Marc Lackenby: Düğümü Çözen Adam

"İki düğümün aynı olup olmadığını anlamak için bilinen sistematik bir yöntem henüz yoktur." Bu sözler, 1954 yılında Alan Turing'e (Alan Turing) aitti ve matematikteki en inatçı somut çözülememiş sorunlardan birine dikkat çekiyordu: Uçları birleştirilmiş bir ip yığını verildiğinde, bunun gerçekten bir düğüm olup olmadığına nasıl karar verilir? Max Dehn (Max Dehn) bu soruyu 1910'da ortaya atmıştı. Wolfgang Haken (Wolfgang Haken) 1961'de ilk algoritmayı üretti, ancak karmaşık durumlarda bu algoritma umutsuzca yavaştı. 2 Şubat 2021'de UC Davis'te Marc Lackenby, bu sorunun n üzeri c log n adımda çözülebileceğini, yani bilgisayar bilimcilerinin gerçekten çözülebilir bir problem olarak gördüğü verimliliğe çok yakın bir noktada olan kuazi-polinom zamanda çözülebileceğini duyurdu. Oxfordlu matematikçiler bunu Gordion düğümünü çözme başarısı olarak nitelendirdi.

Cambridge ve Lickorish Okulu

Lackenby, 1990 yılında Cambridge'e matematik okumaya gitti ve 1997 yılında W. B. R. Lickorish (W. B. R. Lickorish) danışmanlığında "Dehn Cerrahisi ve Düğüm Çözme İşlemleri" başlıklı teziyle doktorasını tamamladı. Lickorish, yirminci yüzyıl düğüm teorisinin merkezindeki isimlerden biridir ve tezin konuları olan Dehn cerrahisi ve düğüm çözme, çeyrek yüzyıl sonra bile Lackenby'nin temel çalışma konuları olmaya devam etmiştir. Kendi çalışma alanını bu kadar erken seçip sürekli yeni şeyler bulan matematikçi sayısı azdır.

Berkeley'deki California Üniversitesi'nde Miller Araştırma Bursu aldı ve Cambridge'e döndükten sonra araştırma görevlisi olarak çalıştı, ardından 1999'da Oxford'a geçerek St Catherine's College'da öğretim görevlisi ve üye oldu. 2006 yılında profesörlüğe terfi etti. Çalışmaları düğüm teorisi, düşük boyutlu topoloji ve grup teorisi arasında yer alıyor; bu üç konu, üç boyutlu uzayda farklı açılardan bakılan hemen hemen aynı konu olarak karşımıza çıkıyor.

Boşlukları Doldurmak

Dehn cerrahisi, üç boyutlu topolojinin merkezindeki işlemdir: Bir düğümün etrafındaki katı bir tüpü kesin, sonra onu farklı bir şekilde geri yapıştırın. Hemen hemen her üç boyutlu manifold bu şekilde üretilebilir, bu yüzden bu işlemi anlamak nesneleri anlamak demektir.

Önemli olan sonuç hiperbolik kaldığında ne olduğudur; hiperbolik geometri, üç boyutlu bir manifoldu sert ve analiz edilebilir kılan yapıdır ve eksikliği vahşi doğanın başladığı yerdir. 2π teoremi, cerrahinin hiperbolikliği koruduğunu garanti eden geometrik bir kriter sunar. Lackenby, bunun güçlendirilmiş bir versiyonunu kanıtladı. Bu, onun için karakteristik bir sonuç türüdür: yeni bir manzaranın keşfi değil, mevcut bir sınır çizgisinin keskinleştirilmesi ve bu, daha fazla arazinin yararlı tarafta kalmasını sağlayacak kadar iyi bir şekilde yapılmıştır.

Alternatif Düğümler ve Hacim

İkinci bir bağ, bir düğümün resmi ile geometrisi arasındadır. Bir düğümü sayfada bir diyagram olarak çizin ve elinizde kombinatorik (kesişimler, yaylar, bölgeler) olsun. Düğümün etrafındaki alanı düşünün ve elinizde ona bağlı bir hiperbolik hacim ile geometri olsun. Bunlar tamamen farklı bilgi türleridir ve bunları ilişkilendirmek alanın derin projelerinden biridir.

Lackenby, düğümün etrafında gezerken kesişimlerin üst, alt, üst, alt şeklinde değiştiği alternatif düğümler sınıfı için düğüm tamamlayıcılarının hiperbolik hacmine sınırlar koydu ve geometrik bir değişmezi bir çizim üzerinde kelimenin tam anlamıyla sayabileceğiniz bir şeye bağladı. Bu tür sonuçlar, düğüm geometrisini sadece düşünsel olmaktan çıkarıp hesaplanabilir kılıyor.

