جورج كانتور: الرجل الذي جعل اللانهاية قابلة للعد

في يناير 1874، طرح كانتور سؤالاً على صديقه ريتشارد ديديكيند (Richard Dedekind): "هل يمكن ربط سطح ما (مثل مربع يتضمن حدوده) بخط ربطاً فريداً... بحيث يقابل كل نقطة على السطح نقطة مقابلة على الخط، وبالعكس؟" لقد افترض أن الإجابة هي بالنفي بشكل بديهي. وبعد ثلاث سنوات أثبت أن الإجابة بالإيجاب — أي أن مربعاً كاملاً، بل ومساحة من أي عدد من الأبعاد، تحتوي على نفس عدد النقاط الموجود في قطعة مستقيمة واحدة بالضبط. كتب إلى ديديكيند على الفور: "أنا أرى ذلك، لكنني لا أصدقه!"

ابن تاجر في سانت بطرسبرغ

ولد جورج فرديناند لودفيج فيليب كانتور (Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor) في 3 مارس 1845 في سانت بطرسبرغ. كان والده، جورج والدمار كانتور (Georg Waldemar Cantor)، تاجراً ناجحاً؛ وكانت والدته، ماريا آنا بوم (Maria Anna Böhm)، روسية ذات موهبة موسيقية ملحوظة. في عام 1856، عندما كان جورج في الحادية عشرة من عمره، أجبرت الحالة الصحية لوالده العائلة على الانتقال إلى ألمانيا، حيث استقروا أولاً في فيسبادن.

التحق بالمدرسة الثانوية (Gymnasium) في فرانكفورت وبالمدرسة الواقعية (Realschule) في دارمشتات، وتخرج عام 1860 بتقديرات استثنائية في الرياضيات وعلم المثلثات. كان والده يريده أن يدرس الهندسة؛ لكن كانتور حصل على إذن بدراسة الرياضيات بدلاً منها. التحق بمعهد زيورخ للفنون التطبيقية (Zürich Polytechnic) عام 1862، وبعد وفاة والده في يونيو 1863 انتقل إلى جامعة برلين، حيث درس على يد فايرشتراس (Weierstrass)، وكومر (Kummer)، وليوبولد كرونكر (Leopold Kronecker)، وصادق هيرمان شوارتز (Hermann Schwarz). أكمل أطروحته حول المعادلات غير المحددة في عام 1867.

هاله، ومعضلة هاينه

بعد فترة وجيزة من التدريس في مدرسة للبنات في برلين، انضم كانتور إلى جامعة هاله (University of Halle) في عام 1869 — وهي المؤسسة الإقليمية التي قضا فيها مسيرته المهنية بأكملها. سلمه زميله هاينه (Heine) مشكلة قديمة حول تفرد تمثيلات المتسلسلات المثلثية. حلها كانتور بحلول أبريل 1870.

تلك المسألة هي بذور كل شيء. إن تتبع النقاط الاستثنائية التي قد تسلك فيها مثل هذه المتسلسلات سلوكاً غير عادي أجبره على التفكير بجدية في المجموعات اللانهائية من النقاط، وبحلول عام 1872 كان قد عرف الأعداد غير النسبية عن طريق المتتاليات المتقاربة للأعداد النسبية وبدأ المراسلات مع ديديكيند التي ستدعمه لعقد من الزمان.

أكثر من لانهاية واحدة

في عام 1874 نشر كانتور النتيجة التي غيرت العالم. أثبت أن الأعداد النسبية يمكن وضعها في تقابل أحادي مع الأعداد الطبيعية — فهي قابلة للعد — بينما الأعداد الحقيقية لا يمكن ذلك. لا توجد لانهاية واحدة؛ بل توجد اثنتان على الأقل، وهما مختلفتان في الحجم.

