에바리스트 갈루아

에바리스트 갈루아

에바리스트 갈루아(Évariste Galois; 1811년 10월 25일 – 1832년 5월 31일)는 프랑스의 수학자이자 정치 활동가였습니다. 십대 시절, 그는 다항식이 근호로 풀릴 수 있는 필요충분조건을 밝혀내며 350년 동안 풀리지 않았던 수학적 난제를 해결했습니다. 그의 연구는 현대 추상대수학의 양대 지주인 갈루아 이론과 군론의 기틀을 마련했습니다.

갈루아는 열렬한 공화주의자로서 1830년 프랑스 7월 혁명 전후의 정치적 격동기에 깊이 관여했습니다. 정치 활동으로 인해 그는 여러 차례 체포되었고, 수개월간 투옥되기도 했습니다. 출옥 후 얼마 지나지 않아 그는 명확히 밝혀지지 않은 이유로 결투를 벌였고, 그 과정에서 입은 부상으로 사망했습니다.

생애

### 어린 시절

갈루아는 1811년 10월 25일 니콜라 가브리엘 갈루아와 아델라이드 마리(결혼 전 성 데망트) 사이에서 태어났습니다. 아버지 니콜라는 공화주의자이자 부르라렌(Bourg-la-Reine) 자유당의 당수였습니다. 1814년 루이 18세가 복위한 후 아버지는 마을 촌장이 되었습니다. 법률가의 딸이었던 어머니는 라틴어와 고전 문학에 능통했으며, 갈루아의 초기 12년간의 교육을 직접 담당했습니다.

1823년 10월, 그는 리세 루이르그랑(Lycée Louis-le-Grand)에 입학했고, 그곳의 교사 루이 폴 에밀 리샤르가 그의 천재성을 알아보았습니다. 14세가 되자 그는 수학에 심취하기 시작했습니다.

갈루아는 아드리앵 마리 르장드르의 『기하학 원론』을 접했는데, 전하는 바에 따르면 그는 이 책을 마치 소설처럼 읽으며 첫 독서 만에 완전히 마스터했다고 합니다. 15세에는 조제프 루이 라그랑주의 『방정식의 대수적 해법에 관한 고찰』과 같은 원문을 읽었는데, 이는 훗날 그가 방정식 이론을 연구하는 동기가 되었습니다. 또한 전문가용 서적인 『함수 계산 강의』도 읽었으나, 정작 학교 수업에는 흥미를 느끼지 못했고 교사들로부터 천재인 체한다는 비난을 받기도 했습니다.

### 떠오르는 수학자

1828년, 갈루아는 당시 프랑스 최고의 수학 교육 기관인 에콜 폴리테크니크(École Polytechnique) 입학 시험에 도전했으나, 통상적인 수학 준비 과정이 부족했고 구술 시험에서 충분한 설명을 하지 못해 낙방했습니다. 같은 해, 그는 당시 수학 연구 수준이 훨씬 떨어졌던 에콜 노르말(당시 에콜 프레파라투아르)에 입학했고, 그곳에서 그를 이해해 주는 교수들을 만났습니다.

이듬해 갈루아의 첫 논문인 단순 연분수에 관한 논문이 발표되었습니다. 거의 같은 시기에 그는 다항식 방정식 이론에서 근본적인 발견들을 해나가기 시작했습니다. 그는 이 주제에 관해 두 편의 논문을 과학 아카데미에 제출했습니다. 오귀스탱 루이 코시가 이 논문들을 심사했으나, 알 수 없는 이유로 출판을 거절했습니다. 하지만 세간의 주장과 달리 코시가 갈루아의 연구 중요성을 인식했으며, 단순히 아카데미 수학 대상 경연에 내기 위해 두 편의 논문을 하나로 합치라고 권유했다는 견해가 지배적입니다. 당시 최고의 수학자였던 코시는 갈루아와 정치적 입장이 정반대였음에도 불구하고 그의 연구가 우승 가능성이 높다고 판단했습니다.

1829년 7월 28일, 마을 사제와의 심각한 정치적 분쟁을 겪던 아버지가 자살로 생을 마감했습니다. 며칠 후 갈루아는 폴리테크니크에 두 번째이자 마지막으로 도전했으나 또다시 떨어졌습니다. 그가 자격 미달이었다는 점에는 이견이 없지만, 실패 원인에 대해서는 증언이 엇갈립니다. 더 설득력 있는 주장에 따르면 갈루아의 비약적인 논리 전개가 무능한 면접관을 당황하게 만들었고, 이에 갈루아가 격분했다는 것입니다. 최근에 겪은 아버지의 죽음 또한 그의 행동에 영향을 미쳤을 것입니다.

