Arieh Iserles: Bilgisayarların Geometriye Saygı Duymasını Sağlamak

Bir yıldızın yörüngesinde dönen bir gezegen enerjisini tam olarak, sonsuza kadar korur. Standart bir sayısal yöntem kullanarak bir bilgisayarda bu yörüngeyi simüle edin ve enerji kayacaktır — gezegen yavaşça güneşe doğru spiraller çizerek ya da karanlığa doğru uzaklaşarak, fizik öyle söylediği için değil aritmetik sızdırdığı için hareket edecektir. Arieh Iserles, bunun kabul edilemez olduğuna karar veren ve denklemlerinin kodladığı yasalara uyan algoritmalar oluşturmaya koyulan matematikçiler grubuna aittir.

Kudüs'ten Cam Nehri'ne

Iserles, 2 Eylül 1947'de doğdu ve Kudüs İbrani Üniversitesi ile Negev Ben-Gurion Üniversitesi'nde okudu. Doktora çalışması, dar sounding olan ancak aslında öyle olmayan bir konu olan katı adi diferansiyel denklemler için sayısal yöntemler üzerindeydi.

Katılık, bir sistem tamamen farklı zaman ölçeklerinde çalışan süreçler içerdiğinde ortaya çıkan patolojidir: bir adımı mikrosaniye, diğeri ise saatler süren bir kimyasal reaksiyon gibi. Saf sayısal yöntemler, orada ilginç hiçbir şey olmasa bile en hızlı sürecin hızında sürünmeye zorlanır ve hesaplama karşılanamaz hale gelir. Katılığı düzgün bir şekilde çözmek, yirminci yüzyıl bilimsel hesaplamasının merkezi pratik sorunlarından biriydi ve kariyerini sürekli matematik ile kesikli makineler arasındaki uyumsuzluğa harcayacak biri için iyi bir eğitim sahasıdır.

Cambridge, Tek Bir Sapmayla

Cambridge'e 1978'de King's College'da Kıdemli Olmayan Araştırma Görevlisi olarak geldi, 1982'de orada Kıdemli Araştırma Görevlisi oldu ve 1986–87 yıllarını Arizona Üniversitesi'nde doçent olarak geçirdi. Sonra geri döndü ve kaldı.

1987'den 1995'e kadar Cambridge'de Üniversite Okutmanı, 1995'ten 1999'a kadar Sayısal Analiz Okutmanı (Reader) ve 1999'dan beri Dirac ve Hawking'in çalıştığı departman olan Uygulamalı Matematik ve Teorik Fizik Departmanı'nda — DAMTP, Diferansiyel Denklemlerin Sayısal Analizi Profesörüdür. 2010'dan 2015'e kadar Cambridge Analiz Merkezi'ni yönetti.

Geometrik Bütünleştirme

Iserles'in araştırma hayatının merkezi fikri, bir diferansiyel denklemin bir yapı taşıdığı ve iyi bir sayısal yöntemin bunu koruması gerektiğidir.

Bazı sistemler enerjiyi korur. Bazıları faz uzayındaki hacmi korur. Bazıları eğri bir manifold üzerinde evrimleşir — örneğin durumu dönme grubu üzerinde yaşayan ve ne kadar beklerseniz bekleyin onu asla terk edemeyen dönen bir katı cisim. Geleneksel sayısal yöntemler bunun hakkında hiçbir şey bilmez. Bir sonraki adımı yaklaştırır ve küçük bir hatayı kabul ederler ve uzun bir simülasyon üzerinde bu küçük hatalar nitel saçmalıklara birikir: dönme matrisi bir dönme olmayı bırakır, enerji kayar, yörünge başka hiçbir ek hassasiyetin düzeltemeyeceği bir şekilde yanlış olur.

Geometrik sayısal bütünleştirme, değişmezlere tam olarak saygı duyan yöntemler tasarlayarak buna saldırır — Hamiltonian sistemler için simplektik bütünleştiriciler, hacmi koruyan yöntemler ve bir Lie grubu (Lie group) üzerinde yaşayan bir sistemin üzerinde kalmasını sağlayacak şekilde oluşturulmuş şemalar. Iserles'in kendi katkıları bunun makineleri etrafında kümelenir: matris üstelinin yaklaşımları, özellikle bir Lie cebirini (Lie algebra) Lie grubuna doğru bir şekilde eşleyen yöntemler ve eşspektral akışların ve Lie–Poisson yapılarının analizi.

Salınım, Diğer Zor Vaka

İkinci büyük alanı, çözümün çok hızlı sallandığı problemler olan yüksek salınımlı olgulardır.

