Дадли Э. Литлвуд: правило, которое он не смог доказать

В 1934 году два математика из небольшого валлийского университетского колледжа опубликовали комбинаторный закон, описывающий умножение определенных алгебраических объектов. Они представили его в виде теоремы. Они доказали его лишь для нескольких простых частных случаев, а приведенный ими пример содержал ошибки. Тем не менее, правило было верным. Математическому сообществу потребовалось сорок лет, чтобы доказать это, и к тому времени правило стало одним из наиболее часто используемых результатов в современной алгебре. Как выразился теоретик представлений Гордон Джеймс (Gordon James), правило Литлвуда–Ричардсона «помогло отправить людей на Луну, но было доказано только после того, как они туда попали».

От Тоттенхэма до Тринити

Дадли Эрнест Литлвуд (Dudley Ernest Littlewood) родился в Лондоне 7 сентября 1903 года в семье Ады Пайпер (Ada Piper) и клерка солиситора Гарри Брэмли Литлвуда (Harry Bramley Littlewood). У него не было ни математического наследия, ни денег; всего в жизни он добился благодаря экзаменам. Окончив школу Тоттенхэм Каунти в Мидлсексе, он получил государственную стипендию и стипендию для обучения в Тринити-колледже в Кембридже.

В Тринити его научным руководителем был Джон Эденсор Литлвуд (John Edensor Littlewood) — знаменитый аналитик и соавтор Харди (Hardy), с которым они не состояли в родстве; это совпадение до сих пор вносит путаницу в библиографии. Он окончил университет в 1925 году, получив звание «рэнглера» (wrangler) в математическом трипосе, на одном курсе с Холлом (Hall) и Ходжем (Hodge). Затем, в условиях межбанковского академического рынка того времени, он не нашел постоянной работы и преподавал в школе. В 1928 году он получил временную должность преподавателя на полставки в Университетском колледже Суонси, а затем кратковременную должность в Королевском колледже в Данди. В 1930 году он женился на Мюриэл Дорис Дайсон (Muriel Doris Dyson), в 1935 году у них родился сын.

Суонси и Ричардсон

Суонси — это место, где по-настоящему началась его математическая жизнь, и это произошло благодаря одному коллеге. Арчибальд Рид Ричардсон (Archibald Read Richardson), работавший там профессором, познакомил Литлвуда с алгеброй — областью, в которой он ранее не работал. Он вернулся в Суонси в качестве ассистента-лектора в 1930 году, в 1934 году стал лектором и проработал там до 1947 года. Его ранние работы были посвящены алгебрам кватернионов и теории инвариантов — достойные исследования, которые не предвещали грядущих открытий.

Затем последовала работа 1934 года, написанная совместно с Ричардсоном, под названием «Групповые характеры и алгебры» (Group characters and algebras). В ней был введен матричный «имманант» (immanant) — обобщение, занимающее место между определителем и перманентом, — и рассматривались S-функции, которые сейчас повсеместно называют функциями Шура (Schur functions), кодирующими характеры симметрических и полных линейных групп. В статье был поставлен естественный вопрос: что происходит при умножении двух функций Шура? Они предложили ответ: произведение раскладывается в сумму функций Шура, коэффициенты которых пересчитывают определенные таблицы — комбинаторные массивы клеток, заполненных числами по строгим правилам.

Почему это правило важно

Это утверждение оказалось на стыке нескольких дисциплин. Коэффициенты Литлвуда–Ричардсона определяют кратности при разложении тензорных произведений конечномерных представлений и при индукции представлений симметрических групп. Это структурные константы кольца симметрических функций в базисе Шура. В алгебраической геометрии они появляются как числа пересечений на грассманианах, подсчитывающие пересечения многообразий Шуберта (Schubert varieties) — связь, которую никто не искал в 1934 году. Сам Литлвуд занимался приложениями теории представлений в квантовой механике.

