Évariste Galois

Évariste Galois (/ɡælˈwɑː/; Fransızca: [evaʁist ɡalwa]; 25 Ekim 1811 – 31 Mayıs 1832), Fransız matematikçi ve siyasi aktivistti. Henüz onlu yaşlarındayken, bir polinomun kökler ile çözülebilirliği için gerekli ve yeterli koşulu belirlemeyi başararak 350 yıldır açık olan bir problemi çözmüştür. Çalışmaları, soyut cebirin iki ana dalı olan Galois teorisi ve grup teorisinin temelini atmıştır.

Galois sadık bir Cumhuriyetçiydi ve 1830 Fransız Devrimi'ni çevreleyen siyasi kargaşada yoğun bir şekilde yer aldı. Siyasi aktivizmi nedeniyle defalarca tutuklandı ve birkaç aylık bir hapis cezası çekti. Belirsiz nedenlerle, hapisten çıktıktan kısa bir süre sonra bir düelloya girdi ve aldığı yaralar sonucu hayatını kaybetti.

Hayatı

### Erken dönem hayatı

Galois, 25 Ekim 1811'de Nicolas-Gabriel Galois ve Adélaïde-Marie (kızlık soyadı Demante) çiftinin çocuğu olarak dünyaya geldi. Babası bir Cumhuriyetçiydi ve Bourg-la-Reine'in liberal partisinin başındaydı. Babası, 1814'te XVIII. Louis tahta döndükten sonra köyün belediye başkanı oldu. Bir hukukçunun kızı olan annesi, akıcı bir şekilde Latince ve klasik edebiyat okuyabiliyordu ve ilk on iki yılı boyunca oğlunun eğitiminden sorumluydu.

Ekim 1823'te, öğretmeni Louis Paul Émile Richard'ın dehasını fark ettiği Lycée Louis-le-Grand'a girdi. 14 yaşında matematiksel olarak ciddi bir ilgi göstermeye başladı.

Galois, Adrien-Marie Legendre'in 'Éléments de Géométrie' (Geometrinin Unsurları) adlı kitabının bir kopyasını buldu ve söylendiğine göre bunu 'bir roman gibi' okudu ve ilk okuyuşta kavradı. 15 yaşında, Joseph-Louis Lagrange'ın 'Réflexions sur la résolution algébrique des équations' (Denklemlerin cebirsel çözümü üzerine düşünceler) gibi orijinal makalelerini okuyordu; bu çalışmalar muhtemelen daha sonraki denklem teorisi üzerine çalışmalarını motive etti. Yine profesyonel matematikçiler için tasarlanmış 'Leçons sur le calcul des fonctions' adlı eseri okuyordu, ancak derslerdeki performansı ilhamsızdı ve öğretmenleri onu bir dahi havasına girmekle suçladı.

### Tomurcuklanan matematikçi

1828'de Galois, o dönemde Fransa'daki en prestijli matematik kurumu olan École Polytechnique'in giriş sınavına, matematik alanında olağan hazırlığı olmadan girdi ve sözlü sınavdaki açıklama eksikliği nedeniyle başarısız oldu. Aynı yıl, o dönemde matematiksel çalışmalar için çok daha düşük seviyede bir kurum olan École Normale'e (o zamanlar l'École préparatoire olarak biliniyordu) girdi ve orada kendisine sempati duyan bazı profesörler buldu.

Ertesi yıl Galois'nın basit sürekli kesirler üzerine ilk makalesi yayımlandı. Hemen hemen aynı zamanlarda polinom denklemleri teorisinde temel keşifler yapmaya başladı. Bu konuda Bilimler Akademisi'ne iki makale sundu. Augustin-Louis Cauchy bu makaleleri hakem olarak inceledi, ancak halen belirsiz olan nedenlerle yayımlanması için kabul etmedi. Bununla birlikte, aksine birçok iddiaya rağmen, Cauchy'nin Galois'nın çalışmasının önemini fark ettiği ve sadece akademi'nin Matematik dalındaki Büyük Ödülü'ne girmek için iki makaleyi birleştirmesini önerdiği yaygın olarak kabul edilmektedir. O dönemin önemli bir matematikçisi olan ancak siyasi görüşleri Galois'nınkine tamamen zıt olan Cauchy, Galois'nın çalışmasının olası bir kazanan olduğunu düşünmüştü.

