Пал Туран: Теоремы из трудового лагеря

В июле 1944 года венгерский еврей, находившийся на принудительных работах, толкал вагонетки с кирпичами по рельсам на заводе недалеко от Будапешта. Там, где пути пересекались, вагонетки трясло, и работа становилась тяжелее. Большинство людей проклинали бы эти пересечения. Туран начал задаваться вопросом, каково минимально возможное количество пересечений для m печей и n складов — и тем самым поставил то, что сейчас называется «задачей Турана о кирпичном заводе», один из основополагающих вопросов теории чисел пересечений. Он был заключенным. Но в тот момент он занимался математикой.

Будапешт, Фейер и закрытая дверь

Туран родился 18 августа 1910 года в Будапеште, тогда входившем в состав Австро-Венгрии, в венгерской еврейской семье. Его талант проявился в средней школе. Он получил диплом преподавателя в Будапештском университете в 1933 году и докторскую степень в 1935 году в Университете Этвеша Лоранда под руководством Липота Фейера, центральной фигуры венгерского анализа.

В 1933 году он опубликовал две значимые статьи в журналах Американского и Лондонского математических обществ. Это никак не повлияло на его трудоустройство. Венгерские законы о numerus clausus, ограничивающие участие евреев в высшем образовании, годами не позволяли ему получить стабильную академическую работу, и должность, которую он в конце концов получил в 1938 году, была в раввинской школе в Будапеште. Вот математик, публикующийся на международном уровне в двадцать три года и преподающий в семинарии в двадцать восемь, потому что государство законодательно исключило его из университета.

Встреча с Эрдёшем

1 сентября 1930 года на математическом семинаре в Будапештском университете Туран познакомился с Полом Эрдёшем. Оба были известными решателями задач в журнале KöMaL еще будучи школьниками. Сотрудничество, начавшееся в тот день, длилось сорок шесть лет и принесло двадцать восемь совместных работ — одно из величайших устойчивых партнерств в математике XX века и источник многого из того, что мы знаем о характере Турана, потому что Эрдёш писал о нем подробно и не льстил.

Пять лет в лагерях

В сентябре 1940 года Туран был арестован из-за своего еврейского происхождения и отправлен в трудовые лагеря. Он провел пять лет в различных лагерях по всей Трансильвании и Венгрии.

Этот период должен был стать пустотой в его библиографии. Но этого не произошло. Офицер по имени Йожеф Винклер, сам имевший математическое образование, узнал имя Турана и организовал для него более легкие обязанности. Туран использовал предоставленную ему возможность. Находясь в заключении, он написал важную статью о дзета-функции Римана и поддерживал себя в форме, решая задачи в уме и обдумывая проблемы. Наблюдение о кирпичном заводе возникло в июле 1944 года; он серьезно занялся им только после 1952 года, но вопрос родился на рельсах.

Эрдёш сказал прямо: Туран «не пал духом даже в нацистских лагерях и проделал там блестящую работу». Он был освобожден в 1944 году и вернулся к преподаванию.

Экстремальная теория графов

Самое важное, что создал Туран, он создал, будучи в заключении. Эрдёш снова: «В 1940–1941 годах он создал область экстремальных задач в теории графов, которая сейчас является одной из самых быстрорастущих тем в комбинаторике».

Основополагающий результат, теорема Турана, дает верхнюю границу количества ребер, которые может иметь граф, не содержащий полного подграфа на r вершинах. Чтобы доказать это, он изобрел граф Турана, обобщение полных двудольных графов. Важность теоремы заключается не в конкретной границе, а в форме вопроса, который она установила: сколько структуры можно иметь, прежде чем возникнет какой-то паттерн? Этот вопрос, задаваемый с тех пор в тысячах контекстов, и есть то, что представляет собой экстремальная комбинаторика. Теорема Кёвари–Шоша–Турана расширила этот подход на двудольные графы с запрещенными подграфами.

Решето и сумма степеней

Теория чисел была его основной областью. Решето Турана, появившееся в 1934 году, дало упрощенное доказательство результата Харди и Рамануджана 1917 года о нормальном порядке количества различных простых делителей. Халас определил его истинное значение: «Его истинное значение заключается в том, что оно стало отправной точкой вероятностной теории чисел». Упрощение, которое основывает дисциплину, — это не упрощение. Неравенство Турана–Кубилиуса обобщило эту работу.

