Эварист Галуа

Эварист Галуа

Эварист Галуа (/ɡælˈwɑː/; французский: [evaʁist ɡalwa]; 25 октября 1811 – 31 мая 1832) был французским математиком и политическим активистом. Еще будучи подростком, он смог определить необходимое и достаточное условие разрешимости многочлена в радикалах, решив тем самым проблему, остававшуюся нерешенной в течение 350 лет. Его работы заложили основы теории Галуа и теории групп, двух основных разделов абстрактной алгебры.

Галуа был убежденным республиканцем и принимал активное участие в политических потрясениях, сопровождавших Июльскую революцию 1830 года. Из-за своей политической деятельности он неоднократно подвергался арестам, отсидев один тюремный срок продолжительностью в несколько месяцев. По невыясненным до сих пор причинам вскоре после освобождения из тюрьмы Галуа принял участие в дуэли, где получил смертельное ранение.

Жизнь

### Ранние годы

Галуа родился 25 октября 1811 года в семье Николя-Габриэля Галуа и Аделаиды-Мари (урожденной Демант). Его отец был республиканцем и возглавлял либеральную партию в Бур-ла-Рен. После возвращения Людовика XVIII на трон в 1814 году отец стал мэром деревни. Мать, дочь юриста, свободно владела латынью и классической литературой; именно она занималась образованием сына в первые двенадцать лет его жизни.

В октябре 1823 года он поступил в лицей Людовика Великого, где учитель Луи Поль Эмиль Ришар разглядел его гениальность. В возрасте 14 лет он начал всерьез интересоваться математикой.

Галуа нашел экземпляр «Элементов геометрии» Адриена-Мари Лежандра, которую, как говорят, прочел «как роман» и освоил с первого прочтения. В 15 лет он читал оригинальные статьи Жозефа-Луи Лагранжа, такие как «Размышления об алгебраическом решении уравнений», что, вероятно, послужило толчком к его дальнейшим работам по теории уравнений, а также «Уроки по исчислению функций», предназначенные для профессиональных математиков. Однако его успеваемость в классе оставалась низкой, а учителя обвиняли его в том, что он строит из себя гения.

### Становление математика

В 1828 году Галуа попытался сдать вступительный экзамен в Политехническую школу, самое престижное математическое учебное заведение Франции того времени, но, не имея обычной математической подготовки, провалился из-за недостаточных объяснений на устном экзамене. В том же году он поступил в Высшую нормальную школу (тогда известную как подготовительная школа), гораздо менее престижное учебное заведение, где нашел некоторых сочувствующих ему преподавателей.

В следующем году была опубликована первая работа Галуа о простых цепных дробях. Примерно в то же время он начал совершать фундаментальные открытия в теории полиномиальных уравнений. Он представил две статьи по этой теме в Академию наук. Огюстен-Луи Коши был рецензентом этих работ, но отказался принять их к публикации по причинам, которые до сих пор остаются неясными. Тем не менее, вопреки многочисленным утверждениям об обратном, широко распространено мнение, что Коши признал важность работы Галуа и лишь предложил объединить две статьи в одну, чтобы представить её на конкурс Большой премии Академии наук по математике. Коши, видный математик того времени, хотя и с политическими взглядами, диаметрально противоположными взглядам Галуа, считал, что работа Галуа может победить.

28 июля 1829 года отец Галуа покончил жизнь самоубийством после ожесточенного политического спора с деревенским священником. Через пару дней Галуа предпринял свою вторую и последнюю попытку поступить в Политех и снова провалился. Бесспорно, что Галуа был более чем квалифицирован; мнения расходятся относительно того, почему он провалился. Более правдоподобные версии гласят, что Галуа делал слишком много логических скачков и озадачил некомпетентного экзаменатора, что привело Галуа в ярость. Недавняя смерть отца также могла повлиять на его поведение.

Получив отказ в приеме в Политехническую школу, Галуа сдал экзамены на бакалавра, чтобы поступить в Нормальную школу. Он успешно справился, получив степень 29 декабря 1829 года. Его экзаменатор по математике доложил: «Этот ученик иногда неясно выражает свои мысли, но он умен и проявляет замечательный исследовательский дух».

