انضم واليس إلى الكنيسة المشيخية المعتدلة في التوقيع على الاحتجاج ضد إعدام تشارلز الأول، مما أثار عداوة دائمة من الاستقلاليين. رغم معارضتهم تم تعيينه عام 1649 في كرسي Savilian للهندسة في جامعة Oxford، حيث عاش حتى وفاته في 8 نوفمبر 1703. في عام 1650، تم تسيم واليس كوزير. بعد ذلك، قضى عامين مع Sir Richard Darley وLady Vere كاهناً خاصاً. في عام 1661، كان أحد اثني عشر ممثلاً مشيخياً في مؤتمر Savoy.

بالإضافة إلى أعماله الرياضية كتب في اللاهوت والمنطق والقواعس الإنجليزية والفلسفة، وكان متورطاً في ابتكار نظام لتعليم صبي أصم الكلام في Littlecote House. كان William Holder قد علّم رجلاً أصماً في السابق، Alexander Popham، الكلام "بوضوح وتحديد، وبنبرة جيدة وجميلة". ادعى واليس لاحقاً الفضل في ذلك، مما أدى Holder إلى اتهام واليس بـ "نهب الجيران وتزيين نفسه برفاتهم".

تعيين واليس كأستاذ Savilian للهندسة في جامعة Oxford

زيارة البرلمان إلى Oxford التي بدأت عام 1647 أزالت عدداً من الأكاديميين البارزين من مناصبهم، بما في ذلك في نوفمبر 1648 أساتذة Savilian للهندسة والفلك. في عام 1649 تم تعيين واليس كأستاذ Savilian للهندسة. يبدو أن واليس تم اختياره بناءً على أسباب سياسية إلى حد كبير، كما قد يكون الحال مع سلفه الملكي Peter Turner، الذي رغم تعيينه في كرسيين لم ينشر أي أعمال رياضية؛ بينما كان واليس ربما أكبر مشفر أكواز في الأمة وكان جزءاً من مجموعة غير رسمية من العلماء التي ستصبح لاحقاً الجمعية الملكية، لم يكن لديه سمعة معينة كعالم رياضيات. مع ذلك، أثبت تعيين واليس أنه مبرر بغنى من خلال عمله اللاحق خلال 54 سنة خدم فيها كأستاذ Savilian.

المساهمات في الرياضيات

قدم واليس مساهمات كبيرة في علم المثلثات وحساب التفاضل والتكامل والهندسة وتحليل المتسلسلات اللامحدودة. في Opera Mathematica I عام 1695 قدم مصطلح "الكسر المستمر".

رفض واليس فكرة الأعداد السالبة كشيء أقل من لا شيء على أنها سخيفة، لكنه قبل وجهة النظر بأنها شيء أكثر من اللانهاية. الحجة القائلة بأن الأعداد السالبة أكبر من اللانهاية تتضمن حاصل القسمة 1/x والنظر فيما يحدث عندما تقترب x ثم تعبر النقطة x = 0 من الجانب الموجب. رغم هذا عادة ما يُنسب إليه الفضل كمنشئ فكرة خط الأعداد، حيث تمثل الأعداد هندسياً على خط مع تمثيل الأعداد السالبة بأطوال معاكسة في الاتجاه لأطوال الأعداد الموجبة.

الهندسة التحليلية

في عام 1655، نشر واليس أطروحة عن الأقسام المخروطية حيث تم تعريفها بشكل تحليلي. كانت هذه أول كتاب تُعتبر فيه هذه المنحنيات وتُعرّف بأنها منحنيات من الدرجة الثانية. ساعدت على إزالة بعض الصعوبة والغموض المرئي في عمل René Descartes على الهندسة التحليلية. في أطروحة الأقسام المخروطية روج واليس لرمز ∞ لتمثيل اللانهاية. كتب، "أفترض أن أي مستوى يتبع هندسة Indivisibles من Cavalieri يتكون من عدد لا نهائي من الخطوط المتوازية، أو كما يفضلها، من عدد لا نهائي من متوازيات الأضلاع بنفس الارتفاع؛ دع ارتفاع كل واحد من هذه يكون جزءاً لا نهائياً صغيراً 1/∞ من الارتفاع الكلي، ودع الرمز ∞ يشير إلى اللانهاية وارتفاع الجميع لتكوين ارتفاع الشكل."

