Израиль Гельфанд: Человек, прокладывавший дороги в математике

Он никогда не заканчивал среднюю школу и не посещал ни одного университетского курса. В шестнадцать лет он работал сторожем в Ленинской библиотеке в Москве, преподавал вечерние курсы элементарной арифметики, чтобы прокормить себя, и пробирался на университетские лекции, когда мог. В девятнадцать лет Московский государственный университет принял его прямо в аспирантуру по рекомендации Колмогорова. Владимир Арнольд позже выразил разницу между двумя людьми так: Колмогоров взойдет на самую высокую гору, а Гельфанд начнет строить дороги.

Ни школы, ни диплома, но все равно Москва

Израиль Моисеевич Гельфанд родился 2 сентября 1913 года в Окнах, тогда в Российской империи, а ныне в Украине, недалеко от Одессы. В 1930 году, в шестнадцать лет, он уехал в Москву, не имея законченного среднего образования. За этим последовали два года импровизированного выживания и самообразования: случайные заработки, работа у дверей библиотеки и череда преподавательских должностей в московских вечерних институтах, которые провели его от элементарной математики до продвинутых курсов, пока он сам изучал материал.

Он посещал лекции в Московском университете как вольнослушатель — его первым курсом был комплексный анализ у Лаврентьева. В 1932 году Колмогоров взял его в аспирантуру, погрузив в школу функционального анализа, в которой также были А. Э. Плесснер и Л. А. Люстерник. Три года спустя, в двадцать два года, он защитил диссертацию по абстрактным функциям и линейным операторам.

Трюк с максимальными идеалами

Диссертация 1935 года уже демонстрировала подход, который определит его. Столкнувшись с функциями, живущими в абстрактном нормированном пространстве, где не работают обычные инструменты исчисления, тактика Гельфанда заключалась в применении к ним линейных функционалов, превращая трудноразрешимый объект в обычную функцию действительной или комплексной переменной — а затем применить к этому всю мощь классического анализа.

Его докторская диссертация 1938 года о коммутативных нормированных кольцах превратила это в общий метод. Идеей, которая его несла, был максимальный идеал. Алгебра функций и топологическое пространство до тех пор казались разными типами объектов. Гельфанд показал, что точки пространства можно восстановить только из алгебры, как ее максимальные идеалы — это означает, что абстрактная алгебра тайно является алгеброй функций на пространстве, которое можно реконструировать изнутри. Коллеги отдали ему должное: именно Гельфанд выявил фундаментальную концепцию максимального идеала и тем самым объединил набор ранее разрозненных фактов в одну структуру.

Эта конструкция теперь называется представлением Гельфанда, а объекты — банаховыми алгебрами. Самый впечатляющий результат пришел в начале 1940-х годов с Марком Наймарком, когда они вдвоем занялись некоммутативными нормированными кольцами с инволюцией и показали, что их тоже всегда можно конкретно представить как алгебры линейных операторов в гильбертовом пространстве. Теорема Гельфанда-Наймарка — один из несущих результатов анализа XX века, и именно поэтому алгебраическая формулировка квантовой механики вообще работает: абстрактная алгебра наблюдаемых всегда может быть реализована как операторы.

Карьера сразу в нескольких математиках

Гельфанд работал в Академии наук СССР с 1935 по 1941 год, а затем стал профессором Московского государственного университета. То, что он делал потом, трудно суммировать, потому что это не ограничивалось одной областью.

Он взял теорию представлений — работы Фробениуса и Шура о конечных группах, Вейля о компактных — и расширил ее на некомпактные группы, где аппарат гораздо сложнее и где живет физика. Он работал над обратной задачей Штурма-Лиувилля в дифференциальных уравнениях: не «дана система, как она вибрирует?», а наоборот, «дано, как она вибрирует, что это за система?». С Георгием Шиловым он построил теорию обобщенных функций, следуя Соболеву и Шварцу, благодаря чему физики могут использовать такие объекты, как дельта-функция Дирака, без краха математики.

