帕尔·图兰：来自劳改营的定理

1944年7月，一名匈牙利犹太人在强制劳动期间，在布达佩斯附近的一家工厂里沿着铁轨推着装砖的矿车。在轨道交叉的地方，矿车会颠簸，工作变得更加困难。大多数人会咒骂这些交叉点。图兰开始思考，对于m个窑炉和n个仓库，交叉点的最小可能数量是多少——并由此提出了现在所谓的“图兰砖厂问题”，这是交叉数理论的奠基性问题之一。他当时是一名囚犯。但他在那一刻，也在进行数学研究。

布达佩斯、费耶尔与一扇关闭的门

图兰于1910年8月18日出生在当时的奥匈帝国布达佩斯的一个匈牙利犹太家庭。他在中学时就展现出了天赋。他于1933年在布达佩斯大学获得教学学位，并于1935年在匈牙利分析学核心人物费耶尔·利波特（Lipót Fejér）的指导下，在罗兰大学获得博士学位。

1933年，他在美国和伦敦数学会的期刊上发表了两篇重要论文。但这对他找工作没有任何帮助。匈牙利限制犹太人参与高等教育的《数字配额法》（numerus clausus）使他多年无法获得稳定的学术工作，他最终于1938年获得的工作是在布达佩斯的一所拉比培训学校。这位数学家在23岁时就在国际上发表论文，在28岁时在神学院任教，仅仅是因为国家通过立法将他排除在大学之外。

与埃尔德什相遇

1930年9月1日，在布达佩斯大学的一次数学研讨会上，图兰遇到了保罗·埃尔德什（Paul Erdős）。两人在学生时代就已经是问题期刊《KöMaL》中著名的解题者。那天开始的合作持续了46年，产生了28篇联合论文——这是20世纪数学史上伟大的持续合作之一，也是我们了解图兰性格的来源，因为埃尔德什曾详细地写过他，且并不奉承。

营地里的五年

1940年9月，图兰因其犹太血统被捕并被送往劳改营。他在特兰西瓦尼亚和匈牙利的各个营地度过了五年。

这段时期本应是他学术生涯的空白。但事实并非如此。一位名叫约瑟夫·温克勒（Joshef Winkler）的军官，本人受过数学训练，认出了图兰的名字，并为他安排了较轻的工作。图兰利用了由此获得的空隙。他在被拘留期间撰写了一篇关于黎曼ζ函数的重要论文，并通过在脑海中解决问题和思考问题来保持自己的完整。砖厂的观察发生在1944年7月；他直到1952年后才认真研究它，但这个问题诞生于铁轨之上。

埃尔德什直言不讳地说：图兰“即使在纳粹集中营里也没有失去精神，并在那里做了出色的工作。”他于1944年获释并重返教学岗位。

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极值图论

图兰最重大的成就是在他被监禁期间建立的。埃尔德什再次评价道：“1940-1941年，他创立了图论中的极值问题领域，这现在是组合数学中增长最快的主题之一。”

奠基性成果“图兰定理”给出了一个图在不包含r个顶点的完全子图的情况下所能拥有的边数的上限。为了证明它，他发明了“图兰图”，这是完全二部图的推广。该定理的重要性不在于具体的界限，而在于它确立的问题形式：在某种模式被迫出现之前，你能拥有多少结构？自那时以来，这个问题在数千种场景中被提出，这就是极值组合数学。科瓦里-索斯-图兰定理（Kővári–Sós–Turán theorem）将该方法扩展到了具有禁止子图的二部图。

筛法与幂和

数论是他的主要领域。1934年的“图兰筛法”为哈代和拉马努金1917年关于不同素因子数量的正常阶的结果提供了一个简化的证明。哈拉什（Halász）指出了其真正的意义：“其真正的意义在于它是概率数论的起点。”一个创立学科的简化并不是一种简化。图兰-库比利乌斯不等式（Turán–Kubilius inequality）推广了这项工作。

他创造了“素数竞赛”一词，用于描述素数在剩余类中分布的不规则性，并与克纳波夫斯基（Knapowski）合作研究了关于切比雪夫偏差的结果。埃尔德什-图兰猜想涉及算术级数中的素数。他还开发了“幂和法”，这是一种处理黎曼ζ函数零点幂和不等式的技术，其应用涵盖了复分析、数值分析、微分方程、超越数论以及一般的零点估计。

关于假设本身，埃尔德什记录道，图兰是“一个‘不信者’，实际上是一个‘异教徒’：他不相信黎曼假设的真实性。”他的分析产生了关于勒让德多项式的图兰不等式，并与埃尔德什一起产生了埃尔德什-图兰等分布不等式。

被保密的诊断

他于1945年成为布达佩斯大学副教授，1949年成为正教授。他于1948年和1952年获得科苏特奖；1948年当选为匈牙利科学院通讯院士，1953年当选为正式院士。他创立并主持了亚诺什·波尔约数学会，担任领先期刊的编委，在1970年的国际数学家大会上发言，并于同年受邀参加菲尔兹奖委员会。1975年获得了蒂博尔·塞莱奖（Tibor Szele Prize）。

他于1939年与埃迪特·科博尔（Edit Kóbor）结婚，育有一子罗伯特；1952年，他与数学家维拉·索斯（Vera Sós）结婚，两人共同发表论文，并育有两个儿子，乔治和托马斯。

1970年左右，他被诊断出患有白血病。只有维拉知道。她选择不告诉他，认为他“太热爱生活”了，会感到绝望。她直到1976年才告诉埃尔德什。埃尔德什后来感叹了代价：由于不知道自己时日无多，图兰将某些工作推迟到“以后”，结果从未完成。

为什么帕尔被称为天才

其特殊才能在于在整个学科层面创造问题。图兰的单个定理很强，但他的标志是三个独立的领域追溯到他：极值图论，埃尔德什明确将其归功于他在1940-41年的创造；概率数论，哈拉什称其始于他1934年的筛法；以及交叉数理论，始于砖块。创立一个领域是一项事业。创立三个则是另一回事——这是一种对问题背后的问题的非凡直觉，其一般形式是特定困难的一个实例。

环境不仅装饰了这一主张，反而使其更加尖锐。他在劳改营中创立了极值图论，没有图书馆，没有同事，没有纸张，将结构保存在脑海中。埃尔德什对数学能力并不感伤，且认识所有值得认识的人，他说他在那里做了出色的工作。

反例比通常更少，但确实存在。埃尔德什是他46年来最亲密的朋友和被引用最多的评估者，这并非独立来源。图兰的幂和法尽管影响深远，但并没有破解他不相信的黎曼假设。他的荣誉——两个科苏特奖、塞莱奖、院士身份——更多是匈牙利国家的认可，而非该学科的最高国际奖项。极值图论的爆炸式增长很大程度上归功于在他之后发展它的人。他提出了问题，其他人构建了学科。