Évariste Galois

Évariste Galois

Évariste Galois (/ɡælˈwɑː/; francês: [evaʁist ɡalwa]; 25 de outubro de 1811 – 31 de maio de 1832) foi um matemático e ativista político francês. Ainda na adolescência, foi capaz de determinar uma condição necessária e suficiente para que uma equação polinomial fosse solúvel por radicais, resolvendo assim um problema que permanecia em aberto há 350 anos. O seu trabalho lançou as bases da teoria de Galois e da teoria dos grupos, dois grandes ramos da álgebra abstrata.

Galois era um republicano convicto e esteve fortemente envolvido na turbulência política que rodeou a Revolução Francesa de 1830. Como resultado do seu ativismo político, foi preso repetidamente, cumprindo uma pena de vários meses. Por razões que permanecem obscuras, pouco depois de sair da prisão, Galois lutou num duelo e morreu dos ferimentos sofridos.

Vida

### Início da vida

Galois nasceu a 25 de outubro de 1811, filho de Nicolas-Gabriel Galois e Adélaïde-Marie (nascida Demante). O seu pai era republicano e chefe do partido liberal de Bourg-la-Reine. O seu pai tornou-se presidente da câmara da vila após o regresso de Luís XVIII ao trono em 1814. A sua mãe, filha de um jurista, lia fluentemente latim e literatura clássica e foi responsável pela educação do filho durante os seus primeiros doze anos.

Em outubro de 1823, entrou para o Lycée Louis-le-Grand, onde o seu professor Louis Paul Émile Richard reconheceu o seu brilhantismo. Aos 14 anos, começou a interessar-se seriamente pela matemática.

Galois encontrou um exemplar de Éléments de Géométrie de Adrien-Marie Legendre, que, segundo se diz, leu "como um romance" e dominou logo na primeira leitura. Aos 15 anos, lia os artigos originais de Joseph-Louis Lagrange, tais como as Réflexions sur la résolution algébrique des équations, que provavelmente motivaram o seu trabalho posterior sobre a teoria das equações, e Leçons sur le calcul des fonctions, obra destinada a matemáticos profissionais; contudo, o seu trabalho escolar permaneceu sem inspiração e os seus professores acusaram-no de exibir ares de génio.

### Matemático em ascensão

Em 1828, Galois tentou o exame de admissão à École Polytechnique, a instituição de matemática mais prestigiada de França na época, sem a habitual preparação, e falhou por falta de explicações no exame oral. No mesmo ano, entrou para a École Normale (então conhecida como l'École préparatoire), uma instituição muito inferior para estudos matemáticos na altura, onde encontrou alguns professores compreensivos.

No ano seguinte, foi publicado o primeiro artigo de Galois, sobre frações contínuas simples. Foi por volta da mesma altura que começou a fazer descobertas fundamentais na teoria das equações polinomiais. Submeteu dois artigos sobre este tema à Academia de Ciências. Augustin-Louis Cauchy foi o revisor, mas recusou a sua publicação por razões que ainda permanecem pouco claras. No entanto, apesar de muitas afirmações em contrário, acredita-se amplamente que Cauchy reconheceu a importância do trabalho de Galois e que apenas sugeriu a combinação dos dois artigos num só, a fim de o inscrever no concurso para o Grande Prémio de Matemática da Academia. Cauchy, um eminente matemático da época, embora com visões políticas diametralmente opostas às de Galois, considerou o trabalho deste último um provável vencedor.

A 28 de julho de 1829, o pai de Galois suicidou-se após uma amarga disputa política com o padre da aldeia. Alguns dias depois, Galois fez a sua segunda e última tentativa de entrar na Polytechnique e falhou novamente. É indiscutível que Galois estava mais do que qualificado; os relatos divergem sobre o motivo do seu fracasso. Relatos mais plausíveis afirmam que Galois deu demasiados saltos lógicos e confundiu o examinador incompetente, o que enfureceu Galois. A morte recente do pai pode ter influenciado o seu comportamento.

Tendo sido recusada a admissão na École Polytechnique, Galois realizou os exames de Baccalaureate para entrar na École Normale. Passou, recebendo o seu diploma a 29 de dezembro de 1829. O seu examinador de matemática relatou: "Este aluno é por vezes obscuro na expressão das suas ideias, mas é inteligente e mostra um espírito de investigação notável."

