Сахарон Шелах: логик, который обошел всех по количеству публикаций

Большинство профессиональных математиков считают сто научных статей за всю карьеру признаком серьезной продуктивности. Сахарон Шелах (Saharon Shelah) с 1969 года опубликовал более 1100 рецензируемых работ — более тысячи уникальных математических вкладов от одного ума, с такой скоростью, которая делает его, по большинству подсчетов, самым продуктивным из ныне живущих математиков. Если бы содержание было рутинным, такой объем был бы просто курьезом. Но это не так: работы Шелаха разрешили открытые проблемы, стоявшие десятилетиями, создали целые подразделы теории множеств и неоднократно обнаруживали неожиданные структуры там, где большинство логиков уже пришли к выводу о принципиальной неразрешимости.

Сын поэта, увлеченный геометрией

Шелах родился 3 июля 1945 года в Иерусалиме, находившемся тогда под британским мандатом. Его отец, известный публике как еврейский поэт и ханаанейский политический активист Йонатан Ратош (Yonatan Ratosh, при рождении Уриэль Шелах), создал для него необычную интеллектуальную атмосферу. Шелах поначалу тяготел к физике и биологии, но курс геометрии в девятом классе изменил его путь, а чтение книги Авраама Френкеля (Abraham Fraenkel) «Введение в математику» (An Introduction to Mathematics) в пятнадцать лет закрепило его выбор: по его собственным словам, уже тогда он знал, что хочет стать математиком. Он получил степень бакалавра в Еврейском университете в Иерусалиме в 1964 году, одновременно служа в Армии обороны Израиля до 1967 года, затем получил степень магистра, а в 1969 году — докторскую степень в том же Еврейском университете под руководством Михаэля Осера Рабина (Michael Oser Rabin). Его диссертация была посвящена стабильным теориям (stable theories) — это стало фундаментом области, которую он впоследствии перестроил.

Решение проблемы Морли

После недолгой работы в качестве постдока в Принстоне (1969–1970) и Калифорнийском университете в Лос-Анджелесе (1970–1971), Шелах навсегда вернулся в Еврейский университет, став профессором в 1974 году. С 1978 года он занимает кафедру математической логики, которую возглавляет до сих пор, параллельно с 1986 года являясь почетным приглашенным профессором Ратгерского университета. Его первым крупным достижением стало решение проблемы Морли (Morley) в теории моделей — вопроса о том, сколько неизоморфных моделей заданного размера может иметь теория первого порядка. Он решил его, построив то, что стало известно как теория классификации (стабильности), — всеобъемлющий каркас для сортировки математических теорий по их внутренней сложности. Книга 1978 года, выросшая из этой работы, «Теория классификации и число неизоморфных моделей» (Classification Theory and the Number of Non-Isomorphic Models), стала основополагающим текстом современной теории моделей.

Правильный форсинг и границы континуума

В теории множеств Шелах разработал «правильный форсинг» (proper forcing) — технику итерации метода форсинг (инструмента, который Пол Коэн (Paul Cohen) использовал для доказательства независимости континуум-гипотезы), которая позволяет избежать технических коллапсов, ограничивавших предыдущие итеративные конструкции. Правильный форсинг стал стандартным инструментом в этой области, используемым теоретиками множеств для создания моделей с тонко контролируемыми свойствами, которые невозможно было получить с помощью простых методов форсинга. Опираясь на это, Шелах создал теорию PCF (возможные конфинальности, possible cofinalities), продемонстрировав, что, хотя базовые вопросы кардинальной арифметики (например, значение континуума) формально неразрешимы в рамках стандартных аксиом (ZFC), существуют другие глубокие и доказуемые теоремы о кардинальном возведении в степень. По сути, он нашел строгую математическую структуру в области теории множеств, которую многие считали царством чистой свободы, не ограниченной никакими доказуемыми законами.

