凯伦·乌伦贝克：重建几何学的分析学家

张在金属丝框架上的肥皂膜会形成它所能找到的最小表面。凯伦·乌伦贝克（Karen Uhlenbeck）的职业生涯建立在当这种情况无法发生时所发生的事情上——即能量最小化过程在孤立点处失效，并集中成数学家现在所称的“气泡”。她与乔纳森·萨克斯（Jonathan Sacks）合写的描述这种失效的论文将该学科一分为二。几何学家弗朗索瓦·拉布里（François Labourie）曾说：“数学界有萨克斯-乌伦贝克论文之前和之后之分。”2019年，她成为首位获得阿贝尔奖（Abel Prize）的女性。

克利夫兰与一张借书证

凯伦·克斯库拉·乌伦贝克（Karen Keskulla Uhlenbeck）于1942年8月24日出生在俄亥俄州克利夫兰，她是工程师阿诺德·克斯库拉（Arnold Keskulla）和艺术家卡罗琳·温德勒·克斯库拉（Carolyn Windeler Keskulla）四个孩子中的长女。她在乡村长大，酷爱阅读。她回忆道：“小时候我读了很多书，什么都读。我会去图书馆，然后通宵达旦地读书。”大约十二岁时，父亲给了她弗雷德·霍伊尔（Fred Hoyle）关于天体物理学的书；乔治·伽莫夫（George Gamow）的《一、二、三……无穷大》（One, Two, Three... Infinity）吸引了她，因为它解释了无穷大有不同的大小。

她进入密歇根大学（University of Michigan）打算学习物理学，并于1964年获得了数学学士学位。随后于1966年在布兰迪斯大学（Brandeis University）获得硕士学位，并于1968年在理查德·帕莱（Richard Palais）的指导下获得博士学位。

一扇无法打开的门

随后，由于与数学无关的原因，她的职业生涯停滞了。在麻省理工学院（MIT）做了一年博士后，并在伯克利（Berkeley）讲学两年后，乌伦贝克无法获得一份长期工作。她曾直言不讳地说出原因：“我被告知……人们不聘用女性，女性应该回家生孩子。”那些聘用了她丈夫的大学——麻省理工、斯坦福（Stanford）、普林斯顿（Princeton）——都拒绝聘用她，并援引反裙带关系规则使这种拒绝听起来合乎程序。

1971年，她在伊利诺伊大学厄巴纳-香槟分校（University of Illinois at Urbana-Champaign）担任教职，而她的丈夫则跟随她的事业。此后，她转到伊利诺伊大学芝加哥分校（University of Illinois at Chicago）并晋升为正教授。1983年，她凭借麦克阿瑟奖（MacArthur Fellowship）前往芝加哥大学（University of Chicago），自1988年起，她一直担任得克萨斯大学奥斯汀分校（University of Texas at Austin）的希德·W·理查森基金会讲座教授（Sid W. Richardson Foundation Regents Chair）。

起泡现象

萨克斯-乌伦贝克的工作涉及调和映射（harmonic maps）：从曲面到弯曲空间的映射的能量泛函会发生什么。两人证明了能量最小化序列几乎处处收敛于调和映射，但在孤立点处分析会失效，球体大小的能量会分离出来——即“起泡”（bubbles off）。这一洞见的关键不在于方法失效了，而在于这种失效具有精确且可分类的结构。奇点不再是障碍，而成为了研究对象。起泡现象现在是几何分析中标准的工具。

规范场论与唐纳森革命

20世纪80年代初，乌伦贝克将同样的分析本能应用于杨-米尔斯方程（Yang–Mills equations），这是规范场物理学背后的数学。她引入了适应问题的全新坐标系，证明了有界曲率联络的紧致性定理，并确立了她的可去奇点结果——实际上证明了在四维空间中，坏点是可以被填补的。

这是整个领域一直在等待的机制。她的工具使得几何化地使用瞬子（instantons）成为可能，这正是西蒙·唐纳森（Simon Donaldson）在其获得菲尔兹奖（Fields Medal）的工作中所做的事情。唐纳森本人的评价是，乌伦贝克的成果“支撑了该领域后续的大部分工作”。