Galois submeteu o seu memorial sobre a teoria das equações várias vezes, mas nunca foi publicado em vida. Embora a sua primeira tentativa tenha sido recusada por Cauchy, em fevereiro de 1830, seguindo a sugestão de Cauchy, submeteu-o ao secretário da Academia, Joseph Fourier, para ser considerado para o Grande Prémio da Academia. Infelizmente, Fourier morreu pouco depois e o memorial perdeu-se. O prémio seria atribuído nesse ano a Niels Henrik Abel, postumamente, e também a Carl Gustav Jacob Jacobi. Apesar do memorial perdido, Galois publicou três artigos nesse ano. Um deles lançou as bases da teoria de Galois. O segundo versava sobre a resolução numérica de equações (determinação de raízes, na terminologia moderna). O terceiro foi importante na teoria dos números, no qual o conceito de corpo finito foi articulado pela primeira vez.

### Ativista político

Galois viveu durante um período de turbulência política em França. Carlos X sucedera a Luís XVIII em 1824, mas em 1827 a sua fação sofreu um grande revés eleitoral e, em 1830, o partido liberal da oposição tornou-se a maioria. Carlos, confrontado com a oposição política das câmaras, encenou um golpe de Estado e emitiu as suas notórias Ordenações de julho, desencadeando a Revolução de julho, que terminou com Luís Filipe I a tornar-se rei. Enquanto os seus homólogos na Polytechnique faziam história nas ruas, Galois, na École Normale, estava trancado pelo diretor da escola. Galois ficou indignado e escreveu uma carta contundente criticando o diretor, que submeteu à Gazette des Écoles, assinando a carta com o seu nome completo. Embora o editor da Gazette tenha omitido a assinatura para a publicação, Galois foi expulso.

Embora a sua expulsão só entrasse formalmente em vigor a 4 de janeiro de 1831, Galois abandonou a escola imediatamente e juntou-se à unidade de artilharia da Guarda Nacional, de orientação republicana. Dividiu o seu tempo entre o trabalho matemático e as suas afiliações políticas. Devido à controvérsia em torno da unidade, logo após Galois se ter tornado membro, a 31 de dezembro de 1830, a artilharia da Guarda Nacional foi dissolvida por medo de que pudesse desestabilizar o governo. Por volta da mesma altura, dezanove oficiais da antiga unidade de Galois foram presos e acusados de conspiração para derrubar o governo.

Em abril de 1831, os oficiais foram absolvidos de todas as acusações e, a 9 de maio de 1831, realizou-se um banquete em sua honra, com a presença de muitas pessoas ilustres, como Alexandre Dumas. O procedimento tornou-se tumultuoso. A dada altura, Galois levantou-se e propôs um brinde no qual disse: "A Luís Filipe", com um punhal sobre a sua chávena. Os republicanos no banquete interpretaram o brinde de Galois como uma ameaça à vida do rei e aplaudiram. Foi preso no dia seguinte na casa da sua mãe e detido na prisão de Sainte-Pélagie até 15 de junho de 1831, quando foi a julgamento. O advogado de defesa de Galois afirmou inteligentemente que Galois disse, na verdade, "A Luís Filipe, se ele trair", mas que a qualificação foi abafada pelos aplausos. O procurador fez mais algumas perguntas e, talvez influenciado pela juventude de Galois, o júri absolveu-o nesse mesmo dia.

No Dia da Bastilha seguinte (14 de julho de 1831), Galois estava à frente de um protesto, vestindo o uniforme da artilharia dissolvida, e apareceu fortemente armado com várias pistolas, uma espingarda carregada e um punhal. Foi preso novamente. Durante a sua estadia na prisão, Galois bebeu álcool pela primeira vez por instigação dos seus companheiros de cela. Um desses detidos, François-Vincent Raspail, registou o que Galois disse enquanto estava bêbado numa carta de 25 de julho. Extraído da carta:

> E digo-te, morrerei num duelo por causa de alguma coquette de bas étage. Porquê? Porque ela me convidará a vingar a sua honra que outro comprometeu.

Sabes o que me falta, meu amigo? Só a ti posso confiar: é alguém a quem eu possa amar e amar apenas em espírito. Perdi o meu pai e ninguém o substituiu, ouves-me...?

Raspail continua, dizendo que Galois, ainda em delírio, tentou o suicídio e que teria tido sucesso se os seus companheiros de cela não o tivessem impedido à força. Meses depois, quando o julgamento de Galois ocorreu a 23 de outubro, foi condenado a seis meses de prisão por usar uniforme ilegalmente. Enquanto esteve na prisão, continuou a desenvolver as suas ideias matemáticas. Foi libertado a 29 de abril de 1832.

