Арие Исерлес: заставляя компьютеры уважать геометрию

Планета, вращающаяся вокруг звезды, сохраняет свою энергию в точности и навсегда. Смоделируйте эту орбиту на компьютере с помощью стандартного численного метода, и энергия начнет дрейфовать — планета будет медленно по спирали приближаться к солнцу или уходить в темноту не потому, что так говорит физика, а потому, что арифметика дает утечку. Арие Исерлес (Arieh Iserles) принадлежит к числу математиков, которые сочли это неприемлемым и принялись создавать алгоритмы, подчиняющиеся законам, которые кодируют их уравнения.

Из Иерусалима на Кем

Исерлес родился 2 сентября 1947 года, учился в Еврейском университете в Иерусалиме и Университете имени Бен-Гуриона в Негеве. Его докторская диссертация была посвящена численным методам решения жестких обыкновенных дифференциальных уравнений — теме, которая кажется узкой, но является всем чем угодно, только не ею.

Жесткость — это патология, которая возникает всякий раз, когда система содержит процессы, протекающие в совершенно разных временных масштабах: химическая реакция, где один шаг занимает микросекунды, а другой — часы. Наивные численные методы вынуждены плестись со скоростью самого быстрого процесса, даже когда там не происходит ничего интересного, и вычисления становятся непомерно дорогими. Правильное решение проблемы жесткости было одной из центральных практических проблем вычислительной науки двадцатого века, и это хорошая школа для того, кто посвятит свою карьерную жизнь несоответствию между непрерывной математикой и дискретными машинами.

Кембридж, с одним отклонением от маршрута

Он приехал в Кембридж в качестве младшего научного сотрудника Королевского колледжа в 1978 году, стал там старшим научным сотрудником в 1982 году, а 1986–87 годы провел в качестве доцента в Университете Аризоны. Затем он вернулся и остался.

Он был университетским лектором в Кембридже с 1987 по 1995 год, ридером по численному анализу с 1995 по 1999 год, а с 1999 года является профессором численного анализа дифференциальных уравнений на кафедре прикладной математики и теоретической физики — DAMTP, кафедре, где работали Дирак и Хокинг. С 2010 по 2015 год он руководил Кембриджским центром анализа.

Геометрическое интегрирование

Центральная идея исследовательской жизни Исерлеса заключается в том, что дифференциальное уравнение несет в себе структуру, и хороший численный метод должен ее сохранять.

Некоторые системы сохраняют энергию. Некоторые сохраняют объем в фазовом пространстве. Некоторые эволюционируют на криволинейном многообразии — например, вращающееся твердое тело, состояние которого находится на группе вращений и никогда не может покинуть ее, сколько бы вы ни ждали. Традиционные численные методы ничего этого не знают. Они приближают следующий шаг и принимают небольшую ошибку, и за время длительного моделирования эти маленькие ошибки накапливаются в качественный абсурд: матрица вращения перестает быть вращением, энергия дрейфует, орбита становится неверной таким образом, который не исправит никакой объем дополнительной точности.

Геометрическое численное интегрирование борется с этим путем разработки методов, которые точно уважают инварианты — симплектические интеграторы для гамильтоновых систем, методы сохранения объема и схемы, созданные так, чтобы система, живущая на группе Ли (Lie group), оставалась на ней. Собственные вклады Исерлеса группируются вокруг аппарата для этого: приближений матричной экспоненты, в частности методов, которые правильно отображают алгебру Ли (Lie algebra) на ее группу Ли, а также анализа изоспектральных потоков и структур Ли — Пуассона (Lie–Poisson structures).

Осцилляция, еще один сложный случай

Его вторая главная область — это сильно осциллирующие явления, то есть задачи, в которых решение колеблется очень быстро.