Bu, sezgiye aykırı bir nedenle standart sayısal analiz için gerçek bir kabustur. Sıradan kuadratür örnekleme yoluyla çalışır; fonksiyon örneklediğinizden daha hızlı salınırsa hiçbir şey öğrenemezsiniz ve klasik tepki daha hızlı örneklemektir, bu da sorun kötüleştikçe daha pahalıya mal olur. Iserles, yüksek salınımlı integraller için etkili ayrıklaştırma yöntemleri üzerinde çalıştı — dikkat çekici bir şekilde yüksek salınımın bir engelden avantaja dönüştürülebileceği, frekans arttıkça doğruluğun çökmek yerine iyileştiği bir teknik ailesi. Yaklaşımı diferansiyel denklemlere ve operatörlerin spektrumlarına genişletti ve birkaç etkileşimli salınım ölçeğine sahip denklemler için üstel bütünleştiriciler geliştirdi.

Tam araştırma yelpazesi adi ve kısmi diferansiyel denklemleri, yaklaşıklık teorisini, ortogonal polinomları, fonksiyonel denklemleri ve hesaplamalı dinamikleri kapsar.

Bekçi

Iserles, alanının kurumları için alışılmadık derecede merkezi olmuştur. Alanın nerede durduğunun özünde ifadesi olan yıllık inceleme cildi Acta Numerica'nın sorumlu editörü ve IMA Journal of Numerical Analysis'in baş editörüdür, ayrıca başka yerlerde yönetim kurulu pozisyonlarına sahiptir. 1997'den 2000'e kadar Hesaplamalı Matematik Temelleri Derneği'ne başkanlık etti.

Ve Cambridge University Press tarafından yayınlanan ve şu anda ikinci baskısında olan A First Course in the Numerical Analysis of Differential Equations'ı yazdı — dünya çapında pek çok lisansüstü öğrenci için onlara konuyu öğreten kitap.

Arieh'e Neden Dahi Denir

Görünen entelektüel nitelik belirli bir tersine çevirme türüdür: bir sorunu zorlaştıran özelliği tekrar tekrar alıp çözümü çalıştıran özelliğe dönüştürmek. En açık durum, standart çerçevenin hızlı salınımı aşırı örneklenmesi gereken düşman olarak ele aldığı ve Iserles'in üzerinde çalıştığı yöntemlerin salınım arttıkça daha iyi hale geldiği yüksek salınımlı bütünleştirmedir. Geometrik bütünleştirme daha yüksek bir seviyede aynı hamleyi içerir — bir diferansiyel denklemi yaklaştırılacak bir formül olarak ele almayı bırakın ve yapısı korunacak şey olan geometrik bir nesne olarak ele almaya başlayın. Bu tür yeniden çerçeveler teknik virtüözlükten daha nadir ve daha zordur ve bütün bir topluluğun ne yaptığını düşündüğünü değiştirir.

Dürüstçe tartılan tanınma önemli ancak hizmet ağırlıklıdır. Onsager Madalyası 1999'da geldi. David Crighton Madalyası, açıkça "matematik ve matematik topluluğuna hizmetler için" verilerek 2012'de bunu takip etti. Mesleğe Üstün Hizmet İçin SIAM Ödülü 2014'te geldi. Bu üçünden ikisi, kendi alıntılarına göre, keşiften ziyade hizmetle ilgilidir.

Yani karşı argüman gerçektir. Hiçbir teorem Runge–Kutta veya Newton yönteminin sahip olduğu şekilde Iserles'in adını taşımaz. Geometrik bütünleştirme bir topluluk tarafından inşa edildi — Hairer, Lubich, Wanner, Marsden, McLachlan ve onunla birlikte başkaları — ve o tek yazarı değil, önemli bir katkıda bulunandır. Ölçülebilir en büyük etkisi editoryal ve pedagojik olabilir: Acta Numerica'yı yönetmek, IMA Journal'ı yönetmek, standart ilk kursu yazmak. Hiçbir erişilebilir kaynak kimsenin ona dahi dediğini kaydetmez. O, olağanüstü bir uygulamalı matematikçi ve istisnai bir kurum kurucusudur ve bu cümlenin ikinci yarısı, hayranların genellikle kabul ettiğinden daha fazla iş yapmaktadır.

Miras

Iserles, 1987'den beri çalıştığı departmanda, DAMTP'de kalmaya devam ediyor.

İtmesine yardım ettiği program sessizce kazandı. Simplektik ve yapıyı koruyan bütünleştiriciler artık moleküler dinamikte, göksel mekanikte, plazma fiziğinde ve hızlandırıcı tasarımında standarttır — bir simülasyonun çok uzun süre çalışması ve sonunda hala inanılması gereken her yerde. Altta yatan içgörü teknik olduğu kadar felsefidir: bir sayısal yöntem, bir denklemi yaklaştırmak için tarafsız bir araç değildir. Kendi başına küçük bir dinamik sistemdir ve onu dikkatsizce inşa ederseniz, size var olmayan bir evren hakkında bir hikaye anlatacaktır.