Pál Turán: Bir çalışma kampından teoremler

Temmuz 1944'te, zorunlu çalıştırılan bir Macar Yahudisi, Budapeşte yakınlarındaki bir fabrikada raylar üzerinde tuğla dolu vagonları itiyordu. Rayların kesiştiği yerlerde vagonlar sarsılıyor ve iş daha da zorlaşıyordu. Çoğu insan bu kesişme noktalarına lanet okurdu. Turán, m fırın ve n depo için minimum kesişme sayısının ne olduğunu merak etmeye başladı ve böylece bugün 'Turán'ın tuğla fabrikası problemi' olarak adlandırılan, kesişme sayısı teorisinin temel sorularından birini ortaya attı. O bir mahkumdu. Ama o anda aynı zamanda matematik yapıyordu.

Budapeşte, Fejér ve kapalı bir kapı

Turán, 18 Ağustos 1910'da o zamanlar Avusturya-Macaristan İmparatorluğu'nun bir parçası olan Budapeşte'de Macar Yahudisi bir ailede doğdu. Yeteneği ortaokulda ortaya çıktı. 1933'te Budapeşte Üniversitesi'nden öğretmenlik diplomasını aldı ve 1935'te Macar analizinin merkezi figürü Lipót Fejér'in rehberliğinde Eötvös Loránd Üniversitesi'nde doktorasını tamamladı.

1933'te Amerikan ve Londra Matematik Dernekleri'nin dergilerinde iki önemli makale yayınladı. Ancak bu, iş bulma şansında hiçbir fark yaratmadı. Macaristan'ın Yahudilerin yükseköğretime katılımını kısıtlayan numerus clausus yasaları, onu yıllarca istikrarlı bir akademik işten uzak tuttu ve 1938'de sonunda elde ettiği pozisyon Budapeşte'deki bir haham eğitim okulundaydı. İşte 23 yaşında uluslararası düzeyde yayın yapan ve 28 yaşında bir ilahiyat okulunda ders veren bir matematikçi, çünkü devlet onu yasal olarak üniversiteden dışlamıştı.

Erdős ile tanışma

1 Eylül 1930'da, Budapeşte Üniversitesi'ndeki bir matematik seminerinde Turán, Paul Erdős ile tanıştı. Her ikisi de okul çağındayken problem dergisi KöMaL'de dikkat çeken çözücülerdi. O gün başlayan iş birliği kırk altı yıl sürdü ve yirmi sekiz ortak makale üretti; bu, 20. yüzyıl matematiğindeki büyük ve sürdürülebilir ortaklıklardan biriydi ve Turán'ın karakteri hakkında bildiklerimizin çoğunun kaynağıydı, çünkü Erdős onun hakkında uzun uzun yazdı ve ona asla yaltaklanmadı.

Kamplarda beş yıl

Eylül 1940'ta Turán, Yahudi kökeni nedeniyle tutuklandı ve çalışma kamplarına gönderildi. Transilvanya ve Macaristan'daki çeşitli kamplarda beş yıl geçirdi.

Bu dönem bibliyografyasında bir boşluk olmalıydı. Öyle olmadı. Kendisi de matematik eğitimi almış Joshef Winkler adında bir subay, Turán'ın adını tanıdı ve onun için daha hafif görevler ayarladı. Turán, bunun sağladığı boşluğu kullandı. Gözaltındayken Riemann zeta fonksiyonu üzerine önemli bir makale yazdı ve problemleri kafasında çözerek ve problemler üzerinde düşünerek kendini korudu. Tuğla fabrikası gözlemi Temmuz 1944'te geldi; bunu ciddiye alması ancak 1952'den sonra oldu, ancak soru rayların üzerinde doğmuştu.

Erdős bunu açıkça ifade etti: Turán "Nazi kamplarında bile ruhunu kaybetmedi ve orada parlak işler yaptı." 1944'te serbest bırakıldı ve öğretmenliğe geri döndü.

Ekstremal çizge teorisi

Turán'ın inşa ettiği en önemli şey, hapisteyken inşa ettiği şeydi. Erdős yine: "1940-1941'de, şu anda kombinatorikte en hızlı büyüyen konulardan biri olan çizge teorisindeki ekstremal problemler alanını yarattı."

Kurucu sonuç olan Turán teoremi, bir çizgenin r köşeli tam bir alt çizge içermeden sahip olabileceği kenar sayısı için bir üst sınır verir. Bunu kanıtlamak için, tam iki parçalı çizgelerin bir genellemesi olan Turán çizgesini icat etti. Teoremin önemi belirli sınırda değil, kurduğu soru biçimindedir: Bir desenin ortaya çıkması zorunlu hale gelmeden önce ne kadar yapıya sahip olabilirsiniz? O zamandan beri binlerce ortamda sorulan bu soru, ekstremal kombinatorik dediğimiz şeydir. Kővári–Sós–Turán teoremi, bu yaklaşımı yasaklı alt çizgeleri olan iki parçalı çizgelere genişletti.

Elek ve kuvvet toplamı

Sayı teorisi onun ana alanıydı. 1934'ten kalma Turán eleği, Hardy ve Ramanujan'ın 1917'deki farklı asal bölenlerin sayısının normal düzeni hakkındaki sonucunun basitleştirilmiş bir kanıtını verdi. Halász, gerçek önemini şöyle tanımladı: "Gerçek önemi, olasılıksal sayı teorisinin başlangıç noktası olması gerçeğinde yatmaktadır." Bir disiplini kuran bir basitleştirme, bir basitleştirme değildir. Turán–Kubilius eşitsizliği çalışmayı genelleştirdi.