可积系统与她自己的领域

乌伦贝克与奈杰尔·希钦（Nigel Hitchin）和程楚莲（Chuu-Lian Terng）一起证明了从曲面到齐性空间的调和映射存在单参数族，将它们与无穷维可积系统（integrable systems）联系起来——这是几何学与孤子理论代数机制之间的一座桥梁。

总而言之，这些工作构成了现代几何分析的创立：即硬偏微分方程与拓扑学和几何学的刻意融合。乌伦贝克对这一过程的描述非常朴实——就像“从一个你不知道会发生什么的甲板上跳下去”。

为他人开路

她并没有将自己在职业生涯中的经历视为私事。乌伦贝克是普林斯顿高等研究院（Institute for Advanced Study）“数学界的女性”（Women and Mathematics）项目的联合创始人，并协助建立了帕克城数学研究所（Park City Mathematics Institute）；她对女性数学家的指导经常被称为传奇。她拒绝接受该学科对于进步的自我吹嘘。在2007年获得美国数学学会（AMS）斯蒂尔奖（Steele Prize）时，她说：“我对从事数学和担任领导职位的女性人数仍然感到非常失望。在我看来，这主要是由于数学界的文化以及来自外部严酷的社会压力。”

荣誉接踵而至：1983年的麦克阿瑟奖，1985年入选美国艺术与科学学院（American Academy of Arts and Sciences），同年获得美国数学学会（AMS）专题讲座，1986年入选美国国家科学院（National Academy of Sciences），1988年获得诺特讲座（Noether Lecture），1990年在国际数学家大会（International Congress of Mathematicians）上做大会报告——她是史上第二位获此殊荣的女性，2000年获得国家科学奖章（National Medal of Science）“表彰她对整体几何的多项开创性贡献”，2007年获得斯蒂尔奖，2019年获得阿贝尔奖，2020年获得女性数学协会（AWM）院士称号，以及2023年入选皇家学会（Royal Society）会士。

为什么凯伦被称为天才

这一才能属于一种特殊的神经：乌伦贝克的本能是直接切入方法崩溃的地方。大多数数学家会绕过奇点。她将分析失效的地方视为几何学真正存在的地方，并构建了描述它的技术装置。这就是为什么她的成果能发挥基础设施的作用——起泡、紧致性、可去奇点，这些与其说是人们引用的定理，不如说是人们在不知不觉中使用的工具。

这么说的人并非广告宣传者。阿贝尔奖的引言赞誉她在“几何偏微分方程、规范场论和可积系统方面的开创性成就”，并对分析学、几何学和数学物理学产生了“根本性影响”，挪威科学与文学院（Norwegian Academy）形容她的工作产生了过去四十年数学领域一些最引人注目的进展。唐纳森表示，她的结果支撑了整个领域。张圣容（Sun-Yung Alice Chang）指出，“她的影响跨越了数学的不同分支”。拉布里在历史的长河中以她的一篇论文为分界线。

客观的反面观点包含两部分。首先，她的标志性成就是使能性的：她所提供的分析使其他人的里程碑式定理成为可能，而瞬子几何学的菲尔兹奖颁给了唐纳森。这使她成为更重要的人物还是次要人物，这是一个真正的争议，而非定论。其次，认可来得太晚，现在已与她作为第一位（女性）的事实密不可分——这种框架可能会将一位强大的分析学家变成一个象征，而悄然忽略了数学本身。乌伦贝克本人一直很谨慎，从不声称具有先见之明。她对自己工作的描述是，她在不知道下方是什么的情况下从甲板上跳了下去。

遗产

几何分析之所以作为一个连贯的学科存在，在很大程度上是因为乌伦贝克坚持认为最难的现有分析技术属于几何学之内。她在20世纪70年代末与萨克斯发现的“气泡”，现在已成为数学家思考极限和失效的固定组成部分，而通过她的普林斯顿项目进入该领域的女性构成了第二个不那么容易被引用但同样重要的工作群体。