### Dias finais

Galois regressou à matemática após a sua expulsão da École Normale, embora tenha continuado a dedicar tempo a atividades políticas. Depois de a sua expulsão se ter tornado oficial em janeiro de 1831, tentou iniciar uma aula privada de álgebra avançada que atraiu algum interesse, mas este diminuiu, pois parecia que o seu ativismo político tinha prioridade. Siméon Denis Poisson pediu-lhe que submetesse o seu trabalho sobre a teoria das equações, o que ele fez a 17 de janeiro de 1831. Por volta de 4 de julho de 1831, Poisson declarou o trabalho de Galois "incompreensível", declarando que "o argumento [de Galois] não é suficientemente claro nem suficientemente desenvolvido para nos permitir julgar o seu rigor"; no entanto, o relatório de rejeição termina com uma nota encorajadora: "Sugeriríamos então que o autor publicasse a totalidade da sua obra para formar uma opinião definitiva". Embora o relatório de Poisson tenha sido feito antes da detenção de Galois a 14 de julho, demorou até outubro a chegar a Galois na prisão. Não é de estranhar, face ao seu carácter e à sua situação na altura, que Galois tenha reagido violentamente à carta de rejeição e decidido abandonar a publicação dos seus artigos através da Academia e, em vez disso, publicá-los privadamente através do seu amigo Auguste Chevalier. Aparentemente, no entanto, Galois não ignorou o conselho de Poisson, pois começou a recolher todos os seus manuscritos matemáticos ainda na prisão e continuou a aperfeiçoar as suas ideias até à sua libertação, a 29 de abril de 1832, após a qual foi de alguma forma convencido a participar num duelo.

O duelo fatal de Galois ocorreu a 30 de maio. Os verdadeiros motivos do duelo são obscuros. Tem havido muita especulação sobre eles. O que se sabe é que, cinco dias antes da sua morte, escreveu uma carta a Chevalier que alude claramente a um caso de amor terminado.

Algumas investigações de arquivo sobre as cartas originais sugerem que a mulher de interesse romântico era Stéphanie-Félicie Poterin du Motel, filha do médico da pensão onde Galois ficou durante os últimos meses da sua vida. Estão disponíveis fragmentos de cartas dela, copiados pelo próprio Galois (com muitas partes, como o seu nome, obliteradas ou deliberadamente omitidas). As cartas sugerem que Poterin du Motel tinha confiado alguns dos seus problemas a Galois, e isto pode tê-lo levado a provocar o duelo em seu nome. Esta conjectura também é apoiada por outras cartas que Galois escreveu mais tarde aos seus amigos na noite antes de morrer. O primo de Galois, Gabriel Demante, quando questionado se conhecia a causa do duelo, mencionou que Galois "encontrou-se na presença de um suposto tio e um suposto noivo, cada um dos quais provocou o duelo". O próprio Galois exclamou: "Sou vítima de uma coquette infame e dos seus dois patetas".

Quanto ao seu adversário no duelo, Alexandre Dumas nomeia Pescheux d'Herbinville, que era na verdade um dos dezanove oficiais de artilharia cuja absolvição foi celebrada no banquete que ocasionou a primeira detenção de Galois. No entanto, Dumas está sozinho nesta afirmação, e se estivesse correto, não é claro por que é que d'Herbinville estaria envolvido. Especulou-se que ele seria o "suposto noivo" de Poterin du Motel na altura (ela acabou por casar com outra pessoa), mas não foram encontradas provas claras que sustentem esta conjectura. Por outro lado, recortes de jornais existentes de poucos dias após o duelo dão uma descrição do seu oponente (identificado pelas iniciais "L.D.") que parece aplicar-se mais precisamente a um dos amigos republicanos de Galois, muito provavelmente Ernest Duchatelet, que foi preso com Galois sob as mesmas acusações. Dadas as informações contraditórias disponíveis, a verdadeira identidade do seu assassino pode muito bem estar perdida para a história.

Quaisquer que fossem as razões por trás do duelo, Galois estava tão convencido da sua morte iminente que passou a noite inteira a escrever cartas aos seus amigos republicanos e a compor o que se tornaria o seu testamento matemático, a famosa carta a Auguste Chevalier delineando as suas ideias, e três manuscritos anexos. O matemático Hermann Weyl disse sobre este testamento: "Esta carta, se julgada pela novidade e profundidade das ideias que contém, é talvez o documento mais substancial de toda a literatura da humanidade". No entanto, a lenda de Galois despejando os seus pensamentos matemáticos no papel na noite antes de morrer parece ter sido exagerada. Nestes documentos finais, delineou os esboços de algum trabalho que vinha realizando em análise e anotou uma cópia do manuscrito submetido à Academia e outros artigos.