28 Temmuz 1829'da Galois'nın babası, köyün rahibiyle yaşadığı şiddetli bir siyasi anlaşmazlığın ardından intihar ederek öldü. Birkaç gün sonra Galois, Polytechnique'e girmek için ikinci ve son denemesini yaptı ve yine başarısız oldu. Galois'nın fazlasıyla yetkin olduğu tartışılmazdı; başarısızlığının nedenleri üzerine anlatılar farklılık göstermektedir. Daha makul anlatılar, Galois'nın çok fazla mantıksal sıçrama yaptığını ve beceriksiz sınav görevlisini şaşırttığını, bunun da Galois'yı öfkelendirdiğini belirtir. Babasının yakın zamandaki ölümü de davranışını etkilemiş olabilir.

École Polytechnique'e kabul edilmeyince Galois, École Normale'e girebilmek için Bakalorya sınavlarına girdi. Başarılı oldu ve 29 Aralık 1829'da diplomasını aldı. Matematik sınav görevlisi, 'Bu öğrenci fikirlerini ifade etmede bazen belirsiz, ancak zeki ve dikkate değer bir araştırma ruhu sergiliyor.' şeklinde rapor verdi.

Galois, denklem teorisi üzerine anılarını birkaç kez sundu, ancak bunlar hayatı boyunca hiç yayımlanmadı. İlk girişimi Cauchy tarafından reddedilmiş olmasına rağmen, Şubat 1830'da Cauchy'nin önerisi üzerine akademi sekreteri Joseph Fourier'e sundu ve akademinin Büyük Ödülü (Grand Prix) için değerlendirilmesini istedi. Ne yazık ki, Fourier kısa süre sonra öldü ve anılar kayboldu. Ödül o yıl ölümünden sonra Niels Henrik Abel'e ve ayrıca Carl Gustav Jacob Jacobi'ye verildi. Kayıp anılarına rağmen, Galois o yıl üç makale yayımladı. Biri Galois teorisinin temelini attı. İkincisi denklemlerin sayısal çözümü (modern terminolojide kök bulma) hakkındaydı. Üçüncüsü, sonlu alan kavramının ilk kez açıklandığı sayı teorisi üzerine önemli bir makaleydi.

### Siyasi ateşli bir kişilik

Galois, Fransa'da siyasi kargaşanın yaşandığı bir dönemde yaşadı. X. Charles, 1824'te XVIII. Louis'nin yerine geçmişti, ancak 1827'de hizipleri büyük bir seçim başarısızlığı yaşadı ve 1830'a gelindiğinde muhalif liberal parti çoğunluğu oluşturdu. Siyasi muhalefetle karşı karşıya kalan Charles, bir darbe girişiminde bulundu ve kötü şöhretli Temmuz Kararnameleri'ni yayımlayarak, I. Louis Philippe'in kral olmasıyla sonuçlanan Temmuz Devrimi'ni ateşledi. Polytechnique'deki meslektaşları sokaklarda tarih yazarken, Galois, École Normale'de okulun müdürü tarafından kilitli tutuldu. Galois öfkelendi ve müdürü eleştiren sert bir mektup yazarak Gazette des Écoles'a sundu ve mektubu tam adıyla imzaladı. Gazette'in editörü yayın için imzayı çıkarmış olsa da Galois okuldan atıldı.