에콜 폴리테크니크 입학에 실패한 갈루아는 에콜 노르말에 입학하기 위해 학사 시험을 치렀습니다. 그는 합격했고 1829년 12월 29일 학위를 받았습니다. 그의 수학 시험관은 다음과 같이 평했습니다: "이 학생은 때때로 생각을 표현하는 방식이 모호하지만, 총명하며 놀라운 연구 정신을 가지고 있다."

갈루아는 자신의 방정식 이론 논문을 여러 차례 제출했으나 생전에는 발표되지 못했습니다. 첫 번째 시도는 코시에게 거절당했고, 1830년 2월 코시의 제안에 따라 아카데미 서기 조제프 푸리에에게 제출하여 대상을 노렸습니다. 그러나 푸리에가 곧 사망하면서 논문은 분실되었습니다. 그해 대상은 닐스 헨리크 아벨과 카를 구스타프 야코프 야코비에게 수여되었습니다. 그럼에도 불구하고 갈루아는 그해 세 편의 논문을 발표했습니다. 한 편은 갈루아 이론의 기초를 닦았고, 두 번째는 방정식의 수치적 해법(현대 용어로 근 찾기)에 관한 것이었으며, 세 번째는 유한체 개념이 처음으로 명확히 제시된 중요한 수론 논문이었습니다.

### 정치적 선동가

갈루아는 프랑스 정국이 혼란스럽던 시기에 살았습니다. 1824년 샤를 10세가 루이 18세의 뒤를 이었으나 1827년 선거에서 참패했고, 1830년에는 야당인 자유당이 다수당이 되었습니다. 의회의 정치적 반대에 직면한 샤를 10세는 쿠데타를 일으켜 악명 높은 7월 칙령을 발표했고, 이는 루이 필리프 1세가 왕으로 즉위하는 7월 혁명으로 이어졌습니다. 폴리테크니크 학생들이 거리에서 역사를 만들어갈 때, 에콜 노르말에 있던 갈루아는 교장에게 감금당한 상태였습니다. 분노한 갈루아는 교장을 비판하는 신랄한 서한을 써서 『에콜 공보』에 보냈고 자신의 이름을 적었습니다. 편집자가 실명을 삭제하고 게재했음에도 갈루아는 퇴학당했습니다.

퇴학 처분은 1831년 1월 4일에 공식화되었지만 갈루아는 즉시 학교를 떠나 국민위병의 강경 공화주의 포병 부대에 입대했습니다. 그는 수학과 정치 활동에 시간을 나누어 썼습니다. 해당 부대를 둘러싼 논란 때문에 갈루아가 입대한 지 얼마 되지 않은 1830년 12월 31일, 정부 전복을 우려한 정부는 국민위병 포병대를 해산했습니다. 거의 같은 시기, 갈루아의 전 부대 장교 19명이 정부 전복 음모 혐의로 체포되었습니다.

1831년 4월, 장교들은 모든 혐의에 대해 무죄를 선고받았고, 5월 9일 그들을 축하하는 연회가 열렸습니다. 알렉상드르 뒤마와 같은 많은 유명 인사들이 참석했습니다. 행사는 폭동 분위기로 번졌습니다. 어느 순간 갈루아는 자리에서 일어나 잔 위에 단검을 올린 채 "루이 필리프를 위하여"라고 건배사를 했습니다. 연회장에 있던 공화주의자들은 이를 왕에 대한 위협으로 받아들였고 환호했습니다. 다음 날 그는 어머니의 집에서 체포되어 6월 15일 재판을 받을 때까지 생펠라지 감옥에 수감되었습니다. 갈루아의 변호인은 그가 사실 "루이 필리프가 배신한다면 그를 위하여"라고 말했다고 주장했으나, 건배사의 소란 속에 묻혔다고 항변했습니다. 검사가 몇 가지 질문을 더 던졌고, 아마도 갈루아의 젊은 나이에 영향을 받은 배심원단은 그날 바로 무죄를 선고했습니다.

다음 바스티유의 날(1831년 7월 14일), 갈루아는 해산된 포병 부대 제복을 입고 권총 여러 자루, 장전된 소총, 단검으로 중무장한 채 시위를 이끌었습니다. 그는 다시 체포되었습니다. 감옥에 있는 동안 갈루아는 동료 수감자들의 꾐에 빠져 처음으로 술을 마셨습니다. 동료 중 한 명인 프랑수아 뱅상 라스파유는 7월 25일 자 편지에서 술에 취한 갈루아의 말을 기록했습니다. 편지의 내용은 다음과 같습니다.

> "나는 말하네, 어떤 저급한 여인의 결투 요청으로 죽게 될 것이라고. 왜냐고? 그녀가 또 다른 이에게 훼손당한 자신의 명예를 갚아달라고 내게 요구할 것이기 때문이지."

