Янош Галамбош: математика худшего сценария

Большая часть статистики имеет дело с серединой — средними значениями, типичными величинами, тем, что происходит обычно. Янош Галамбош (Janos Galambos) посвятил свою карьеру противоположному полюсу: крупнейшему за столетие наводнению, самой большой выплате по иску в портфеле, единственному худшему наблюдению в выборке. В 1978 году он опубликовал книгу, систематизировавшую эту тему, и инженеры, никогда не слыходившие о нем, до сих пор строят на основе ее выводов.

Цирк

Галамбош родился 1 сентября 1940 года в Цирке (Zirc), небольшом городке в холмах Баконь на западе Венгрии, известном своим цистерцианским аббатством. Он поступил в Университет Лоранда Этвеша в Будапеште в 1958 году и получил там докторскую степень в 1963 году в возрасте двадцати трех лет.

Его научным руководителем был Альфред Реньи (Alfréd Rényi). Это важнейший факт, определивший его становление. Реньи был доминирующей фигурой в венгерской теории вероятностей, соавтором Эрдёша (Paul Erdős) по модели случайных графов, носящей их имена, и основателем школы, отличительной чертой которой был бесстрашный комбинаторный стиль — вероятность использовалась как инструмент для решения проблем в других областях, особенно в теории чисел. Галамбош усвоил этот метод и никогда не расставался с ним.

Будапешт, Легон, Ибадан, Филадельфия

В 1964–1965 годах он оставался в Университете Лоранда Этвеша в качестве доцента. Затем он уехал, и этот маршрут стоит прочитать внимательно.

С 1965 по 1969 год он читал лекции в Университете Ганы в Легоне. С 1969 по 1970 год он преподавал в Университете Ибадана в Нигерии. Лишь в 1970 году он прибыл в Темплский университет в Филадельфии, где оставался на преподавательской работе до выхода на пенсию в 2012 году — сорок два года.

Пять лет преподавания математики в Западной Африке в период сразу после обретения независимости — нетипичная строчка в резюме специалиста по теории вероятностей. Это была эпоха, когда новые университеты Ганы и Нигерии быстро набирали преподавателей, и молодой венгр со степенью доктора наук от Реньи был именно тем человеком, в котором они нуждались. Как бы то ни было, это явно не был карьерный шаг для оптимизации резюме.

Экстремальные значения

Работа, благодаря которой его помнят, касается экстремальных порядковых статистик — математики максимумов и минимумов.

Центральный вопрос обманчиво прост. Возьмите большую выборку из некоторого распределения и запишите только наибольшее значение. По мере роста выборки как выглядит распределение этого максимума? Ответ, примечательно, заключается в том, что оно сходится к одному из очень небольшого семейства предельных распределений практически независимо от того, с чего вы начали. Этот результат по своему характеру столь же удивителен, как и центральная предельнная теорема, и гораздо более полезен, когда вы боитесь не среднего значения, а выброса.

Книга «Асимптотическая теория экстремальных порядковых статистик» (The Asymptotic Theory of Extreme Order Statistics), опубликованная издательством Wiley в 1978 году, придала этой теории систематическое современное изложение. В 1984 году она была переведена на русский язык, а в 2001 году вышло ее китайское издание — грубый, но надежный показатель того, как далеко разошелся математический труд. Галамбос вошел в историю как человек, значительно повлиявший на подход математического сообщества к этой теме и расширивший ее в направлениях, имеющих непосредственное практическое применение, включая непараметрические критерии для распределений экстремальных значений.

Совместно с Х. А. Дэвидом (H. A. David) он написал эпохальную статью 1974 года о сопутствующих величинах порядковых статистик — о том, что происходит со вторым, коррелированным измерением, когда вы делаете отбор по первому. Любой, кто хоть раз задавался вопросом, почему самый высокий человек в комнате не обязательно является самым тяжелым, задает вопрос из этой серии.

Вероятность как лом

Наследие Реньи наиболее ярко проявляется в другом направлении работ Галамбоса: использовании вероятности для решения проблем, которые вовсе не связаны со случайностью.