كانت الطريقة هي المعيار الذي اخترعه: تكون مجموعتان متساويتين في الحجم إذا أمكن إقران أعضائهما بدقة، بغض النظر عن مدى كبر أي منهما. بدا الأمر وكأنه خدعة، وكانت عواقبه فورية وفاضحة. لاحظ كانتور أنه يترتب على ذلك أن "كل" الأعداد تقريباً هي أعداد متسامية وليست جبرية — وهو برهان وجود لفئة كاملة من الأعداد، تم الوصول إليه دون إظهار أي واحد منها.

الأعداد المتسامية (الترانسفينيت)

أدخلت ورقته البحثية عام 1878 في مجلة كرِيله (Journal of Crelle) مصطلح "المجموعات القابلة للعد". كادت عداء كرونكر أن تعيق نشرها واضطر ديديكيند للتدخل؛ ولم يقدم كانتور إلى مجلة كرِيله مرة أخرى.

بين عامي 1879 و1884 نشر ست أوراق بحثية في مجلة (Mathematische Annalen) تؤسس لنظرية المجموعات. قدم كتابه الصادر عام 1883 أسس نظرية المتعددات العامة الأعداد المتسامية كـ "امتداد مستقل ومنهجي للأعداد الطبيعية" — ليست تحايلاً أو نهايات، بل أعداداً يمكن ترتيبها وإجراء العمليات الحسابية عليها. كان يعرف ما يفعله: "أدرك أنني في هذا المسعى أضع نفسي في معارضة معينة للآراء السائدة فيما يتعلق باللانهاية الرياضية."

استخدم الحرف العبري (ألف) للإشارة إلى الأعداد الكاردينالية المتسامية، حيث ℵ₀ هو الأصغر، وعبر عن حجم الأعداد الحقيقية بـ 2^ℵ₀. أثار ذلك السؤال الذي استهلك بقية حياته. هل المتصل هو اللانهاية التالية مباشرة بعد القابلة للعد — هل 2^ℵ₀ = ℵ₁؟ ضد بناء كرونكر، أصدر بيانه: "جوهر الرياضيات يكمن بالضبط في حريتها."

الانهيار، بيكون، والبابا

عانى كانتور من أول نوبة اكتئاب مسجلة في مايو 1884. تقول القصة القديمة إن اضطهاد كرونكر دفعه إلى الجنون؛ بينما تعكس القراءة الحديثة العلاقة السببية، معتبرة أن الاكتئاب ضخم مخاوفه الرياضية بدلاً من أن يكون ناتجاً عنها. تناوب لسنوات بين الاعتقاد بأنه أثبت صحة فرضية المتصل والاعتقاد بأنه أثبت خطأها، وفي كل مرة كان يجد الخطأ.

في عام 1885 أقنعه ميتا-ليفلر (Mittag-Leffler) بسحب ورقة بحثية من مجلة (Acta Mathematica) على أساس أنها سابقة لأوانها بمائة عام تقريباً. كانت مزحة كانتور مريرة: "لو كان الأمر بيد ميتا-ليفلر، لكان علي الانتظار حتى عام 1984، وهو أمر بدا لي طلباً مبالغاً فيه!" انتهت مراسلاتهما فعلياً، ومعها انتهت الطفرة الإبداعية التي استمرت اثني عشر عاماً والتي بنيت عليها نظرية المجموعات.

في فترات اكتئابه، اتجه إلى الفلسفة والأدب، وأصبح مهووساً بنظرية أن فرانسيس بيكون (Francis Bacon) كتب مسرحيات شكسبير، ونشر كتيبات عنها في 1896-97. كان أيضاً متديناً للغاية، وآمن بأن الأعداد المتسامية قد أوحي إليه بها من قبل الله. راسل لاهوتيين كاثوليك حول طبيعة اللانهاية وكتب مباشرة إلى البابا ليو الثالث عشر (Pope Leo XIII)، آملاً أن تفيد رياضياتُه عقيدة الكنيسة.

