Элон Линденштраус: первый израильский лауреат Филдсовской премии

Когда Международный математический союз присуждал свою Филдсовскую премию 2010 года в Хайдарабаде, Индия, она впервые досталась израильскому математику — за работу, в которой инструмент, созданный для статистической физики и эргодической теории, был использован для решения вопросов о том, насколько плохо иррациональные числа могут приближаться дробями и как квантовые частицы хаотично рассеиваются в искривленном пространстве. Карьера Элона Линденштрауса (Elon Lindenstrauss) служит примером того, как методика из одной ветви математики, примененная с достаточной силой, может неожиданно разрешить проблемы из совершенно другой.

Математическая семья

Линденштраус родился 1 августа 1970 года в Иерусалиме в семье, уже глубоко укоренившейся в израильской математике. Его отец, Йорам Линденштраус (Joram Lindenstrauss), был выдающимся специалистом по функциональному анализу, чье имя навсегда связано с леммой Джонсона — Линденштрауса (Johnson–Lindenstrauss lemma), фундаментальным результатом в снижении размерности, который ныне широко используется в информатике и машинном обучении; его мать, Наоми Линденштраус (Naomi Lindenstrauss), была специалистом по компьютерным наукам; оба занимали профессуру в Еврейском университете. Его сестра, Айелет Линденштраус (Ayelet Lindenstrauss), также стала математиком. Вырастая в такой среде, Элон представлял Израиль на Международной математической олимпиаде 1988 года, завоевав бронзовую медаль, а во время получения степени бакалавра проходил службу в элитной израильской армейской программе «Тальпиот» (Talpiot) для одаренных в науке призывников.

Образование в Еврейском университете

Линденштраус получил степень бакалавра по математике и физике в Еврейском университете Иерусалима в 1991 году, степень магистра в 1995 году и степень доктора философии в 1999 году под руководством Вениамина Вайса (Benjamin Weiss) с диссертацией по энтропийным свойствам динамических систем — эргодическо-теоретической основе всего последующего в его карьере. После защиты докторской диссертации он занимал постдокторские должности в Институте перспективных исследований в Принстоне и работал ассистент-профессором Сегё (Szegő) в Стэнфорде, затем работал в Курантовском институте Нью-Йоркского университета, а в 2004 году стал полным профессором в Принстонском университете. Он вернулся в Израиль в 2008–2009 годах в качестве профессора Института математики Эйнштейна при Еврейском университете, эту должность он занимает и по сей день, а в 2024 году вошел в состав постоянного преподавательского состава Института перспективных исследований в Принстоне.

Жесткость мер и гипотеза Литлвуда

Центральный математический вклад Линденштрауса лежит в области жесткости мер в эргодической теории — науке о том, как динамические системы, продолжающиеся бесконечно долго вперед, распределяются по пространству, на котором они действуют. Его работы установили сильные результаты классификации для мер, инвариантных относительно определенных групповых действий на однородных пространствах, показав, что при правильных условиях такие меры гораздо более ограничены и поддаются классификации, чем доказывалось ранее. Примененный к теории чисел, этот аппарат принес значительный частичный прогресс в гипотезе Литлвуда (Littlewood conjecture) — многолетней открытой проблеме диофантовых приближений, касающейся того, насколько хорошо два иррациональных числа могут одновременно приближаться рациональными дробями с общим знаменателем. В статье 2006 года, написанной в соавторстве с Манфредом Айнзидлером (Manfred Einsiedler) и Анатолием Катоком (Anatole Katok), Линденштраус помог доказать, что множество пар чисел, для которых эта гипотеза может нарушаться, имеет хаусдорфову размерность ноль — по описанию математика Теренса Тао (Terence Tao), это доказательство того, что гипотеза выполняется для «большинства» пар чисел, хотя полная гипотеза остается открытой. Как отметил Тао, это была поразительная демонстрация того, как перевод классического вопроса теории чисел в вопрос об орбитах и инвариантных мерах на однородных пространствах может разрешить проблему, которая сопротивлялась прямому натиску на протяжении десятилетий.