İhracı resmen 4 Ocak 1831'de yürürlüğe girecek olmasına rağmen, Galois okulu hemen bıraktı ve Ulusal Muhafızların sadık Cumhuriyetçi topçu birliğine katıldı. Zamanını matematiksel çalışmaları ile siyasi bağlantıları arasında bölüştürdü. Birliği çevreleyen tartışmalar nedeniyle, Galois üye olduktan kısa bir süre sonra, 31 Aralık 1830'da, Ulusal Muhafızların topçu birliği, hükümeti istikrarsızlaştırabilecekleri korkusuyla dağıtıldı. Aynı zamanlarda, Galois'nın eski birliğinden on dokuz subay tutuklandı ve hükümeti devirmek için komplo kurmakla suçlandı.

Nisan 1831'de subaylar tüm suçlamalardan aklandı ve 9 Mayıs 1831'de, Alexandre Dumas gibi pek çok ünlü kişinin de katıldığı bir ziyafet düzenlendi. Ziyafet kargaşaya dönüştü. Bir noktada Galois ayağa kalktı ve kadehi üzerinde bir hançerle, 'Louis Philippe için' dediği bir kadeh kaldırdı. Ziyafetteki Cumhuriyetçiler, Galois'nın bu kadeh kaldırmasını kralın hayatına bir tehdit olarak yorumlayıp alkışladılar. Ertesi gün annesinin evinde tutuklandı ve davasının görüldüğü 15 Haziran 1831 tarihine kadar Sainte-Pélagie hapishanesinde tutuldu. Galois'nın savunma avukatı, Galois'nın aslında 'Eğer ihanet ederse Louis-Philippe için' dediğini, ancak bu eklemenin alkışlar arasında duyulmadığını zekice iddia etti. Savcı birkaç soru daha sordu ve jüri, belki de Galois'nın gençliğinden etkilenerek, onu aynı gün beraat ettirdi.

Bir sonraki Bastille Günü'nde (14 Temmuz 1831), Galois, dağıtılmış topçu birliğinin üniformasını giymiş bir halde protestonun başındaydı ve yanında birkaç tabanca, dolu bir tüfek ve bir hançerle ağır silahlıydı. Tekrar tutuklandı. Hapishanede kaldığı süre boyunca Galois, bir noktada diğer mahkûmların kışkırtmasıyla ilk kez alkol aldı. Bu mahkûmlardan biri olan François-Vincent Raspail, 25 Temmuz tarihli bir mektupta, Galois'nın sarhoşken söylediklerini kaydetti. Mektuptan bir alıntı:

> Ve sana söylüyorum, bir coquette de bas étage'ın (aşağı seviye bir kadın) yüzünden bir düelloda öleceğim. Neden mi? Çünkü o beni, başka birinin tehlikeye attığı onurunun intikamını almam için davet edecek.

Ne eksik biliyor musun dostum? Bunu sadece sana itiraf edebilirim: Sadece ruhumla sevebileceğim biri. Babamı kaybettim ve kimse onun yerini tutmadı, duyuyor musun beni...?

Raspail, Galois'nın hala hezeyan içindeyken intihara kalkıştığını ve diğer mahkûmlar tarafından zorla durdurulmasaydı başarılı olacağını devam ettirir. Aylar sonra, 23 Ekim'de Galois'nın davası görüldüğünde, yasadışı olarak üniforma giydiği için altı ay hapis cezasına çarptırıldı. Hapishanedeyken matematiksel fikirlerini geliştirmeye devam etti. 29 Nisan 1832'de serbest bırakıldı.