"친구여, 내가 무엇을 잃었는지 아는가? 오직 자네에게만 털어놓겠네. 내가 마음 깊이, 오직 정신으로만 사랑할 수 있는 누군가가 없다는 것이지. 나는 아버지를 잃었고 아무도 그 자리를 대신하지 못했네. 내 말 들리는가?"

라스파유는 여전히 환각 상태에 있던 갈루아가 자살을 시도했으며, 동료들이 강제로 막지 않았다면 성공했을 것이라고 덧붙였습니다. 수개월 후인 10월 23일, 갈루아는 불법 제복 착용 혐의로 6개월 형을 선고받았습니다. 감옥 안에서도 그는 수학적 아이디어를 계속 발전시켰습니다. 그는 1832년 4월 29일 석방되었습니다.

### 마지막 나날

에콜 노르말에서 퇴학당한 후 갈루아는 정치 활동을 이어가면서도 다시 수학에 매진했습니다. 1831년 1월 퇴학이 공식화된 후, 그는 고급 대수학 사설 강좌를 열어 관심을 끌기도 했으나, 정치 활동이 우선시되면서 점차 시들해졌습니다. 시메옹 드니 푸아송은 그에게 방정식 이론에 관한 연구를 제출하라고 했고, 그는 1831년 1월 17일에 이를 제출했습니다. 1831년 7월 4일경, 푸아송은 갈루아의 연구가 "이해할 수 없다"며 "(갈루아의) 논증이 엄밀함을 판단할 수 있을 만큼 충분히 명확하지도, 발전되지도 않았다"고 선언했습니다. 그러나 거절 보고서의 마지막은 "저자가 전체 연구를 출판하여 최종적인 평가를 받는 것을 제안한다"는 희망적인 내용으로 끝났습니다. 푸아송의 보고서는 갈루아의 7월 14일 체포 이전에 작성되었으나, 감옥에 있던 갈루아에게 전달된 것은 10월이었습니다. 당시 그의 성격과 상황을 고려할 때, 갈루아의 거절 편지에 격렬하게 반응한 것은 놀라운 일이 아니었습니다. 그는 아카데미를 통한 출판을 포기하고 친구 오귀스트 슈발리에를 통해 사적으로 발표하기로 결심했습니다. 하지만 갈루아는 푸아송의 조언을 완전히 무시하지는 않은 것으로 보입니다. 그는 감옥에 있는 동안 모든 수학 원고를 수집하기 시작했고, 1832년 4월 29일 석방 후에도 자신의 사상을 다듬었으며, 그 직후 어떤 이유로 결투에 휘말리게 되었습니다.

갈루아의 치명적인 결투는 5월 30일에 일어났습니다. 결투의 진정한 동기는 불분명합니다. 이에 대해 많은 추측이 있었습니다. 분명한 것은 그가 죽기 5일 전, 슈발리에에게 보낸 편지에서 깨진 연애 사건을 분명히 언급했다는 점입니다.

원본 편지에 대한 조사에 따르면 로맨틱한 관심의 대상은 갈루아가 생애 마지막 몇 달을 보낸 숙소 주인의 딸, 스테파니 펠리시 포트랭 뒤 모텔이었습니다. 갈루아 본인이 베껴 쓴 그녀의 편지 조각들(이름 등 많은 부분이 지워지거나 생략됨)이 남아 있습니다. 이 편지들은 포트랭 뒤 모텔이 자신의 고민을 갈루아에게 털어놓았고, 이것이 갈루아가 그녀를 대신해 결투를 도발하게 만들었을 가능성을 시사합니다. 이 가설은 갈루아가 죽기 전날 밤 친구들에게 보낸 다른 편지들에서도 뒷받침됩니다. 갈루아의 사촌 가브리엘 데망트는 결투의 원인을 묻는 질문에 갈루아가 "한 명의 자칭 삼촌과 한 명의 자칭 약혼자 앞에 서게 되었고, 둘 다 결투를 도발했다"고 언급했습니다. 갈루아 자신은 "나는 저급한 여인과 그녀의 두 꼭두각시의 희생양이다"라고 외쳤습니다.

결투 상대에 대해서는, 알렉상드르 뒤마가 페슈 데르뱅빌을 지목했는데, 그는 갈루아의 첫 체포 계기가 된 연회에서 석방을 축하받았던 19명의 포병 장교 중 한 명이었습니다. 그러나 뒤마만이 이 주장을 하고 있으며, 사실이라 해도 왜 데르뱅빌이 연루되었는지는 불분명합니다. 그가 당시 포트랭 뒤 모텔의 "자칭 약혼자"였다는 추측(그녀는 결국 다른 사람과 결혼함)이 있으나 뒷받침할 명확한 증거는 발견되지 않았습니다. 반면 결투 며칠 후 나온 신문 기사는 상대방을 "L.D."라는 이니셜로 식별했는데, 이는 갈루아와 같은 혐의로 투옥되었던 공화주의자 친구, 아마도 에르네스트 뒤샤틀레일 가능성이 더 높습니다. 상충되는 정보로 인해 그의 살해범이 누구인지 진실은 역사의 뒤편으로 사라졌을 가능성이 큽니다.