Галуа несколько раз представлял свои мемуары по теории уравнений, но они так и не были опубликованы при его жизни. Хотя его первая попытка была отклонена Коши, в феврале 1830 года по совету Коши он представил их секретарю академии Жозефу Фурье, чтобы их рассмотрели на соискание Гран-при академии. К несчастью, вскоре после этого Фурье скончался, и рукопись затерялась. Премия в том году была присуждена посмертно Нильсу Хенрику Абелю, а также Карлу Густаву Якобу Якоби. Несмотря на потерю рукописи, Галуа опубликовал в том году три статьи. Одна из них заложила основы теории Галуа. Вторая была посвящена численному решению уравнений (поиск корней в современной терминологии). Третья была важной статьей по теории чисел, в которой впервые была сформулирована концепция конечного поля.

### Политический бунтарь

Галуа жил во время политических потрясений во Франции. Карл X сменил Людовика XVIII в 1824 году, но в 1827 году его фракция потерпела серьезное поражение на выборах, и к 1830 году оппозиционная либеральная партия стала большинством. Карл, столкнувшись с политической оппозицией со стороны палат, совершил государственный переворот и издал свои печально известные Июльские ордонансы, что спровоцировало Июльскую революцию, закончившуюся приходом к власти Луи-Филиппа I. В то время как их коллеги из Политеха творили историю на улицах, Галуа в Нормальной школе был заперт директором заведения. Галуа был взбешен и написал разгромное письмо с критикой директора, которое он представил в газету «Gazette des Écoles», подписавшись своим полным именем. Хотя редактор газеты опустил подпись при публикации, Галуа был исключен.

Хотя его исключение официально вступило в силу 4 января 1831 года, Галуа немедленно бросил учебу и вступил в яростно республиканское артиллерийское подразделение Национальной гвардии. Он делил свое время между математическими исследованиями и политической деятельностью. Из-за противоречий вокруг подразделения вскоре после того, как Галуа стал его членом, 31 декабря 1830 года артиллерия Национальной гвардии была распущена из опасений, что они могут дестабилизировать правительство. Примерно в то же время девятнадцать офицеров бывшего подразделения Галуа были арестованы и обвинены в заговоре с целью свержения правительства.

В апреле 1831 года офицеры были оправданы по всем пунктам обвинения, и 9 мая 1831 года в их честь был устроен банкет, на котором присутствовали многие прославленные люди, такие как Александр Дюма. Мероприятие переросло в беспорядки. В какой-то момент Галуа встал и предложил тост, во время которого он сказал: «За Луи-Филиппа», держа кинжал над кубком. Республиканцы на банкете восприняли тост Галуа как угрозу жизни короля и зааплодировали. На следующий день его арестовали в доме матери и держали в тюрьме Сент-Пелажи до 15 июня 1831 года, когда состоялся суд. Адвокат Галуа ловко заявил, что на самом деле Галуа сказал: «За Луи-Филиппа, если он предаст», но уточнение утонуло в аплодисментах. Обвинитель задал еще несколько вопросов, и, возможно, под влиянием молодости Галуа, присяжные оправдали его в тот же день.

В следующий День взятия Бастилии (14 июля 1831 года) Галуа возглавил протест, будучи в форме расформированной артиллерии, и был сильно вооружен несколькими пистолетами, заряженным ружьем и кинжалом. Его снова арестовали. Во время пребывания в тюрьме Галуа однажды впервые выпил алкоголь по подстрекательству сокамерников. Один из этих сокамерников, Франсуа-Венсан Распай, записал то, что сказал пьяный Галуа, в письме от 25 июля. Выдержка из письма:

> И я говорю вам, я умру на дуэли из-за какой-нибудь coquette de bas étage (девицы легкого поведения). Почему? Потому что она пригласит меня отомстить за свою честь, которую скомпрометировал другой.

Знаешь ли ты, чего мне не хватает, мой друг? Я могу доверить это только тебе: это кто-то, кого я мог бы любить и любить только душой. Я потерял отца, и никто никогда не заменил его, слышишь ли ты меня...?

Распай продолжает, что Галуа, находясь в бреду, пытался покончить с собой, и что он преуспел бы, если бы сокамерники насильно не остановили его. Месяцы спустя, когда 23 октября состоялся суд над Галуа, его приговорили к шести месяцам тюрьмы за незаконное ношение формы. Находясь в тюрьме, он продолжал развивать свои математические идеи. Он был освобожден 29 апреля 1832 года.