Квантовый хаос и гипотеза арифметической QUE

Самый знаменитый отдельный результат Линденштрауса и работа, наиболее прямо упомянутая в представлении к его Филдсовской премии, — это доказательство гипотезы об арифметической квантовой уникальной эргодичности (QUE), первоначально выдвинутой Питером Сарнаком (Peter Sarnak), в арифметическом случае. Эта гипотеза касается квантового хаоса: возрастает ли энергия квантовой частицы в определенных искривленных пространствах (арифметических гиперболических поверхностях) настолько, что ее вероятностное распределение распространяется равномерно, соответствуя хаотическому поведению, ожидаемому в классическом случае? Линденштраус доказал, что для арифметической квантовой уникальной эргодичности дело обстоит именно так, применив методы классификации мер из эргодической теории для решения проблемы, которая связала теорию чисел, динамические системы и математическую физику так, как удается лишь немногим отдельным результатам. Комитет по присуждению Филдсовской премии отметил его заслуги «за результаты по жесткости мер в эргодической теории и их применения к теории чисел».

Признание

Помимо Филдсовской премии 2010 года — первой в истории, присужденной израильскому математику, — Линденштраус получил премию Салема в 2003 году (совместно с Каннаном Саундарараджаном (Kannan Soundararajan)), премию Европейского математического общества в 2004 году, а также премию Ферма и премию Эрдёша в 2009 году (в год, предшествовавший вручению Филдсовской премии) и израильскую Премию обороны. Он работал редактором журналов Duke Mathematical Journal и Journal d'Analyse Mathématique, что отражает его высокий статус в математическом сообществе специалистов по анализу и динамическим системам.

Почему Элона Линденштрауса называют гением

Конкретным познавательным достижением, стоящим за ярлыком «гений», является продемонстрированная Линденштраусом способность свободно перемещаться между областями, которые большинство математиков считают в основном обособленными — эргодической теорией, теорией чисел и математической физикой — и распознавать, когда явление жесткости, доказанное в одном домене (классификация мер для групповых действий на однородных пространствах), может быть перепрофилировано для разрешения конкретной многолетней открытой проблемы в другом (гипотеза Литлвуда, арифметическая QUE). Именно такой перенос между дисциплинами, а не глубина в рамках одной узкой специализации, был особо отмечен комитетом по присуждению Филдсовской премии, и коллеги-математики поддержали эту точку зрения: Теренс Тао, писавший о премии, охарактеризовал работу над гипотезой Литлвуда как демонстрацию того, как методы однородной динамики могут превратить классический вопрос аналитической теории чисел в разрешимую задачу об орбитах и инвариантных мерах. Честная оговорка в отношении этой формулировки, как и в случае с большинством работ, отмеченных Филдсовской премией, заключается в том, что Линденштраус не работал изолированно: его доказательство арифметической QUE строилось непосредственно на оригинальной гипотезе Сарнака и на методах жесткости мер, разработанных в сотрудничестве с коллегами, включая Манфреда Айнзидлера, Анатолия Катока и других исследователей, работавших в рамках той же активной исследовательской программы в 1990-х и 2000-х годах, а его прогресс в отношении гипотезы Литлвуда сам по себе представлял собой частичное, а не полное решение этой проблемы, которая формально остается открытой. Филдсовская премия, присуждаемая исключительно математикам моложе сорока лет, также по своей сути признает совокупность работ, сосредоточенных в относительно узком окне ранней карьеры, а не плоды всей жизни — подлинное и редкое достижение, чей окончательный исторический вес, как и у большинства молодых лауреатов, по-прежнему оценивается научным сообществом десятилетия спустя.

Наследие

Методы жесткости мер, разработанные Линденштраусом, стали стандартной частью инструментария, связывающего эргодическую теорию с теорией чисел. В годы, прошедшие после получения им премии, исследователи, занимающиеся диофантовыми приближениями, однородной динамикой и квантовым хаосом, неоднократно цитировали их и развивали дальше. Будучи первым израильским лауреатом Филдсовской премии, он также занимает символическое место в математической истории своей страны, а его возвращение на руководящую должность в Еврейский университет — то же самое учреждение, где когда-то преподавали его родители, — замкнуло круг между одним поколением израильских математических достижений и следующим.