Asalların kalıntı sınıfları arasında nasıl dağıldığındaki düzensizlikler için "asal sayı yarışı" terimini icat etti ve Knapowski ile Chebyshev yanlılığı ile ilgili sonuçlar üzerinde çalıştı. Erdős–Turán sanısı, aritmetik ilerlemedeki asallarla ilgilidir. Ayrıca, karmaşık analiz, sayısal analiz, diferansiyel denklemler, aşkın sayı teorisi ve genel olarak sıfırların tahminine ulaşan uygulamalarla, Riemann zeta fonksiyonunun sıfırlarının kuvvetlerinin toplamları üzerine eşitsizlikler için bir teknik olan kuvvet toplamı yöntemini geliştirdi.

Hipotezin kendisi hakkında Erdős, Turán'ın "bir 'inanmayan', aslında bir 'putperest' olduğunu: Riemann hipotezinin doğruluğuna inanmadığını" kaydetti. Analizi, Legendre polinomları üzerine Turán eşitsizliklerini ve Erdős ile birlikte Erdős–Turán eş dağılım eşitsizliğini üretti.

Gizli tutulan bir teşhis

1945'te Budapeşte Üniversitesi'nde doçent, 1949'da profesör oldu. Kossuth Ödülü 1948'de ve tekrar 1952'de geldi; 1948'de Macar Bilimler Akademisi'nin ilgili üyesi ve 1953'te asli üyesi seçildi. János Bolyai Matematik Derneği'ni kurdu ve başkanlığını yaptı, önde gelen dergilerin editör kurullarında yer aldı, 1970'te Uluslararası Matematikçiler Kongresi'nde konuştu ve o yıl Fields Ödülü komitesine davet edildi. Tibor Szele Ödülü 1975'te geldi.

1939'da Edit Kóbor ile evlendi ve Róbert adında bir oğlu oldu; 1952'de matematikçi Vera Sós ile evlendi, onunla ortak yayınlar yaptı ve György ve Tamás adında iki oğlu oldu.

1970 civarında lösemi teşhisi kondu. Sadece Vera biliyordu. Ona söylememeyi seçti, çünkü onun "hayata çok aşık" olduğuna ve umutsuzluğa kapılacağına inanıyordu. Erdős'e ancak 1976'da söyledi. Erdős daha sonra bunun bedeline hayıflandı: Zamanının az olduğunu bilmeyen Turán, bazı çalışmaları "daha sonraya" erteledi ve asla tamamlamadı.

Pál neden dahi olarak adlandırılır

Özel yetenek, tüm disiplinler düzeyinde problem yaratmadır. Turán'ın bireysel teoremleri güçlüdür, ancak imzası, üç ayrı alanın kökeninin ona kadar izlenebilmesidir: Erdős'un 1940-41'de yaratmasını açıkça ona atfettiği ekstremal çizge teorisi; Halász'ın 1934'teki eleğiyle başladığını söylediği olasılıksal sayı teorisi; ve tuğlalarla başlayan kesişme sayısı teorisi. Bir alan kurmak bir kariyerdir. Üçünü kurmak başka bir şeydir; belirli bir zorluğun bir örneği olduğu, sorunun altındaki soru için alışılmadık bir içgüdüdür.

Koşullar, iddiayı sadece süslemek yerine keskinleştiriyor. Ekstremal çizge teorisini bir çalışma kampında, kütüphanesiz, iş arkadaşsız ve kağıtsız, yapıları kafasında tutarak yarattı. Matematiksel yetenek konusunda duygusal olmayan ve tanınmaya değer herkesi tanıyan Erdős, orada parlak işler yaptığını söyledi.

Karşı durum her zamankinden daha zayıf ama gerçek. Erdős kırk altı yıl boyunca en yakın arkadaşı ve en çok alıntılanan değerlendiricisiydi, bu bağımsız bir kaynak değildir. Turán'ın kuvvet toplamı yöntemi, tüm erişimine rağmen, inanmadığı Riemann hipotezini çözemedi. Onurları (iki Kossuth Ödülü, Szele Ödülü, akademi üyeliği) disiplinin en üst uluslararası ödüllerinden ziyade Macar ulusal tanımalarıdır. Ve ekstremal çizge teorisinin patlayıcı büyümesi, onu ondan sonra geliştirenlere çok şey borçludur. Soruyu o sordu; başkaları konuyu inşa etti.

Miras

Turán, 26 Eylül 1976'da Budapeşte'de, onu neyin öldürdüğünden habersiz bir şekilde, altmış altı yaşında lösemiden öldü. Her kombinatorik dersi artık onun teoremini öğretiyor ve olasılıksal sayı teorisi kuruluşunu yirmi dört yaşında tasarladığı bir eleğe dayandırıyor. Tuğla fabrikası problemi genel olarak açık kalmaya devam ediyor. Bu uygun bir anıttır: Rayların kesişmesini izleyen bir mahkum tarafından sorulan ve disiplinin henüz cevaplamayı bitiremediği bir soru.