حساب التفاضل والتكامل

تم نشر Arithmetica Infinitorum، أهم أعمال واليس، عام 1656. في هذه الأطروحة تم تنظيم وتوسيع طرق تحليل Descartes و Cavalieri، لكن بعض الأفكار كانت عرضة للنقد. بدأ، بعد رسالة قصيرة عن الأقسام المخروطية، بتطوير التدوين القياسي للقوى، وتوسيع نطاقها من الأعداد الصحيحة الموجبة إلى الأعداد النسبية:

بعد ترك التطبيقات الجبرية العديدة لهذا الاكتشاف، انتقل بعد ذلك للعثور، من خلال التكامل، على المنطقة المحاطة بالمنحنى y = x^m، محور x، وأي ترتيب x = h، وأثبت أن نسبة هذه المساحة إلى مساحة متوازي الأضلاع على نفس الأساس وبنفس الارتفاع هي 1/(m + 1)، مما يوسع صيغة تربيع Cavalieri. يبدو أنه افترض أن نفس النتيجة ستكون صحيحة أيضاً للمنحنى y = ax^m، حيث a هو أي ثابت، و m أي عدد موجب أو سالب، لكنه ناقش فقط حالة القطع المكافئ حيث m = 2 والقطع الزائد حيث m = −1. في الحالة الأخيرة، تفسيره للنتيجة غير صحيح. ثم أظهر أن نتائج مماثلة قد تُكتب لأي منحنى من الشكل

وبالتالي، إذا كان الترتيب y للمنحنى يمكن توسيعه في قوى x، يمكن تحديد مساحته: وبالتالي يقول أنه إذا كانت معادلة المنحنى هي y = x + x² + x³ + ...، فإن مساحته ستكون x + x²/2 + x³/3 + ... ثم طبق هذا على تربيع المنحنيات y = x − x²، y = x − x³، y = x − x⁴، إلخ، مأخوذة بين الحدود x = 0 و x = 1. يُظهر أن المساحات هي، على التوالي، 1، 1/6، 1/30، 1/140، إلخ. ثم نظر في منحنيات من الشكل y = x^1/m وأسس النظرية التي مفادها أن المساحة المحدودة بهذا المنحنى والخطوط x = 0 و x = 1 تساوي مساحة المستطيل على نفس الأساس وبنفس الارتفاع m : m + 1. هذا يعادل الحساب

وضحها بالقطع المكافئ، وفي هذه الحالة m = 2. قال، لكنه لم يثبت، النتيجة المقابلة لمنحنى من الشكل y = x^p/q.

أظهر واليس براعة كبيرة في تقليل معادلات المنحنيات إلى الأشكال المذكورة أعلاه، لكن، بما أنه لم يكن على دراية بنظرية ذات الحدين، لم يتمكن من تحديد مساحة الدائرة، التي معادلتها هي y = √(1 − x²) قد تؤخذ كالوسط الهندسي لقيم

أي أن 1 و 2/3 يجب أن تُختار بحيث تطيع قانون هذه السلسلة. هذا، بطريقة معقدة لا تُوصف هنا بالتفصيل، يؤدي إلى قيمة للمصطلح المقحم يعادل أخذ

وهو ما يُعرف الآن باسم منتج واليس.

في هذا العمل أيضاً تُناقش تكوين وخصائص الكسور المستمرة، والموضوع كان قد جاء إلى الصدارة باستخدام Brouncker لهذه الكسور.

بعد بضع سنوات، في عام 1659، نشر واليس رسالة تحتوي على حل المسائل على الدورة التي اقترحها Blaise Pascal. في هذا شرح بالمصادفة كيف يمكن استخدام المبادئ المنصوص عليها في Arithmetica Infinitorum لتصحيح المنحنيات الجبرية وقدم حلاً لمشكلة تصحيح أي إيجاد طول القطع المكافئ شبه التكعيبي x³ = ay²، والذي اكتُشف عام 1657 من قبل تلميذه William Neile. نظراً لأن جميع محاولات تصحيح القطع الناقص والقطع الزائد كانت بالضرورة غير فعالة، كان يُفترض أن لا منحنيات يمكن تصحيحها، كما أكد Descartes بالفعل أن يكون الحال. تم تصحيح الحلزون اللوغاريتمي بواسطة Evangelista Torricelli وكان أول منحنى آخر غير الدائرة يتم تحديد طوله، لكن التوسيع بواسطة Neile و Wallis إلى منحنى جبري كان جديداً. تم تصحيح الدورة بعد ذلك؛ تم ذلك بواسطة Christopher Wren عام 1658.

في أوائل عام 1658 تم اكتشاف شيء مماثل، مستقل عن اكتشاف Neile، بواسطة van Heuraët، وتم نشره بواسطة van Schooten في طبعته من Geometria لـ Descartes عام 1659. طريقة van Heuraët هي كما يلي. يفترض أن يكون المنحنى مرجعياً للمحاور المستطيلة؛ إذا كان الحال كذلك، وإذا كانت x، y هي إحداثيات أي نقطة عليها، و n هو طول الخط الطبيعي، وإذا تم أخذ نقطة أخرى التي إحداثياتها x، η بحيث η : h = n : y، حيث h هو ثابت؛ إذن، إذا كانت ds عنصر طول المنحنى المطلوب، فيكون لدينا من خلال مثلثات متشابهة ds : dx = n : y. لذلك، h ds = η dx. بالتالي، إذا كانت مساحة موضع النقطة x، η يمكن العثور عليها، يمكن تصحيح المنحنى الأول. بهذه الطريقة حقق van Heuraët تصحيح المنحنى y³ = ax² لكنه أضاف أن ت