### Последние дни

Галуа вернулся к математике после исключения из Нормальной школы, хотя продолжал уделять время политической деятельности. После того как его исключение стало официальным в январе 1831 года, он попытался организовать частный курс по высшей алгебре, который вызвал некоторый интерес, но он угас, так как казалось, что его политическая активность была в приоритете. Симеон Дени Пуассон попросил его представить свою работу по теории уравнений, что он и сделал 17 января 1831 года. Около 4 июля 1831 года Пуассон объявил работу Галуа «непонятной», заявив, что «аргументы [Галуа] недостаточно ясны и недостаточно развиты, чтобы позволить нам судить об их строгости»; однако отчет об отказе заканчивался обнадеживающим примечанием: «Мы бы предложили автору опубликовать всю свою работу целиком, чтобы сформировать окончательное мнение». Хотя отчет Пуассона был сделан до ареста Галуа 14 июля, до Галуа в тюрьме он дошел только в октябре. Неудивительно, учитывая его характер и ситуацию в то время, что Галуа бурно отреагировал на письмо с отказом и решил отказаться от публикации своих работ через академию, а вместо этого опубликовать их частным образом через своего друга Огюста Шевалье. Однако, по-видимому, Галуа не проигнорировал совет Пуассона, так как начал собирать все свои математические рукописи, еще находясь в тюрьме, и продолжал оттачивать свои идеи до самого освобождения 29 апреля 1832 года, после чего его каким-то образом уговорили на дуэль.

Фатальная дуэль Галуа состоялась 30 мая. Истинные мотивы дуэли остаются неясными. Существует много спекуляций на этот счет. Известно лишь то, что за пять дней до смерти он написал письмо Шевалье, в котором ясно намекал на несчастную любовь.

Некоторые архивные исследования оригинальных писем позволяют предположить, что женщиной, вызвавшей романтический интерес, была Стефани-Фелиси Потрен дю Мотель, дочь врача в пансионе, где Галуа жил в последние месяцы своей жизни. Фрагменты писем от нее, скопированные самим Галуа (со многими частями, такими как ее имя, либо затертыми, либо намеренно опущенными), доступны. Письма намекают, что Потрен дю Мотель доверила Галуа некоторые из своих проблем, и это могло побудить его самого спровоцировать дуэль от ее имени. Это предположение также подтверждается другими письмами, которые Галуа позже написал своим друзьям в ночь перед смертью. Кузен Галуа, Габриэль Демант, когда его спросили, знает ли он причину дуэли, упомянул, что Галуа «оказался в присутствии предполагаемого дяди и предполагаемого жениха, каждый из которых спровоцировал дуэль». Сам Галуа воскликнул: «Я жертва позорной кокетки и двух ее обманутых».

Что касается его противника на дуэли, Александр Дюма называет Пешо д'Эрбенвиля, который на самом деле был одним из девятнадцати артиллерийских офицеров, чей оправдательный приговор праздновали на банкете, приведшем к первому аресту Галуа. Однако Дюма одинок в этом утверждении, и если он был прав, непонятно, почему д'Эрбенвиль был бы вовлечен. Высказывалось предположение, что он был «предполагаемым женихом» Потрен дю Мотель в то время (она в итоге вышла замуж за другого), но четких доказательств в поддержку этой версии не найдено. С другой стороны, сохранившиеся газетные вырезки всего через несколько дней после дуэли дают описание его противника (обозначенного инициалами «L.D.»), которое, по-видимому, более точно применимо к одному из друзей-республиканцев Галуа, скорее всего, Эрнесту Дюшателе, который был заключен в тюрьму вместе с Галуа по тем же обвинениям. Учитывая имеющуюся противоречивую информацию, истинная личность его убийцы вполне может быть навсегда утеряна для истории.

Каковы бы ни были причины дуэли, Галуа был настолько убежден в своей неминуемой смерти, что всю ночь писал письма своим друзьям-республиканцам и составлял то, что станет его математическим завещанием, — знаменитое письмо Огюсту Шевалье с изложением его идей и три приложенные рукописи. Математик Герман Вейль сказал об этом завещании: «Это письмо, если судить по новизне и глубине содержащихся в нем идей, является, возможно, самой существенной частью писаний во всей литературе человечества». Однако легенда о том, что Галуа изливал свои математические мысли на бумагу в ночь перед смертью, кажется, преувеличена. В этих последних бумагах он набросал черновые варианты некоторых работ, которые он делал в области анализа, и аннотировал копию рукописи, представленной в академию, и другие статьи.

