Йозеф Тайхман: геометр, который пришел на рынок

Его докторская диссертация 1999 года называлась «Теория бесконечномерных групп Ли с точки зрения функционального анализа» (The Theory of Infinite-Dimensional Lie Groups from the Point of View of Functional Analysis). В этом названии нет ничего, что указывало бы на человека, который в итоге будет включен в программу каждой серьезной конференции по количественным финансам в мире или пятнадцать лет спустя получит премию Луи Башелье (Louis Bachelier Prize) от Французской академии наук. Но кривая процентных ставок — это бесконечномерный объект, развивающийся во времени, и как только Йозеф Тайхман (Josef Teichmann) это заметил, расстояние между абстрактной геометрией и рынком облигаций стало поистине очень коротким.

Из Лиенца в Вену

Тайхман родился 27 августа 1972 года в Лиенце, в австрийском Тироле. Он изучал математику в Грацском университете, а затем перешел в Венский университет для работы над докторской диссертацией под руководством Петера В. Михора (Peter W. Michor), одного из ведущих деятелей в области бесконечномерной дифференциальной геометрии. Диссертация, завершенная в 1999 году, находилась в самом центре этого мира: группы Ли (Lie groups) бесконечной размерности, рассматриваемые через функциональный анализ, а не через конечномерные интуиции, которые обычно направляют этот предмет.

Затем он получил должность постдока в Венском техническом университете и в 2002 году получил там право на преподавание (хабилитацию) — это официальная лицензия в немецкоязычной академической системе для занятия профессорской кафедры, и в его случае это был момент, когда траектория его карьеры изменилась.

Бесконечные измерения, реальные деньги

Переход от чистой геометрии к математическим финансам выглядит как смена карьеры. На самом деле это было ближе к смене примеров.

Классическое ценообразование опционов рассматривает цену одного актива как случайный процесс и задается вопросом, чего стоит производный инструмент на него. С процентными ставками сложнее, потому что движется не число, а кривая: вся временная структура доходности по всем срокам погашения от овернайт до тридцати лет, колеблющаяся как единая взаимосвязанная форма. Фреймворк Хита-Джарроу-Мортона (Heath–Jarrow–Morton), над которым Тайхман много работал, моделирует всю эту кривую как случайный процесс в функциональном пространстве. Переменная состояния живет в бесконечно многих измерениях. Это означает, что вопросы, которые задает геометр — какова форма пространства, какие подмногообразия сохраняются динамикой, когда поток остается внутри конечномерного семейства — это в точности те вопросы, которые ставит финансовая проблема.

Это повторяющийся паттерн его карьеры: привнести необычайно сильный геометрический инструментарий в область, которая в основном рассматривалась с помощью вероятностей и вычислений, и найти структуру, которую другие люди не могли увидеть, потому что у них не было инструментов для ее поиска.

Грубые пути, исчисление Маллявена, кубатурные формулы

Его работа в стохастическом анализе охватывает самые технические механизмы этой области. Исчисление Маллявена (Malliavin calculus) — дифференциальное исчисление в пространстве случайных путей — предоставляет результаты о чувствительности и гладкости, которые иначе были бы недоступны. Теория грубых путей (Rough path theory) и изучение стохастических дифференциальных уравнений в частных производных решают проблему того, что вообще означает решение уравнения, управляемого шумом, слишком нерегулярным для классического интегрирования. Аффинные процессы (Affine processes) предоставляют класс моделей, лежащий в основе большей части моделирования процентных ставок и волатильности.

Наряду с теорией существует постоянная забота о вычислениях. Кубатурные формулы (Cubature formulas) и численные схемы для стохастических дифференциальных уравнений не выглядят эффектно, но именно так модель превращается в цену. Готовность Тайхмана работать на обоих концах — геометрия бесконечномерных пространств с одной стороны и численные схемы с другой — необычна и является одной из главных причин, почему его читают практики.