العقود الأخيرة

أسس الجمعية الرياضية الألمانية (Deutsche Mathematiker-Vereinigung) حوالي عام 1890 وشغل منصب أول رئيس لها. استعرضت أوراقه الرئيسية الأخيرة، في 1895 و1897، الحساب المتسامي والمجموعات المرتبة ترتيباً جيداً. في مؤتمر زيورخ الدولي عام 1897، أثنى عليه هورويتز (Hurwitz) وهادامارد (Hadamard) علناً وتصالح مع ديديكيند.

بحلول ذلك الوقت كان قد وجد الثغرات بنفسه، وأبلغ هيلبرت (Hilbert) في عام 1896 بالتناقضات الكامنة في نظرية المجموعات؛ ونشر بورالي-فورتي (Burali-Forti) واحدة بشكل مستقل في عام 1897. جاءت الخسائر الشخصية بسرعة — والدته في أكتوبر 1896، وشقيقه في يناير 1899، وابنه الأصغر في 16 ديسمبر 1899. هيمن الاكتئاب على بقية حياته، وبعد عام 1900 قضى فترات طويلة في العيادة العصبية في هاله، وأخذ إجازات من التدريس في شتاء 1902-03، و1904-05، و1907-08. حصل على ميدالية كوبلي (Copley Medal) من الجمعية الملكية ودرجة فخرية من سانت أندروز، وسافر إلى هناك عام 1911 للاحتفال بالذكرى الخمسمائة للجامعة. توفي بسبب نوبة قلبية في هاله في 6 يناير 1918.

لماذا يعتبر جورج عبقرياً

قدم هيلبرت الكلمة بنفسه، واصفاً عمل كانتور بأنه "أروع نتاج للعبقرية الرياضية وواحد من أعظم إنجازات النشاط البشري الفكري البحت". كانت الجودة المحددة هي الرغبة في الوثوق بالتعريف أكثر من الحدس. عامل الجميع قبله اللانهاية كاتجاه وليس كمقدار. اقترح كانتور معياراً لتساوي الحجم — الإقران الدقيق — وطبقه دون تردد على المجموعات اللانهائية، وتابع نتائجه أينما أدت، بما في ذلك إلى استنتاجات لم يكن هو نفسه يستطيع تصديقها. "أنا أرى ذلك، لكنني لا أصدقه" هي جملة رجل يسحبه منطقه الخاص، وهو ماضٍ في طريقه على أي حال.

تستحق الحالة المعاكسة للرأي الذكر. لم يحسم فرضية المتصل أبداً، وأقنع نفسه مراراً بأنه فعل — في كلا الاتجاهين — قبل أن يكتشف أخطاءه، مما يعكس حكمه وعمق المشكلة. أظهر غودل (Gödel) وكوهين (Cohen) في النهاية أن الفرضية مستقلة عن البديهيات القياسية، لذا فإن الشيء الذي طارده لثلاثين عاماً لم يكن موجوداً ليمسكه. كان ما بناه أيضاً غير مكتمل وغير متسق: اكتشف تناقضات في نظامه الخاص، وتطلب الأمر صياغة زيرميلو (Zermelo) البديهية، ولاحقاً فرانكل (Fraenkel) وفون نيومان (von Neumann)، لجعل نظرية المجموعات آمنة. إن قناعته بأن الأعداد المتسامية جاءت من الله، وضغطه على الفاتيكان وكتيباته البكونية تشير إلى يقين لم يكن دائماً مضبوطاً بدقة. ولم يحصل أبداً على الكرسي المرموق الذي أراده، فقضى أربعين عاماً في هاله.

الإرث

أصبحت نظرية المجموعات الأساس الذي تقوم عليه الرياضيات الحديثة، من مبادئ الرياضيات (Principia Mathematica) إلى بديهيات زيرميلو-فرانكل (Zermelo–Fraenkel axioms) التي لا يزال علماء الرياضيات يستخدمونها. تظل إشادة هيلبرت هي التي صمدت: لن يطردنا أحد من الجنة التي خلقها كانتور.