Рано утром 30 мая 1832 года он был ранен в живот, брошен своими противниками и собственными секундантами, и его нашел проезжавший мимо фермер. Он скончался на следующее утро в десять часов в больнице Кошен (вероятно, от перитонита), отказавшись от услуг священника. Его похороны закончились беспорядками. Были планы поднять восстание во время его похорон, но в то же время лидеры узнали о смерти генерала Жана Максимилиана Ламарка, и восстание было отложено без каких-либо выступлений до 5 июня. Только младший брат Галуа был уведомлен о событиях до смерти Галуа. Галуа было 20 лет. Его последние слова младшему брату Альфреду были:

> «Ne pleure pas, Alfred ! J'ai besoin de tout mon courage pour mourir à vingt ans !» (Не плачь, Альфред! Мне нужно все мое мужество, чтобы умереть в двадцать лет!)

2 июня Эварист Галуа был похоронен в общей могиле на кладбище Монпарнас, точное местоположение которой неизвестно. На кладбище его родного города — Бур-ла-Рен — рядом с могилами родственников был установлен кенотаф в его честь.

В 1842 году Жозеф Лиувилль начал изучать неопубликованные работы Галуа и признал их ценность в 1843 году. Неясно, что произошло за десять лет с 1832 по 1842 год, и что в конечном итоге вдохновило Лиувилля начать читать работы Галуа. Йеспер Лютцен подробно исследует эту тему в главе XIV «Теория Галуа» своей книги о Жозефе Лиувилле, не приходя к окончательным выводам.

Безусловно возможно, что математики (включая Лиувилля) не хотели рекламировать работы Галуа, потому что Галуа был республиканским политическим активистом, который умер за 5 дней до Июньского восстания — неудачного антимонархического мятежа парижских республиканцев. В некрологе Галуа его друг Огюст Шевалье почти обвинил академиков Политехнической школы в том, что они убили Галуа, поскольку, если бы они не отвергли его работу, он стал бы математиком и не посвятил бы себя республиканской политической деятельности, из-за которой, как некоторые полагали, он был убит. Учитывая, что Франция все еще жила в тени Эпохи террора и наполеоновской эпохи, Лиувилль мог ждать, пока утихнут политические потрясения (после неудачного Июньского восстания и его последствий), прежде чем обратить внимание на работы Галуа.

Лиувилль наконец опубликовал рукописи Галуа в выпуске Journal de Mathématiques Pures et Appliquées за октябрь–ноябрь 1846 года. Самым известным вкладом Галуа стало доказательство того, что не существует формулы для решения уравнений пятой степени, — то есть, что уравнения пятой и более высокой степени, как правило, неразрешимы в радикалах. Хотя Нильс Хенрик Абель уже доказал невозможность «формулы для уравнений пятой степени» в радикалах в 1824 году, а Паоло Руффини опубликовал решение в 1799 году, которое оказалось ошибочным, методы Галуа привели к более глубоким исследованиям того, что сейчас называется теорией Галуа, которая может быть использована для определения того, имеет ли любое полиномиальное уравнение решение в радикалах.

Вклад в математику

Из заключительных строк письма Галуа своему другу Огюсту Шевалье, датированного 29 мая 1832 года, за два дня до смерти Галуа:

> Tu prieras publiquement Jacobi ou Gauss de donner leur avis, non sur la vérité, mais sur l'importance des théorèmes.

Après cela, il y aura, j'espère, des gens qui trouveront leur profit à déchiffrer tout ce gâchis.

(Публично попросите Якоби или Гаусса высказать свое мнение не об истинности, а о важности этих теорем. Позже, я надеюсь, найдутся люди, которые найдут для себя полезным расшифровать всю эту неразбериху.)

В 60 или около того страницах собрания сочинений Галуа содержится множество важных идей, имевших далеко идущие последствия почти для всех разделов математики. Его работы сравнивают с работами Нильса Хенрика Абеля (1802–1829), современного математика, который также умер в очень молодом возрасте, и большая часть их работ имела значительное пересечение.