### Son günler

Galois, École Normale'den atıldıktan sonra matematiğe geri döndü, ancak siyasi faaliyetlere de zaman ayırmaya devam etti. Ocak 1831'de ihracı resmileştikten sonra, gelişmiş cebir üzerine bazı ilgi çeken özel bir sınıf başlatmaya çalıştı, ancak siyasi aktivizminin önceliği olduğu için bu ilgi azaldı. Siméon Denis Poisson ondan denklem teorisi üzerine çalışmasını sunmasını istedi, o da bunu 17 Ocak 1831'de yaptı. 4 Temmuz 1831 civarında, Poisson Galois'nın çalışmasını 'anlaşılmaz' ilan etti ve '[Galois'nın] argümanının titizliğini yargılamamıza izin verecek kadar ne açık ne de gelişmiş olduğunu' belirtti; ancak, ret raporu teşvik edici bir notla biter: 'O halde yazara, kesin bir görüş oluşturabilmesi için tüm çalışmasını yayımlamasını öneririz.' Poisson'un raporu Galois'nın 14 Temmuz'daki tutuklanmasından önce yapılmış olsa da, hapisteki Galois'ya ulaşması Ekim ayını buldu. O dönemdeki karakteri ve durumu göz önüne alındığında, Galois'nın ret mektubuna şiddetli tepki vermesi ve makalelerini akademi aracılığıyla yayımlamaktan vazgeçip bunun yerine arkadaşı Auguste Chevalier aracılığıyla özel olarak yayımlaması şaşırtıcı değildir. Ancak görünüşe göre Galois, Poisson'un tavsiyesini göz ardı etmedi, çünkü hala hapisteyken tüm matematiksel el yazmalarını toplamaya başladı ve 29 Nisan 1832'de serbest bırakılana kadar fikirlerini parlatmaya devam etti, ardından bir şekilde bir düelloya ikna edildi.

Galois'nın ölümcül düellosu 30 Mayıs'ta gerçekleşti. Düellonun arkasındaki gerçek sebepler belirsizdir. Bunlar hakkında çok fazla spekülasyon yapılmıştır. Bilinen tek şey, ölümünden beş gün önce Chevalier'ye yazdığı ve açıkça bozulmuş bir aşk ilişkisine atıfta bulunan bir mektuptur.

Orijinal mektuplar üzerindeki bazı arşiv araştırmaları, romantik ilginin odağındaki kadının, Galois'nın hayatının son aylarında kaldığı pansiyondaki doktorun kızı Stéphanie-Félicie Poterin du Motel olduğunu düşündürmektedir. Galois'nın kendisi tarafından kopyalanan (adı gibi birçok bölümü ya silinmiş ya da kasıtlı olarak çıkarılmış) ondan gelen mektup parçaları mevcuttur. Mektuplar, Poterin du Motel'in bazı dertlerini Galois'ya açtığını ve bunun onu onun adına düelloyu kendisinin kışkırtmaya itmiş olabileceğini ima etmektedir. Bu varsayım, Galois'nın ölümünden bir gece önce arkadaşlarına yazdığı diğer mektuplarla da desteklenmektedir. Galois'nın kuzeni Gabriel Demante'ye düellonun sebebini bilip bilmediği sorulduğunda, Galois'nın 'kendini, her biri düelloyu kışkırtan sözde bir amca ve sözde bir nişanlının huzurunda bulduğunu' belirtti. Galois'nın kendisi, 'Ben rezil bir flörtçü kızın ve onun iki kurbanının kurbanıyım' diye haykırdı.

Düellodaki rakibine gelince, Alexandre Dumas, aslında Galois'nın ilk tutuklanmasına yol açan ziyafette beraat edişi kutlanan on dokuz topçu subayından biri olan Pescheux d'Herbinville'in adını verir. Ancak bu iddiada Dumas yalnızdır ve haklı olsaydı bile d'Herbinville'in neden dahil olduğu belirsizdir. Onun o dönemde Poterin du Motel'in 'sözde nişanlısı' olduğu (sonunda başkasıyla evlendi) tahmin edilmiş olsa da, bu varsayımı destekleyen hiçbir net kanıt bulunamamıştır. Öte yandan, düellodan sadece birkaç gün sonrasına ait mevcut gazete kupürleri, rakibinin (baş harfleri 'L.D.' ile tanımlanan) Galois'nın Cumhuriyetçi arkadaşlarından birine, büyük olasılıkla Galois ile aynı suçlamalarla hapsedilen Ernest Duchatelet'ye daha doğru bir şekilde uygulandığı izlenimini vermektedir. Mevcut çelişkili bilgiler göz önüne alındığında, katilinin gerçek kimliği tarih için kaybolmuş olabilir.