И он развил интегральную геометрию, включая работу над преобразованием Радона — математикой реконструкции объекта по семейству его сечений или проекций. Оказалось, что это теория, лежащая в основе медицинской визуализации: КТ и МРТ создают трехмерные изображения живого тела, решая именно эту задачу. Между 1968 и 1972 годами он добавил корпус работ по когомологиям бесконечномерных алгебр Ли. За свою жизнь он опубликовал более пятисот статей.

Семинар

Московский семинар был институтом сам по себе, проводился еженедельно в Московском государственном университете и запомнился всем, кто его пережил. Он был ближе к импровизации, чем к лекционной программе — участники часто не знали темы, пока она не начиналась. Характерным вкладом Гельфанда было переосмысление: формулировка новых задач, неожиданный вопрос, склонность смотреть даже на хорошо известные вещи под углом, который никто не пробовал. Он также создал заочную школу, которая несла серьезную математику студентам по всему Советскому Союзу, у которых не было доступа к исследовательскому центру.

Он был непростым человеком в общении. Оценка Андрея Зелевинского была прямолинейной: он не был самым деликатным и вежливым человеком в мире. Александр Гончаров, который находил его непредсказуемым, все же называл его самым интересным человеком, которого он когда-либо встречал.

Биология и причина этого

С 1958 года Гельфанд переключил значительную часть своего внимания на биологию и медицину, став соучредителем Института биофизики с Фоминым в 1960 году. Повод был личным: у его сына развилась лейкемия, и Гельфанд начал биологический семинар. Работа, которая из этого вышла, была характерно структурной, а не описательной — общие принципы того, как организован контроль в сложных многоклеточных системах, с приложениями, доходящими до рентгеновского анализа и распознавания образов.

Почему Израиля называют гением

Это слово здесь оправдано по конкретной причине: дар Гельфанда заключался в поиске уровня абстракции, на котором две несвязанные вещи становятся одним и тем же. Прозрение о максимальном идеале — самый чистый пример: алгебраический объект и геометрическое пространство оказываются двумя взглядами на одну структуру, и как только вы это видите, целая литература разрозненных результатов схлопывается в одну теорему. Он делал это неоднократно, в анализе, теории представлений, дифференциальных уравнениях, интегральной геометрии и теории Ли, а затем перешагнул границу в биологию.

Различие Арнольда между горой и дорогами — самое острое, что кто-либо сказал о нем, и это не совсем лестно. Гельфанд не был в первую очередь решателем знаменитых стоячих задач. Он был строителем инфраструктуры — он делал территорию проходимой для других людей. Его влияние сильно проходило через семинар и через студентов, что означает, что большая часть работы, несущей его отпечаток, строго говоря, не является его. То, что он никогда не получал Филдсовскую премию за карьеру такого масштаба, стоит отметить честно.

Против этого: самообразование — это не романтическая сноска, а доказательство. Мальчик без среднего образования достиг без присмотра точки, где Колмогоров принял его в аспирантуру, и к двадцати пяти годам создал структурную идею, которая реорганизовала функциональный анализ. Какова бы ни была эта способность, очень немногие люди ею обладают.

Наследие

Награды приходили постоянно и со всех сторон: президент Московского математического общества с 1968 по 1970 год, орден Ленина, член Королевского общества в 1977 году, премия Вольфа в 1978 году, премия Киото в 1989 году, стипендия Макартура в 1994 году и премия Лероя П. Стила в 2005 году за глубокое влияние на многие области исследований. Он преподавал в Гарварде в 1989-90 годах, эмигрировал в США в 1990 году и стал почетным приглашенным профессором в Ратгерсе, где основал программу Гельфанда для старшеклассников — тот же инстинкт, что и у советской заочной школы, только пересаженный.

Он скончался 5 октября 2009 года в университетской больнице Роберта Вуда Джонсона в Нью-Брансуике, штат Нью-Джерси, в возрасте девяноста шести лет, оставив жену Татьяну, сыновей Сергея и Владимира, дочь Татьяну, четырех внуков и трех правнуков. Любой, кто был внутри МРТ-сканера, прошел через его математику.