### Алгебра

Хотя многие математики до Галуа рассматривали то, что сейчас называют группами, он был первым, кто использовал слово «группа» (по-французски groupe) в смысле, близком к техническому значению, которое понимается сегодня, что делает его одним из основателей раздела алгебры, известного как теория групп. Он называл разложение группы на левые и правые смежные классы собственным разложением, если левые и правые смежные классы совпадают, что ведет к понятию того, что сегодня известно как нормальные подгруппы. Он также ввел понятие конечного поля (также известного в его честь как поле Галуа) по сути в той же форме, в какой оно понимается сегодня.

В своем последнем письме Шевалье и приложенных рукописях, второй из трех, он провел базовые исследования линейных групп над конечными полями:

Он построил общую линейную группу над простым полем GL(ν, p) и вычислил ее порядок, изучая группу Галуа общего уравнения степени p.

- Он построил проективную специальную линейную группу PSL(2,p). Галуа построил их как дробно-линейные преобразования и заметил, что они являются простыми, за исключением случаев, когда p равно 2 или 3. Это было второе семейство конечных простых групп после знакопеременных групп. - Он отметил исключительный факт, что PSL(2,p) является простой и действует на p точках тогда и только тогда, когда p равно 5, 7 или 11.

### Теория Галуа

Самый значительный вклад Галуа в математику — это разработка теории Галуа. Он понял, что алгебраическое решение полиномиального уравнения связано со структурой группы перестановок, связанной с корнями многочлена, — группой Галуа многочлена. Он обнаружил, что уравнение может быть решено в радикалах, если можно найти ряд подгрупп его группы Галуа, каждая из которых является нормальной в своей последующей с абелевым фактор-группой, то есть его группа Галуа является разрешимой. Это оказалось плодотворным подходом, который более поздние математики адаптировали ко многим другим областям математики, помимо теории уравнений, к которой Галуа изначально его применил.

### Анализ

Галуа также внес некоторый вклад в теорию абелевых интегралов и цепных дробей.

Как написано в его последнем письме, Галуа перешел от изучения эллиптических функций к рассмотрению интегралов от наиболее общих алгебраических дифференциалов, сегодня называемых абелевыми интегралами. Он классифицировал эти интегралы на три категории.

### Цепные дроби

В своей первой статье в 1828 году Галуа доказал, что регулярная цепная дробь, представляющая квадратичную иррациональность ζ, является чисто периодической тогда и только тогда, когда ζ является приведенной иррациональностью, то есть,

ζ > 1

{\displaystyle \zeta >1}

и её сопряженное

η

{\displaystyle \eta }

удовлетворяет

1 < η < 0

{\displaystyle -1<\eta <0}

.

На самом деле Галуа показал больше. Он также доказал, что если ζ — приведенная квадратичная иррациональность, а η — её сопряженное, то цепные дроби для ζ и для (−1/η) обе чисто периодические, и повторяющийся блок в одной из этих цепных дробей является зеркальным отображением повторяющегося блока в другой. В символах мы имеем

ζ

= [

a

0

;

a

1

,

a

2

, … ,

a

m − 1

¯

]

1

η

= [

a

m − 1

;

a

m − 2

,

a

m − 3

, … ,

a

0

¯

]

{\displaystyle {\begin{aligned}\zeta &=[\,{\overline {a_{0};a_{1},a_{2},\dots ,a_{m-1}}}\,]\\[3pt]{\frac {-1}{\eta }}&=[\,{\overline {a_{m-1};a_{m-2},a_{m-3},\dots ,a_{0}}}\,]\,\end{aligned}}}

где ζ — любая приведенная квадратичная иррациональность, а η — её сопряженное.

Из этих двух теорем Галуа можно вывести результат, уже известный Лагранжу. Если r > 1 — рациональное число, которое не является полным квадратом, то

r

=

[

a

0

;

a

1

,

a

2

, … ,

a

2

,

a

1

, 2

a

0

¯

]

.

{\displaystyle {\sqrt {r}}=\left[\,a_{0};{\overline {a_{1},a_{2},\dots ,a_{2},a_{1},2a_{0}}}\,\right].}

В частности, если n — любое неквадратное положительное целое число, то разложение √n в регулярную цепную дробь содержит повторяющийся блок длины m, в котором первые m − 1 частичных знаменателей образуют палиндромную строку.