Düellonun arkasındaki nedenler ne olursa olsun, Galois yaklaşan ölümünden o kadar emindi ki, tüm geceyi Cumhuriyetçi arkadaşlarına mektuplar yazarak ve Auguste Chevalier'ye fikirlerinin ana hatlarını içeren mektubu ve ekli üç el yazmasını yazarak, yani matematiksel vasiyetini oluşturarak geçirdi. Matematikçi Hermann Weyl bu vasiyet hakkında, 'Bu mektup, içerdiği fikirlerin yeniliği ve derinliği açısından değerlendirildiğinde, belki de insanlığın tüm edebiyatındaki en önemli yazıdır' demiştir. Ancak, Galois'nın ölmeden önceki gece matematiksel düşüncelerini kağıda döktüğü efsanesi abartılmış görünmektedir. Bu son kağıtlarda, analizde üzerinde çalıştığı bazı işlerin kaba hatlarını çizdi ve akademiye sunulan el yazmasının bir kopyasına ve diğer belgelere notlar düştü.

30 Mayıs 1832 sabahının erken saatlerinde karın bölgesinden vuruldu, rakipleri ve kendi saniyeleri tarafından terk edildi ve yoldan geçen bir çiftçi tarafından bulundu. Ertesi sabah saat onda Cochin Hastanesi'nde (muhtemelen peritonit nedeniyle), bir rahibin hizmetlerini reddettikten sonra öldü. Cenazesi isyanlarla sonuçlandı. Cenazesi sırasında bir ayaklanma başlatma planları vardı, ancak aynı sırada liderler General Jean Maximilien Lamarque'ın ölümünü duydular ve ayaklanma 5 Haziran'a kadar hiçbir olay yaşanmadan ertelendi. Galois'nın ölümünden önce sadece küçük kardeşi olaylardan haberdar edildi. Galois 20 yaşındaydı. Küçük kardeşi Alfred'e son sözleri şuydu:

> "Ne pleure pas, Alfred ! J'ai besoin de tout mon courage pour mourir à vingt ans !" (Ağlama, Alfred! Yirmi yaşında ölmek için tüm cesaretime ihtiyacım var!)

2 Haziran'da, Évariste Galois, tam yeri bilinmeyen Montparnasse Mezarlığı'ndaki ortak bir mezara gömüldü. Doğduğu kasaba olan Bourg-la-Reine'in mezarlığında, akrabalarının mezarlarının yanında onun onuruna bir anıt mezar dikildi.

1842'de Joseph Liouville, Galois'nın yayımlanmamış makalelerini incelemeye başladı ve 1843'te değerlerini kabul etti. 1832 ile 1842 arasındaki on yılda neler olduğu veya Liouville'i Galois'nın makalelerini okumaya neyin teşvik ettiği net değildir. Jesper Lützen, Joseph Liouville hakkındaki kitabının XIV. Bölüm Galois Teorisi'nde bu konuyu kesin bir sonuca varmadan oldukça geniş bir şekilde araştırmaktadır.

Matematikçilerin (Liouville dahil) Galois'nın makalelerini yayımlamak istememeleri kesinlikle mümkündür çünkü Galois, Haziran İsyanı'ndan 5 gün önce ölen, Parisli Cumhuriyetçilerin başarısız bir monarşi karşıtı ayaklanması olan bir Cumhuriyetçi siyasi aktivistti. Galois'nın ölüm ilanında, arkadaşı Auguste Chevalier, École Polytechnique'deki akademisyenleri neredeyse Galois'yı öldürmekle suçladı; çünkü çalışmasını reddetmeselerdi matematikçi olacak ve öldürüldüğüne inanılan Cumhuriyetçi siyasi aktivizme kendini adamayacaktı. Fransa'nın hala Terör Dönemi'nin ve Napolyon döneminin gölgesinde yaşadığı göz önüne alındığında, Liouville, Galois'nın makalelerine dikkatini vermeden önce (başarısız Haziran İsyanı ve sonrasından) siyasi kargaşanın yatışmasını beklemiş olabilir.