Книга «Представления действительных чисел бесконечными рядами» (Representations of Real Numbers by Infinite Series (Springer, 1976)) рассматривает цифры разложения числа так, будто они являются случайными величинами, и ставит вопрос о том, как выглядят почти все числа. Он занимался арифметическими и мультипликативными функциями с помощью вероятностных методов — вероятностной теорией чисел, областью, в создании которой помогали Реньи и Туран (Pál Turán). Он разработал неравенства типа решета для графов, которые одновременно работают в теории вероятностей и теории чисел, а также долгосрочную программу по неравенствам типа Бонферрони (Bonferroni-type inequalities), ограничивающим вероятность объединения событий, когда известна лишь частичная информация об их пересечениях.

Эта программа принесла плоды в виде книги «Неравенства типа Бонферрони с приложениями» (Bonferroni-Type Inequalities with Applications, 1996), написанной в соавторстве с Итало Симонелли (Italo Simonelli), а позже — книги «Произведения случайных величин» (Products of Random Variables, 2004) с тем же соавтором. Кроме того, в соавторстве с Самуэлем Коцем (Samuel Kotz) он написал «Характеристики вероятностных распределений» (Characterizations of Probability Distributions, 1978), а также создал учебники «Введение в теорию вероятностей» (Introductory Probability Theory, 1984) и «Углубленная теория вероятностей» (Advanced Probability Theory, 1995). В общей сложности он написал более 130 научных статей и восемь книг.

Почему Яноша называют гением

Конкретное качество, заслуживающее упоминания, — это объединение: способность видеть, что внешне несвязанные проблемы имеют общий костяк. Неравенства Бонферрони, результаты метода решета, работы по цифрам действительных чисел и теория экстремальных значений Галамбоса опираются на один и тот же глубинный инстинкт: вопросы о редких конфигурациях и вопросы о структуре чисел — это одни и те же вопросы в разной одежде. Этот инстинкт поддается обучению лишь до определенного предела, и у него он проявился рано; докторская степень под руководством Реньи в двадцать три года дорогого стоит.

Это признание подкрепляет сильную репутацию, но не требует громких слов. В 1993 году он был избран иностранным членом Венгерской академии наук — родина приняла его обратно спустя два десятилетия за рубежом, в 2001 году — членом-корреспондентом Королевской инженерной академии Испании, а также членом Международного статистического института и феллоу Института математической статистики.

Но контраргументы вполне трезвы. В каноне нет теоремы Галамбоса. Его великая книга систематизировала теорию, в основном построенную Фишером (Ronald Fisher), Типпеттом (L. H. C. Tippett), Гнеденко (Boris Gnedenko) и другими, а не создала ее с нуля; он был лучшим организатором и популяризатором этой области, что является более скромным достижением, чем статус ее первооткрывателя. Избрание в академии произошло в его пятьдесят и шестьдесят лет, как признание накопленного вклада, а не единовременного прорыва. И когда он умер, коллеги вспоминали о нем вовсе не из-за гениальности: его помнят как «вдохновляющего преподавателя и наставника». Именно это предпочли зафиксировать люди, знавшие его, и это определение должно оставаться неизменным.

Наследие

Галамбос скончался 19 декабря 2019 года в возрасте семидесяти девяти лет. У него осталась жена Ева (Éva).

Его предмет становится все более актуальным. Теория экстремальных значений сегодня служит математической основой для проектирования защиты от наводнений, ценообразования в перестраховании катастроф, строительных норм безопасности и моделирования финансовых рисков — словом, во всех сферах, где необходимо принимать решения о событиях, которые еще не произошли и могут случиться лишь единожды. Изменение климата превратило проблему оценки беспрецедентных максимумов в одну из определяющих технических задач столетия.

Человек из Цирка, преподававший в Легоне и Ибадане перед тем, как обосноваться в Филадельфии, написал об этом книгу. Большинство пользующихся ею людей никогда не узнают его имя, что примерно и происходит с работающей математикой.