No início da manhã de 30 de maio de 1832, foi baleado no abdómen, abandonado pelos seus adversários e pelos seus próprios padrinhos, e encontrado por um agricultor que passava. Morreu na manhã seguinte às dez horas no Hospital Cochin (provavelmente de peritonite), após recusar os serviços de um padre. O seu funeral terminou em tumultos. Havia planos para iniciar uma revolta durante o seu funeral, mas, ao mesmo tempo, os líderes souberam da morte do General Jean Maximilien Lamarque e a revolta foi adiada, não ocorrendo qualquer levantamento até 5 de junho. Apenas o irmão mais novo de Galois foi notificado dos acontecimentos antes da morte de Galois. Galois tinha 20 anos. As suas últimas palavras ao seu irmão mais novo, Alfred, foram:

> "Ne pleure pas, Alfred ! J'ai besoin de tout mon courage pour mourir à vingt ans !" (Não chores, Alfred! Preciso de toda a minha coragem para morrer aos vinte anos!)

A 2 de junho, Évariste Galois foi enterrado numa vala comum do Cemitério de Montparnasse, cuja localização exata é desconhecida. No cemitério da sua cidade natal – Bourg-la-Reine – foi erguido um cenotáfio em sua honra ao lado das sepulturas dos seus parentes.

Em 1842, Joseph Liouville começou a estudar os artigos não publicados de Galois e reconheceu o seu valor em 1843. Não é claro o que aconteceu nos dez anos entre 1832 e 1842, nem o que inspirou Liouville a começar a ler os artigos de Galois. Jesper Lützen explora este assunto com algum detalhe no Capítulo XIV, "Teoria de Galois", do seu livro sobre Joseph Liouville, sem chegar a conclusões definitivas.

É certamente possível que os matemáticos (incluindo Liouville) não quisessem divulgar os artigos de Galois porque este era um ativista político republicano que morreu 5 dias antes da Rebelião de Junho, uma insurreição anti-monárquica malsucedida de republicanos parisienses. No obituário de Galois, o seu amigo Auguste Chevalier quase acusou os académicos da École Polytechnique de terem matado Galois, pois, se não tivessem rejeitado o seu trabalho, ele teria-se tornado matemático e não se teria dedicado ao ativismo político republicano pelo qual alguns acreditavam que foi morto. Dado que a França ainda vivia sob a sombra do Reinado do Terror e da era napoleónica, Liouville pode ter esperado até que a turbulência política diminuísse (da fracassada Rebelião de Junho e das suas consequências) antes de voltar a sua atenção para os artigos de Galois.

Liouville finalmente publicou os manuscritos de Galois no número de outubro–novembro de 1846 do Journal de Mathématiques Pures et Appliquées. O contributo mais famoso de Galois foi uma prova inédita de que não existe uma fórmula para equações do quinto grau – isto é, que as equações de quinto grau e superiores não são geralmente solúveis por radicais. Embora Niels Henrik Abel já tivesse provado a impossibilidade de uma "fórmula quíntica" por radicais em 1824 e Paolo Ruffini tivesse publicado uma solução em 1799 que se revelou falha, os métodos de Galois levaram a uma investigação mais profunda naquilo que é hoje chamado Teoria de Galois, que pode ser usada para determinar, para qualquer equação polinomial, se esta tem solução por radicais.

Contribuições para a matemática

Das linhas finais de uma carta de Galois ao seu amigo Auguste Chevalier, datada de 29 de maio de 1832, dois dias antes da morte de Galois:

> Tu prieras publiquement Jacobi ou Gauss de donner leur avis, non sur la vérité, mais sur l'importance des théorèmes.

Après cela, il y aura, j'espère, des gens qui trouveront leur profit à déchiffrer tout ce gâchis.

(Peça a Jacobi ou Gauss publicamente que deem a sua opinião, não sobre a verdade, mas sobre a importância destes teoremas. Depois disso, haverá, espero, algumas pessoas que encontrarão vantagem em decifrar toda esta confusão.)

Nas cerca de 60 páginas das obras recolhidas de Galois estão muitas ideias importantes que tiveram consequências de grande alcance para quase todos os ramos da matemática. O seu trabalho foi comparado ao de Niels Henrik Abel (1802–1829), um matemático contemporâneo que também morreu muito jovem, e grande parte do trabalho de ambos teve uma sobreposição significativa.