Однако доказательство отсутствовало. Гилберт де Борегар Робинсон (Gilbert de Beauregard Robinson) заявил в 1938 году, что завершил его, но его изложение было настолько туманным, что пробелы в нем десятилетиями оставались незамеченными; Иэн Макдональд (Ian Macdonald) продолжал заполнять некоторые из них еще в 1995 году. Первые доказательства, соответствующие современным стандартам, представили Гланфруд П. Томас (Glânffrwd P. Thomas) в 1974 году и Марсель-Поль Шютценберже (Marcel-Paul Schützenberger) в 1977 году, опираясь на комбинаторный аппарат соответствия Робинсона–Шенстеда (Robinson–Schensted correspondence), разработанный Шенстедом (Schensted), Шютценберже и Дональдом Кнутом (Donald Knuth). От заявления до полноценного доказательства прошло около четырех десятилетий.

Книги и Бангор

Литлвуд превратил свои исследования в книгу, принесшую ему наибольшую известность: «Теория групповых характеров и матричных представлений групп» (The Theory of Group Characters and Matrix Representations of Groups), изданную в 1940 году, а затем во втором издании в 1950 году. Для целого поколения она стала стандартным учебником по этому предмету на английском языке. В 1949 году вышла его книга «Скелетный ключ к математике» (The Skeleton Key of Mathematics), общее изложение темы, выдержавшее несколько переизданий, а в 1950 году — «Университетская алгебра» (A University Algebra), переработанная в 1961 году.

С 1947 по 1948 год он был университетским лектором в Кембридже, а в 1948 году занял кафедру математики в Университетском колледже Северного Уэльса в Бангоре, проработав на этой должности двадцать два года до выхода на пенсию в 1970 году. Коллеги вспоминали его как застенчивого, скромного человека, всегда с дружелюбной улыбкой, доброго и готового прийти на помощь. Он читал научную фантастику и считал философию и религию предметами, гораздо более достойными исследования, чем математика, — необычное признание для профессора математики.

Почему Дадли называют гением

Это слово применимо к конкретной и узкой способности: он мог видеть форму алгебраического механизма еще до того, как кто-либо мог доказать, что он обладает этой формой. Его студент Дж. А. Грин (J. A. Green) описал это точно: «Математическая сила Литлвуда заключалась в его необычайной интуиции относительно того, как работают определенные алгебраические процессы». Коллеги отмечали сильное интуитивное понимание формальной математики и явное предпочтение применимых формул строгим выводам, а также то, что он брал методы Фробениуса (Frobenius), Шура (Schur) и Вейля (Weyl) и перерабатывал их в собственном стиле, а не просто повторял. Правило 1934 года — яркий тому пример. Литлвуд и Ричардсон пришли к верному комбинаторному закону об объектах, которые никто не понимал до конца, в области, где интуиция, как известно, ненадежна, — и они оказались правы, в то время как несколько способных математиков, пытавшихся дать доказательства в течение следующих сорока лет, ошибались.

Контраргумент реален и не является лишь педантизмом. Они опубликовали правило как теорему, доказав лишь простые частные случаи, а приведенный пример был вычислен неверно. Если бы рецензент был строже, результат мог бы появиться как гипотеза, чем он, по сути, и был. Работа математика — это доказательство, и по этому стандарту самое известное достижение Литлвуда оставалось незавершенным в течение четырех десятилетий и было закончено другими людьми с использованием инструментов, которых у него не было. Его более широкое наследие — три книги и ряд статей по инвариантам, алгебрам кватернионов и групповым характерам — является солидным и полезным, но не эпохальным. Всю свою карьеру он провел в Суонси и Бангоре, вдали от центров дисциплины. Честный вердикт состоит в том, что он обладал исключительно яркой математической интуицией, которой не хватало соразмерной ей строгости для реализации; математическое сообщество девяносто лет пользуется этой интуицией, исправляя строгость.

Наследие

Он вышел на пенсию в 1970 году и скончался в Лландидно 6 октября 1979 года, вскоре после своего 76-летия, после падения, в результате которого сломал ногу. Он похоронен в Лланросе (Llanrhos); Мюриэл пережила его на десять лет. Его имя сегодня ежедневно произносят люди, которые больше ничего о нем не знают; оно привязано к правилу, лежащему в основе современного изучения симметрических функций, теории представлений классических групп и исчисления Шуберта. Мало кто из математиков удостаивается теоремы, названной в его честь. Еще меньше тех, чья теорема стала известной раньше, чем была доказана.