Liouville nihayet Galois'nın el yazmalarını Journal de Mathématiques Pures et Appliquées'in Ekim-Kasım 1846 sayısında yayımladı. Galois'nın en ünlü katkısı, beşinci dereceden bir formülün olmadığına dair yeni bir kanıttı; yani beşinci ve daha yüksek dereceli denklemler genellikle kökler ile çözülemezdi. Niels Henrik Abel 1824'te kökler ile bir 'beşinci derece formülü'nün imkansızlığını kanıtlamış olsa da ve Paolo Ruffini 1799'da kusurlu olduğu ortaya çıkan bir çözüm yayımlamış olsa da, Galois'nın yöntemleri, artık Galois Teorisi olarak adlandırılan ve herhangi bir polinom denkleminin kökler ile çözümü olup olmadığını belirlemek için kullanılabilecek alan üzerinde daha derin araştırmalara yol açtı.

Matematiğe katkıları

Galois'nın ölmeden iki gün önce, 29 Mayıs 1832 tarihli, arkadaşı Auguste Chevalier'ye yazdığı mektubunun son satırlarından:

> Tu prieras publiquement Jacobi ou Gauss de donner leur avis, non sur la vérité, mais sur l'importance des théorèmes.

Après cela, il y aura, j'espère, des gens qui trouveront leur profit à déchiffrer tout ce gâchis.

(Jacobi veya Gauss'tan halka açık bir şekilde, doğruluk hakkında değil, bu teoremlerin önemi hakkında fikirlerini vermelerini isteyin. Daha sonra, eminim ki, tüm bu karmaşayı deşifre etmekten kazanç sağlayacak bazı insanlar olacaktır.)

Galois'nın derlenmiş eserlerinin yaklaşık 60 sayfası içinde, matematiğin hemen hemen tüm dalları için geniş kapsamlı sonuçları olan birçok önemli fikir bulunmaktadır. Çalışmaları, kendisi de çok genç yaşta ölen ve çalışmalarının çoğu önemli ölçüde örtüşen çağdaşı matematikçi Niels Henrik Abel'in (1802-1829) çalışmalarıyla karşılaştırılmıştır.

### Cebir

Galois'dan önceki birçok matematikçi bugün grup olarak bilinen şeyleri dikkate alsa da, 'grup' (Fransızca groupe) kelimesini bugün anlaşılan teknik anlama yakın bir anlamda kullanan ilk kişi oydu ve bu onu grup teorisi olarak bilinen cebir dalının kurucuları arasına soktu. Bir grubun sol ve sağ eşkümelere ayrışmasını, sol ve sağ eşkümelerin çakışması durumunda 'düzgün ayrışma' olarak adlandırdı; bu, bugün normal alt gruplar olarak bilinen kavrama yol açar. Ayrıca, bugün anlaşıldığı şekliyle sonlu alan (onun onuruna Galois alanı olarak da bilinir) kavramını tanıttı.

Chevalier'ye yazdığı son mektubunda ve ekli üç el yazmasından ikincisinde, sonlu alanlar üzerindeki doğrusal grupların temel çalışmalarını yaptı:

p dereceli genel denklemin Galois grubunu inceleyerek, asal alan üzerindeki genel doğrusal grubu GL(ν, p) inşa etti ve mertebesini hesapladı.