### Álgebra

Embora muitos matemáticos antes de Galois tenham dado atenção ao que hoje são conhecidos como grupos, ele foi o primeiro a usar a palavra grupo (em francês groupe) num sentido próximo ao sentido técnico que é entendido hoje, tornando-o um dos fundadores do ramo da álgebra conhecido como teoria dos grupos. Chamou à decomposição de um grupo nas suas classes laterais esquerdas e direitas uma decomposição própria se as classes esquerdas e direitas coincidirem, o que conduz à noção do que hoje são conhecidos como subgrupos normais. Introduziu também o conceito de corpo finito (também conhecido como corpo de Galois em sua honra) essencialmente na mesma forma que é entendido hoje.

Na sua última carta a Chevalier e nos manuscritos anexos, o segundo de três, realizou estudos básicos de grupos lineares sobre corpos finitos:

Construiu o grupo linear geral sobre um corpo primo, GL(ν, p) e calculou a sua ordem, estudando o grupo de Galois da equação geral de grau p.

- Construiu o grupo linear especial projetivo PSL(2,p). Galois construiu-os como transformações lineares fracionárias e observou que eram simples, exceto se p fosse 2 ou 3. Estas foram a segunda família de grupos simples finitos, após os grupos alternados. - Observou o facto excecional de que PSL(2,p) é simples e atua sobre p pontos se e somente se p for 5, 7 ou 11.

### Teoria de Galois

A contribuição mais significativa de Galois para a matemática é o desenvolvimento da teoria de Galois. Percebeu que a solução algébrica de uma equação polinomial está relacionada com a estrutura de um grupo de permutações associado às raízes do polinómio, o grupo de Galois do polinómio. Descobriu que uma equação poderia ser resolvida por radicais se se pudesse encontrar uma série de subgrupos do seu grupo de Galois, cada um normal no seu sucessor com quociente abeliano, isto é, o seu grupo de Galois é solúvel. Isto provou ser uma abordagem fértil, que matemáticos posteriores adaptaram a muitos outros campos da matemática além da teoria das equações à qual Galois a aplicou originalmente.

### Análise

Galois também fez algumas contribuições para a teoria dos integrais abelianos e das frações contínuas.

Como escrito na sua última carta, Galois passou do estudo das funções elípticas para a consideração dos integrais das diferenciais algébricas mais gerais, hoje chamados integrais abelianos. Classificou estes integrais em três categorias.

### Frações contínuas

No seu primeiro artigo em 1828, Galois provou que a fração contínua regular que representa um radical quadrático ζ é puramente periódica se e somente se ζ for um radical reduzido, isto é,

ζ > 1

{\displaystyle \zeta >1}

e o seu conjugado

η

{\displaystyle \eta }

satisfaz

− 1 < η < 0

{\displaystyle -1<\eta <0}

.

De facto, Galois mostrou mais do que isto. Provou também que se ζ é um radical quadrático reduzido e η é o seu conjugado, então as frações contínuas para ζ e para (−1/η) são ambas puramente periódicas, e o bloco repetido numa dessas frações contínuas é a imagem espelhada do bloco repetido na outra. Em símbolos, temos

ζ

= [

a

0

;

a

1

,

a

2

, … ,

a

m − 1

¯

]

− 1

η

= [

a

m − 1

;

a

m − 2

,

a

m − 3

, … ,

a

0

¯

]

{\displaystyle {\begin{aligned}\zeta &=[\,{\overline {a_{0};a_{1},a_{2},\dots ,a_{m-1}}}\,]\\[3pt]{\frac {-1}{\eta }}&=[\,{\overline {a_{m-1};a_{m-2},a_{m-3},\dots ,a_{0}}}\,]\,\end{aligned}}}

onde ζ é qualquer radical quadrático reduzido e η é o seu conjugado.

Destes dois teoremas de Galois, pode deduzir-se um resultado já conhecido por Lagrange. Se r > 1 é um número racional que não é um quadrado perfeito, então

r

=

[

a

0

;

a

1

,

a

2

, … ,

a

2

,

a

1

, 2

a

0

¯

]

.

{\displaystyle {\sqrt {r}}=\left[\,a_{0};{\overline {a_{1},a_{2},\dots ,a_{2},a_{1},2a_{0}}}\,\right].}

Em particular, se n é qualquer número inteiro positivo que não é um quadrado, a expansão em fração contínua regular de √n contém um bloco repetido de comprimento m, no qual os primeiros m − 1 denominadores parciais formam uma cadeia palíndroma.