Сигнатуры и рандомизация

Самый недавний поворот — в сторону машинного обучения, и здесь точка входа также структурная, а не дань моде. Сигнатура пути (Signature) — это бесконечная последовательность итерированных интегралов, которая кодирует форму пути, — канонический набор признаков, возникающий из теории грубых путей, а не из догадок инженеров. Выступления Тайхмана о теории сигнатур и математических финансах преследуют цель: если сигнатуры дают принципиальное описание траектории, то они дают принципиальный вход для алгоритма обучения, работающего с финансовыми временными рядами.

Параллельная линия касается рандомизации и резервуарных вычислений (Reservoir computing), подхода, при котором генерируются большие случайные системы и обучается только простой считывающий слой. Его привлекательность для математика заключается в том, что его поведение поддается анализу, в отличие от глубоких сетей. Другие недавние работы касаются эргодической робастной максимизации асимптотического роста — вопроса о том, как наращивать капитал в долгосрочной перспективе, когда сама модель неопределенна.

Цюрих

Он присоединился к ETH Zürich в июне 2009 года в качестве профессора на кафедре математики, работая в группе стохастических финансов — кафедре, которая сделала больше, чем любая другая в континентальной Европе, для определения современных математических финансов. С августа 2023 года он возглавляет кафедру. Он читает лекции и выступает по всему миру, от коллоквиумов Башелье (Bachelier Colloquiums) и встреч SIAM по финансовой математике до Международных конгрессов по промышленной и прикладной математике.

Признание пришло рано и с нескольких сторон: премия Австрийского математического общества в 2005 году, премия START от Австрийского научного фонда в 2006 году — самая престижная награда Австрии для молодых исследователей — и премия Луи Башелье от Французской академии наук в 2014 году.

Почему Йозефа называют гением

Передо мной нет ни одного источника, который применял бы к нему это слово, и было бы нечестно выдумывать его. Записи подтверждают специфический и необычный когнитивный профиль: необычайный диапазон, используемый в качестве механизма переноса. Большинство математиков, переходящих в финансы, приносят с собой теорию вероятностей. Тайхман принес бесконечномерную дифференциальную геометрию, предмет, не имеющий очевидной связи с рынками, пока вы не заметите, что кривая доходности — это точка в функциональном пространстве, а ее эволюция — это поток. Сделать это один раз — хорошая идея. Делать это неоднократно — в грубых путях, в аффинных процессах, в методах сигнатур для машинного обучения — предполагает ум, который привычно спрашивает, какова геометрия задачи, прежде чем спрашивать, как ее вычислить.

Второе качество — отказ от специализации в сторону упрощения. Для математика нормально становиться все более абстрактным или все более прикладным. Тайхман удерживает обе стороны, публикуя работы как о структуре бесконечномерных пространств, так и о кубатурных схемах, которые внедряются в практику, и премия Башелье — это как раз признание, присуждаемое за это сочетание.

Честный контраргумент: он действующий исследователь-математик высокого класса, а не фигура, чье имя прикреплено к теореме, перестроившей область. Его премии носят национальный и дисциплинарный характер, а не уровень Филдсовской медали или Абелевской премии. Большая часть его самых цитируемых работ является совместной, что обычно для математических финансов. А работа по машинному обучению настолько свежая, что ее долговечность не установлена — методы сигнатур могут стать стандартным оборудованием или сноской, и пока рано говорить, что именно. Он принадлежит к числу сильнейших и самых разносторонних математиков в своей области, что является настоящим достижением и чем-то отличным от гениальности.

Наследие

То, что Тайхман построил в Цюрихе, — это мост с движением в обе стороны: геометрия и стохастический анализ подпитывают проблемы ценообразования и хеджирования, с которыми банки действительно сталкиваются, а трудноразрешимость этих проблем в ответ порождает новую чистую математику. Возглавив математический факультет ETH с 2023 года, он отвечает за одно из учреждений, которое решает, как будет выглядеть следующее поколение этой работы. Диссертация о бесконечномерных группах Ли оказалась не столько отправной точкой, сколько набором инструментов, которые он с тех пор постоянно распаковывает во все более неожиданных местах.