- PSL(2,p) projektif özel doğrusal grubunu inşa etti. Galois bunları kesirli doğrusal dönüşümler olarak inşa etti ve p'nin 2 veya 3 olması durumları hariç bunların basit olduklarını gözlemledi. Bunlar, alterne gruplardan sonra sonlu basit grupların ikinci ailesiydi. - PSL(2,p)'nin basit olduğunu ve p noktası üzerinde etkili olduğunu, ancak ve ancak p'nin 5, 7 veya 11 olması durumunda not etti.

### Galois teorisi

Galois'nın matematiğe en önemli katkısı, Galois teorisini geliştirmesidir. Bir polinom denkleminin cebirsel çözümünün, polinomun kökleriyle ilişkili bir permütasyon grubunun, yani polinomun Galois grubunun yapısıyla ilişkili olduğunu fark etti. Bir denklemin, eğer Galois grubunun, her biri bir sonrakinde abelyen bölüm grubuyla normal olan bir alt grup serisi bulunabiliyorsa, yani Galois grubu çözülebilirse, kökler ile çözülebileceğini buldu. Bu, daha sonraki matematikçilerin, Galois'nın orijinal olarak uyguladığı denklem teorisinin yanı sıra matematiğin diğer birçok alanına uyarladığı verimli bir yaklaşım olduğunu kanıtladı.

### Analiz

Galois ayrıca abelyen integraller ve sürekli kesirler teorisine de bazı katkılarda bulundu.

Son mektubunda yazıldığı gibi, Galois eliptik fonksiyonların incelenmesinden, bugün abelyen integraller olarak adlandırılan en genel cebirsel diferansiyellerin integrallerini değerlendirmeye geçti. Bu integralleri üç kategoriye ayırdı.

### Sürekli kesirler

1828'deki ilk makalesinde Galois, ζ karesel irrasyonelini temsil eden düzenli sürekli kesrin, ancak ve ancak ζ indirgenmiş bir irrasyonel olması durumunda tamamen periyodik olduğunu kanıtladı, yani,

ζ > 1

{\displaystyle \zeta >1}

ve onun eşleniği

{\displaystyle \eta }

şunu sağlar

1 < η < 0

{\displaystyle -1<\eta <0}

Aslında Galois bundan daha fazlasını gösterdi. Ayrıca, ζ indirgenmiş bir karesel irrasyonel ve η onun eşleniği ise, ζ ve (−1/η) için sürekli kesirlerin her ikisinin de tamamen periyodik olduğunu ve bu sürekli kesirlerden birindeki tekrar eden bloğun, diğerindeki tekrar eden bloğun aynadaki görüntüsü olduğunu kanıtladı. Sembollerle ifade edersek

= [

;

, … ,

m − 1

]

= [

m − 1

;

m − 2

m − 3

, … ,

]

{\displaystyle {\begin{aligned}\zeta &=[\,{\overline {a_{0};a_{1},a_{2},\dots ,a_{m-1}}}\,]\\[3pt]{\frac {-1}{\eta }}&=[\,{\overline {a_{m-1};a_{m-2},a_{m-3},\dots ,a_{0}}}\,]\,\end{aligned}}}

burada ζ herhangi bir indirgenmiş karesel irrasyonel ve η onun eşleniğidir.

Galois'nın bu iki teoreminden Lagrange tarafından zaten bilinen bir sonuç çıkarılabilir. Eğer r > 1, tam kare olmayan bir rasyonel sayı ise, o zaman

[

;

, … ,

, 2

]

{\displaystyle {\sqrt {r}}=\left[\,a_{0};{\overline {a_{1},a_{2},\dots ,a_{2},a_{1},2a_{0}}}\,\right].}

Özellikle, n herhangi bir tam kare olmayan pozitif tam sayı ise, √n'nin düzenli sürekli kesir açılımı, ilk m − 1 kısmi paydasının palindromik bir dizi oluşturduğu m uzunluğunda tekrar eden bir blok içerir.

Évariste Galois