Он ввел термин «гонка простых чисел» для обозначения нерегулярностей в распределении простых чисел по классам вычетов, работая с Кнаповским над результатами, касающимися смещения Чебышева. Гипотеза Эрдёша–Турана касается простых чисел в арифметической прогрессии. И он разработал метод сумм степеней, технику для неравенств о суммах степеней нулей дзета-функции Римана, с приложениями, охватывающими комплексный анализ, численный анализ, дифференциальные уравнения, теорию трансцендентных чисел и оценку нулей в целом.

Относительно самой гипотезы Эрдёш записал, что Туран был ««неверующим», на самом деле «язычником»: он не верил в истинность гипотезы Римана». Его анализ привел к неравенствам Турана для полиномов Лежандра и, совместно с Эрдёшем, к неравенству равнораспределения Эрдёша–Турана.

Диагноз, который держали в секрете

Он стал доцентом Будапештского университета в 1945 году и профессором в 1949 году. Премия Кошута была получена в 1948 году и снова в 1952 году; он был избран членом-корреспондентом Венгерской академии наук в 1948 году и действительным членом в 1953 году. Он основал и возглавил Математическое общество имени Яноша Бойяи, входил в редакционные советы ведущих журналов, выступал на Международном конгрессе математиков в 1970 году и был приглашен в комитет премии Филдса в том же году. Премия Тибора Селе последовала в 1975 году.

В 1939 году он женился на Эдит Кобор, от которой у него был сын Роберт; в 1952 году он женился на математике Вере Шош, с которой публиковал совместные работы и имел двух сыновей, Дьёрдя и Тамаша.

Около 1970 года у него диагностировали лейкемию. Об этом знала только Вера. Она решила не говорить ему, полагая, что он «слишком любит жизнь» и впал бы в отчаяние. Она рассказала Эрдёшу только в 1976 году. Эрдёш позже сетовал на цену: не зная, что его время на исходе, Туран откладывал определенные работы «на потом» и так и не завершил их.

Почему Пала называют гением

Специфическая способность заключается в создании проблем на уровне целых дисциплин. Отдельные теоремы Турана сильны, но его отличительная черта в том, что три отдельные области ведут свое начало от него: экстремальная теория графов, создание которой Эрдёш прямо приписывает ему в 1940–41 годах; вероятностная теория чисел, которая, по словам Халаса, началась с его решета 1934 года; и теория чисел пересечений, которая началась с кирпичей. Основать одну область — это карьера. Основать три — это нечто другое — необычный инстинкт для вопроса, лежащего под вопросом, общей формой которого является частная трудность.

Обстоятельства заостряют утверждение, а не просто украшают его. Он создал экстремальную теорию графов в трудовом лагере, без библиотеки, без коллег и без бумаги, удерживая структуры в голове. Эрдёш, который не был сентиментален в отношении математических способностей и знал всех, кого стоило знать, сказал, что он проделал там блестящую работу.

Контраргумент слабее, чем обычно, но реален. Эрдёш был его ближайшим другом в течение сорока шести лет и его самым цитируемым оценщиком, что не является независимым источником. Метод сумм степеней Турана, при всем его охвате, не решил гипотезу Римана, в которую он не верил. Его награды — две премии Кошута, премия Селе, членство в академии — являются венгерскими национальными признаниями, а не высшими международными наградами дисциплины. И взрывной рост экстремальной теории графов во многом обязан тем, кто развивал ее после него. Он поставил вопрос; другие построили предмет.

Наследие

Туран умер от лейкемии в Будапеште 26 сентября 1976 года в возрасте шестидесяти шести лет, так и не узнав, что его убивает. Каждый курс комбинаторики теперь преподает его теорему, а вероятностная теория чисел ведет свое начало от решета, которое он разработал в двадцать четыре года. Задача о кирпичном заводе в целом остается открытой. Это подходящий памятник: вопрос, заданный заключенным, наблюдавшим за пересечением рельсов, на который дисциплина еще не закончила отвечать.