Андреас Дресс: Математик, который постоянно менял области исследований

В тропической геометрии существует многообразие, называемое Дрессианом. Существует комбинаторный объект, используемый для классификации периодических мозаик, называемый символом Делани-Дресса. Существует область исследований по реконструкции эволюционных деревьев на основе данных о расстояниях, известная как T-теория. Все три возникли благодаря одному человеку и принадлежат к трем разным ветвям математики, которые большинство исследователей сочли бы отдельными карьерами. Андреас Дресс, скончавшийся 23 февраля 2024 года в возрасте восьмидесяти пяти лет, шесть десятилетий занимался тем, что необычно даже для первоклассных математиков: он постоянно начинал все сначала.

Киль, 1962

Дресс родился 26 августа 1938 года. Он учился в Свободном университете Берлина, в Тюбингене и в Киле, получив докторскую степень в Киле в 1962 году под руководством Фридриха Бахмана и Карла-Хайнриха Вайзе. Диссертация называлась Konstruktion metrischer Ebenen («Конструкция метрических плоскостей»), что прямо связывает его истоки с немецкой традицией основ геометрии. Стоит отметить, насколько он был молод: докторская степень в двадцать четыре года по предмету, который был одной из великих немецких специальностей со времен Гильберта.

Билефельд с нуля

В 1969 году земля Северный Рейн-Вестфалия открыла новый университет в Билефельде, задуманный как научно-исследовательское учреждение с междисциплинарным уставом. Дресс был одним из его профессоров-основателей математики и оставался там до выхода на пенсию в 2003 году — тридцать четыре года на одном факультете, что для математика с его беспокойным характером является любопытной статистикой, пока не заметишь, что он менял предмет примерно каждое десятилетие, никогда не меняя адреса. Математический факультет Билефельда стал одним из сильнейших в Германии в тот период, и Дресс был существенной тому причиной.

Функторы, мозаики, матроиды

Его первый крупный цикл работ был посвящен теории представлений, где он разработал функторы Макки и Грина — формальный аппарат, обеспечивающий единую основу для теорем об ограничении и индукции, которые пронизывают теорию представлений конечных групп. Это абстрактная алгебра в чистом виде, и она остается стандартным инструментом в этой области.

В начале 1980-х годов он переключился на дискретную геометрию и вместе с Эндрю Делани ввел комбинаторное кодирование, которое теперь называется символом Делани-Дресса: конечная структура, которая достаточно полно фиксирует тип симметрии периодической мозаики, чтобы позволить систематическую классификацию. Кристаллографы и математики приняли его, потому что он преобразует задачу геометрической классификации в комбинаторную, которую может перечислить компьютер.

Затем он обратился к теории матроидов, построив комплексные алгебраические подходы к предмету, который был в значительной степени комбинаторным, включая конструкцию группы Татта матроида. Оттуда работа перешла в тропическую геометрию: Дресс установил связи между оцененными матроидами и тропическими линейными пространствами, и параметризующий объект, который появился, носит его имя — Дрессиан.

Деревья из расстояний

Последняя и наиболее публично заметная глава вывела его из чистой математики в биологию. Проблема легко формулируется, но трудно решается: дана матрица измеренных различий между видами, последовательностями или популяциями, реконструировать эволюционное дерево, которое их породило, или определить, что ни одно дерево не подходит, и представить то, что подходит. Дресс подошел к этому с помощью инструментов метрической геометрии, разработав T-теорию и теорию плотных пролетов (tight spans), которые обеспечивают канонический способ вложения конечного метрического пространства и считывания его древовидной и недревовидной структуры. Предмет, который он помог создать, стали называть филогенетической комбинаторикой, и в 2012 году он изложил его в виде книги вместе с Катариной Хубер, Якобусом Куленом, Винсентом Моултоном и Андреасом Спилнером под названием Basic Phylogenetic Combinatorics, опубликованной издательством Cambridge University Press.

Шанхай

После ухода из Билефельда в 2003 году Дресс отправился в Институт математики в естественных науках Общества Макса Планка в Лейпциге, где оставался долгое время внешним научным сотрудником. В 2005 году он стал директором-основателем Партнерского института вычислительной биологии в Шанхае, совместного предприятия Общества Макса Планка и Китайской академии наук, где проработал до 2010 года. Он был приглашенным докладчиком на Международном конгрессе математиков в Берлине в 1998 году.

Почему Андреаса называют гением

Качество, которое отличает Дресса, — это структурный перенос: осознание того, что аппарат, разработанный для одной проблемы, тайно относится к чему-то совершенно другому. Это видно на каждом этапе его карьеры. Метрическая геометрия, которую он изучил для своей диссертации 1962 года о метрических плоскостях, сорок лет спустя стала аппаратом для определения того, является ли матрица генетических расстояний древовидной. Алгебраические инстинкты, которые он развил в теории представлений, стали алгебраизацией теории матроидов, которая, в свою очередь, стала фундаментом для тропической геометрии. Комбинаторный взгляд, который породил символ Делани-Дресса для мозаик, узнаваемо тот же самый, что породил расщепляющую декомпозицию для биологических данных. Большинство математиков углубляются; Дресс переводил. Сделать это один раз — удача. Сделать это четыре раза, в теории представлений, дискретной геометрии, матроидах и математической биологии, — это отличительная черта ума, и тот факт, что три отдельных объекта носят его имя в трех отдельных областях, является объективным доказательством этого.

Контраргумент заслуживает того, чтобы быть озвученным. Дресс не решил ни одной знаменитой открытой проблемы, и ни один из его вкладов не несет той особой славы, которая сопровождает результат, отмеченный Филдсовской премией. Многие из его самых известных конструкций были совместными — символ Делани-Дресса, филогенетическая работа с Хубер, Куленом, Моултоном и Спилнером, связи в тропической геометрии, которые другие существенно развили — и его дар часто заключался в создании основы, которую затем развивали коллеги. Он был приглашенным, а не пленарным докладчиком на ICM, и его официальные награды скромны по сравнению с его влиянием. Справедливый вердикт заключается в том, что он был исключительным генератором основ и превосходным идентификатором скрытых аналогий, а не решателем знаменитых проблем. В математике это разные репутации, и первую легче недооценить.

Наследие

Филогенетическая комбинаторика теперь является устоявшейся областью с учебником, исследовательским сообществом и прямым применением в эволюционной биологии и анализе последовательностей — это самое близкое к дисциплине, основанной Дрессом. Символ Делани-Дресса остается рабочим инструментом для систематической классификации периодических мозаик. Дрессиан входит в стандартный словарь тропической геометрии. А в Шанхае Партнерский институт, который он помог основать, подготовил поколение китайских вычислительных биологов в тот момент, когда страна строила эту область практически с нуля. Билефельд, Лейпциг и Шанхай оплакивали его как своего, что является примерно правильным описанием карьеры, которая никогда не оставалась на одном месте достаточно долго, чтобы быть присвоенной каким-то одним предметом.