Reidemeister Hareketlerinin Sayımı

Herhangi bir düğüm diyagramı, üç temel manipülasyondan oluşan bir dizi Reidemeister hareketiyle aynı düğümün başka bir diyagramına dönüştürülebilir. Bu, 1920'lerden beri biliniyordu ve tek başına işe yaramazdı: kaç hareketin gerekli olduğunu söyleyen hiçbir şey yoktu ve dizi basitleşmeden önce her iki uç noktadan çok daha karmaşık diyagramlardan geçmek zorunda kalabilirdi. Düğüm çözmenin zor olmasının nedeni tam olarak budur; genellikle düzelmeden önce düğümü daha karışık hale getirmeniz gerekir.

Lackenby, düğümün çözülmüş halinin diyagramının, kesişim sayısının polinomu kadar Reidemeister hareketiyle çözülebileceğini gösterdi. Karamsarlık yersizdi. Her zaman önemsiz bir daireye giden makul derecede kısa bir yol vardır, ancak bunu bulmak başka bir konudur.

Kuazi-Polinom Zaman

Bu bizi 2021 yılına getiriyor. Düğüm tanıma problemi, Haken'den sonra topoloji ve geometriye dayanan birçok algoritma biriktirmişti ve düğümler karmaşıklaştığında neredeyse hepsi feci şekilde yavaşlıyordu. Polinom zamanlı bir algoritmanın var olup olmadığı, topoloji ve bilgisayar biliminin sınırındaki ünlü açık sorulardan biri haline gelmişti. William Thurston (William Thurston), 2011 yılında bunu açıkça ifade etti: "Birçok kişi bu soruyu düşündü... ama bu çözülmesi çok zor bir soruydu."

Lackenby'nin n^(c log n) sınırı sorunu tam olarak çözmüyor. Kuazi-polinom, polinomdan daha yavaştır. Ancak kuazi-polinom ile ondan önce gelen her şey arasındaki fark devasadır ve kuazi-polinom ile polinom arasındaki fark, pratik ve kavramsal terimlerle küçüktür. Turing'in evcilleştirilmemiş problemler arasına aldığı bir problem, şimdi temel olarak evcilleştirilmiştir.

Mark Neden Dahi Olarak Adlandırılıyor?

Sergilenen kalite hız veya genişlik değildir. Bu, sabırlı bir derinlik türüdür: yirmi beş yıl boyunca aynı soru grubuyla (Dehn cerrahisi, düğüm çözme, düğüm tamamlayıcılarının geometrisi) kalmak, nesiller boyunca direnmiş problemler çözülebilir hale gelene kadar teknik biriktirmek. Düğüm çözme sonucu en net kanıttır, çünkü zekice bir hileyle değil, kariyerini gerekli özel makineyi inşa etmeye adamış ve başkalarının göremediği yerlerde topolojik ve geometrik araçların hangi kombinasyonunun işe yarayacağını görebilen birine denk gelmiştir.

Akranlarından gelen tanınma sansasyonel değil, tutarlıydı: 2003'te Londra Matematik Derneği'nin Whitehead Ödülü, 2006'da matematik ve istatistik alanında Philip Leverhulme Ödülü, 2010'da Uluslararası Matematikçiler Kongresi'nde konuşmaya davet edilmesi; bunlar disiplinin bir çalışmanın önemli olduğuna dair en güvenilir sinyalleridir. 2021 duyurusu, Oxford'un "başarı" (tour-de-force) kelimesini kullanmasıyla en güçlü dilleri harekete geçirdi.

Karşı taraf da belirtilmelidir. Hiçbir kaynak Lackenby'ye dahi dendiğini kaydetmiyor ve ait olduğu matematik kültürü bu kelimeyi kullanmakta oldukça cimri. Çalışmaları doğrudan Haken, Thurston, Lickorish ve tüm normal yüzey geleneği üzerine kuruludur; kuazi-polinom algoritması, yeni bir çerçeve değil, yerleşik bir çerçeve içinde muhteşem bir iyileştirmedir. Ayrıca polinom da değildir, bu da ana sorunun teknik olarak hala açık olduğu anlamına gelir. Ve düşük boyutlu topoloji, tüm güzelliğine rağmen uzman bir alandır; sonuçları topologlar arasında ünlüdür ve dışarıda büyük ölçüde bilinmez. Tartışmasız olan şey, bir asırdır direnen bir sorunu çözdüğü ve bunu kendi konusunu herkesten daha derinlemesine bilerek yaptığıdır.

Miras

Lackenby'nin çalışmasının dört dalında yaptığı şey, düğüm teorisini etkili kılmaktır. Kesişimleri sayarak hacimleri sınırlamak, hareketleri sayarak çözmeyi sınırlamak, adımları sayarak tanımayı sınırlamak; her durumda düşünülebilen bir nesne hesaplanabilir bir nesne haline geldi. Bu değişim, güzel bir teoriyi kullanılabilir bir teoriye dönüştüren şeydir ve 2021 sonucunun topolojinin ötesine geçerek teorik bilgisayar bilimine ulaşmasının nedenidir. Dehn bu soruyu 1910'da sordu. 111 yıl ve başka hiçbir şey üzerinde çalışmayı reddeden Oxford'daki bir profesör gerekti.