Это настоящий кошмар для стандартного численного анализа по контринтуитивной причине. Обычные квадратуры работают путем дискретизации (сэмплирования); если функция колеблется быстрее, чем вы берете выборки, вы ничего не узнаете, и классический ответ заключается в том, чтобы брать выборки быстрее, что стоит дороже по мере ухудшения проблемы. Исерлес работал над эффективными методами дискретизации для высокоосциллирующих интегралов — семейством методов, где, как ни удивительно, сильная осцилляция может быть превращена из препятствия в преимущество, причем точность повышается по мере роста частоты, а не падает. Он распространил этот подход на дифференциальные уравнения и спектры операторов, а также разработал экспоненциальные интеграторы для уравнений с несколькими взаимодействующими масштабами осцилляции.

Его широкий исследовательский кругозор охватывает обыкновенные и дифференциальные уравнения в частных производных, теорию приближений, ортогональные многочлены, функциональные уравнения и вычислительную динамику.

Привратник

Исерлес занимает исключительно центральное положение в институтах своей области. Он является ответственным редактором Acta Numerica — ежегодного обзорного тома, который по сути является заявлением области о ее текущем положении, и главным редактором IMA Journal of Numerical Analysis, а также входит в состав советов директоров в других местах. С 1997 по 2000 год он возглавлял Общество основ вычислительной математики.

И он написал книгу A First Course in the Numerical Analysis of Differential Equations, изданную Кембриджским университетским издательством и выдержавшую уже второе издание, — для очень многих аспирантов по всему миру это книга, которая научила их данному предмету.

Почему Арие называют гением

Демонстрируемое интеллектуальное качество представляет собой особый вид инверсии: многократное взятие свойства, которое делает задачу сложной, и превращение его в свойство, которое заставляет решение работать. Самый яркий пример — высокоосциллирующее интегрирование, где стандартный подход рассматривает быстрые колебания как врага, с которым нужно бороться путем учащения выборок, а методы, над которыми работал Исерлес, становятся лучше по мере увеличения осцилляции. Геометрическое интегрирование включает в себя тот же шаг на более высоком уровне: перестать рассматривать дифференциальное уравнение как формулу, которую нужно приблизить, и начать рассматривать его как геометрический объект, структура которого является тем, что нужно сохранить. Подобного рода переосмысления реже и сложнее, чем техническая виртуозность, и они меняют то, что все сообщество считает своей деятельностью.

Признание, если взвесить его честно, существенно, но ориентировано на служение. Медаль Онсагера была вручена в 1999 году. За ней последовала медаль Дэвида Крайтона в 2012 году, присужденная явно «за заслуги перед математикой и математическим сообществом». Премия SIAM за выдающиеся заслуги перед профессией последовала в 2014 году. Две из этих трех наград, судя по их собственным формулировкам, касаются служения, а не открытий.

Так что контраргумент вполне реален. Ни одна теорема не носит имя Исерлеса так, как метод Рунге — Кутты или метод Ньютона. Геометрическое интегрирование было создано сообществом — Хайрер, Любич, Ваннер, Марсден, Маклахлан и другие вместе с ним — и он является одним из важных участников, а не его единственным автором. Его наибольшее измеримое влияние может заключаться в редакторской и педагогической деятельности: руководство Acta Numerica, руководство IMA Journal, написание стандартного вводного курса. Ни один доступный источник не фиксирует, чтобы кто-то называл его гением. Он выдающийся математик-прикладник и исключительный создатель институтов, и вторая половина этого предложения выполняет больше работы, чем обычно признают поклонники.

Наследие

Исерлес остается в DAMTP, на кафедре, где он работает с 1987 года.

Программа, в продвижении которой он помогал, тихо победила. Симплектические и сохраняющие структуру интеграторы теперь являются стандартными в молекулярной динамике, небесной механике, физике плазмы и проектировании ускорителей — везде, где симуляция должна работать очень долго и при этом оставаться достоверной в конце. Лежащее в основе понимание в такой же степени философское, сколько и техническое: численный метод — это не нейтральный инструмент для приближения уравнения. Это маленькая динамическая система сама по себе, и если вы построите ее небрежно, она расскажет вам историю о вселенной, которой не существует.