Длинный список решенных частных проблем

Помимо этих двух масштабных каркасов, Шелах обладает поразительным послужным списком решения отдельных известных открытых проблем в математической логике и смежных областях: он доказал, что проблема Уайтхеда (Whitehead) — является ли каждая абелева группа с определенным свойством расширения свободной — независима от ZFC, что означает, что она не может быть ни доказана, ни опровергнута в рамках стандартных аксиом теории множеств; он сконструировал группу Джонссона (Jónsson group), несчетную группу, в которой каждая собственная подгруппа счетна, разрешив давно стоявшую проблему существования; он привел примитивно-рекурсивные верхние границы для чисел ван дер Вардена (van der Waerden) в комбинаторике; он расширил теорему Эрроу (Arrow) о невозможности в теории общественного выбора; и начиная с 2010-х годов в сотрудничестве с Мариантой Маллиарис (Maryanthe Malliaris) разрешил пятидесятилетнюю открытую проблему, касающуюся порядка Кейслера (Keisler) по сложности теорий первого порядка, за что пара была удостоена медали Хаусдорфа (Hausdorff Medal) в 2017 году.

Признание

Награды Шелаха соответствуют его достижениям: он стал первым лауреатом премии Эрдёша (Erdős Prize) в 1977 году, а затем получил премию Ротшильда (1982), премию Карпа (1983), премию Джорджа Пойи (1992), Премию Израиля (1998), премию Бойяи (2000), премию Вольфа по математике (2001 — одна из высших наград в этой области, уступающая только Филдсовской или Абелевской премии), премию ЭМЕТ (2011), премию Лероя П. Стила от Американского математического общества (2013), медаль Хаусдорфа совместно с Маллиарис (2017) и премию Рольфа Шока по логике и философии (2018). Он трижды выступал с докладами на Международном конгрессе математиков: в 1974, 1983 и 1986 годах.

Личная трагедия

Семья Шелаха напрямую столкнулась с насилием на Ближнем Востоке: его брат, мировой судья Хаман Шелах, был убит вместе с женой и дочерью во время резни в Рас-Бурка в 1985 году, когда египетский солдат открыл огонь по израильским туристам на Синае. Шелах женат на Яэль (Yael), у них трое детей.

Почему Сахарон Шелах считается гением

Аргументы в пользу того, чтобы называть Шелаха математическим гением, основываются не столько на каком-то одном грандиозном доказательстве, сколько на непревзойденном сочетании «сырой» продуктивности и концептуального охвата. Одно лишь создание теории классификации реорганизовало то, как специалисты по теории моделей думают о структуре теорий. Правильный форсинг стал стандартным инструментом, которому обучают каждого аспиранта в области теории множеств. Теория PCF нашла доказуемую структуру в той области кардинальной арифметики, которую большинство логиков после работ Коэна и Гёделя (Gödel) считали практически лишенной законов. Любой из этих трех вкладов сам по себе обеспечил бы ученому выдающуюся карьеру. Огромный объем публикаций — более 1100 работ — сам по себе настолько необычен для математиков, что вызывает серьезные дискуссии: некоторые коллеги видят в этом доказательство необычайной и устойчивой способности к глубоким озарениям, поскольку его самые цитируемые и влиятельные результаты распределены по пяти десятилетиям, а не сосредоточены в короткий период. Честный контраргумент заключается в том, что работы Шелаха известны своей сложностью даже для специалистов: они плотны, перегружены обозначениями и часто написаны в сжатом стиле, который даже опытные теоретики называют трудным для пошаговой проверки. Это иногда замедляло признание сообществом некоторых его наиболее сложных доказательств, пока не появлялись независимые подтверждения. Его работы неизбежно варьировались по глубине: не каждая из 1100 статей несет на себе груз теории классификации или PCF, и часть его корпуса состоит из технических уточнений и приложений к уже созданным им каркасам, а не из совершенно новых концептуальных прорывов. Он никогда не получал Филдсовскую медаль (отчасти из-за возрастного ценза в 40 лет, который он уже прошел к моменту появления его главных результатов) или Абелевскую премию, оставив высшие математические лавры вне досягаемости, несмотря на признание премии Вольфа.

Наследие

Шелах, будучи уже в возрасте за восемьдесят, остается активным математиком в Еврейском университете и Ратгерсе, продолжая публиковаться темпами, с которыми мало кто в истории этой области мог сравниться. Теория классификации и теория PCF стали постоянными элементами учебных программ по теории моделей и теории множеств, а поколения логиков построили свою карьеру, развивая созданные им каркасы. Масштаб этого труда таков, что у математического сообщества могут уйти десятилетия на его полное освоение и оценку.