결투의 이유가 무엇이든 갈루아는 죽음을 예감하고 밤새도록 공화주의자 친구들에게 편지를 썼습니다. 또한 오귀스트 슈발리에에게 보낸 유명한 편지와 세 개의 첨부 원고를 통해 자신의 수학적 유언을 남겼습니다. 수학자 헤르만 바일은 이 유언에 대해 "이 편지는 담긴 아이디어의 참신함과 심오함으로 판단할 때, 인류 문학 전체에서 가장 실질적인 글일지도 모른다"라고 평했습니다. 그러나 갈루아가 죽기 전날 밤 수학적 생각을 종이에 쏟아냈다는 전설은 다소 과장된 것으로 보입니다. 이 마지막 원고들에서 그는 분석학 분야에서 하던 연구의 개요를 잡고, 아카데미에 제출했던 원고와 기타 논문들을 보완했습니다.

1832년 5월 30일 이른 아침, 그는 복부에 총상을 입고 상대와 자신의 조수들에 의해 방치되었다가 지나가던 농부에게 발견되었습니다. 다음 날 오전 10시, 그는 코생 병원에서 사제의 집전을 거부한 채 사망했습니다(아마도 복막염). 그의 장례식은 폭동으로 끝났습니다. 장례식 도중 봉기를 일으킬 계획이 있었으나, 같은 시기에 지도부들이 장 막시밀리앙 라마르크 장군의 사망 소식을 듣고 봉기는 6월 5일까지 연기되었습니다. 갈루아가 죽기 전, 그의 막내 동생만이 사건을 통보받았습니다. 갈루아는 20세였습니다. 막내 동생 알프레드에게 남긴 마지막 말은 다음과 같습니다.

> "울지 마라, 알프레드! 스무 살에 죽기에는 내 모든 용기가 필요하단다!"

6월 2일, 에바리스트 갈루아는 몽파르나스 묘지의 공동 묘역에 묻혔으며 정확한 위치는 알 수 없습니다. 고향인 부르라렌의 묘지에는 친척들의 무덤 옆에 그를 기리는 케노타프가 세워졌습니다.

1842년, 조제프 리우빌이 갈루아의 미발표 논문을 연구하기 시작했고 1843년에 그 가치를 인정했습니다. 1832년에서 1842년 사이 10년간 무슨 일이 있었는지, 리우빌이 무엇 때문에 갈루아의 논문을 읽기 시작했는지는 명확하지 않습니다. 예스페르 뤼첸은 조제프 리우빌에 관한 저서의 14장 '갈루아 이론'에서 이 주제를 심도 있게 탐구했으나 결론을 내리지는 못했습니다.

수학자들이(리우빌 포함) 갈루아의 논문을 알리고 싶어 하지 않았을 가능성도 있습니다. 갈루아는 6월 반란(파리 공화주의자들의 실패한 반군주제 봉기) 5일 전에 사망한 공화주의 정치 활동가였기 때문입니다. 갈루아의 부고에서 친구 오귀스트 슈발리에는 폴리테크니크의 교수들이 갈루아를 죽였다고 비난했습니다. 만약 그들이 그의 연구를 거절하지 않았다면 그는 수학자가 되었을 것이고, 그가 죽음의 원인이 된 공화주의 정치 활동에 매진하지 않았을 것이라는 이유였습니다. 프랑스가 여전히 공포 정치와 나폴레옹 시대의 그늘 아래 있었다는 점을 고려할 때, 리우빌은 정치적 혼란이 가라앉은 뒤에야 갈루아의 논문에 관심을 돌렸을 수 있습니다.

리우빌은 결국 1846년 10월~11월호 『순수 및 응용 수학 저널』에 갈루아의 원고를 발표했습니다. 갈루아의 가장 유명한 기여는 5차 방정식의 근의 공식이 존재하지 않음을 증명한 것입니다. 즉, 5차 이상의 방정식은 일반적으로 근호로 풀 수 없다는 것입니다. 닐스 헨리크 아벨이 1824년에 이미 근호에 의한 5차 공식의 불가능성을 증명했고, 파올로 루피니가 1799년 결함이 있는 해법을 발표한 적이 있지만, 갈루아의 방법은 현재 '갈루아 이론'이라 불리는 더 깊은 연구를 이끌어냈고, 이는 임의의 다항식 방정식이 근호로 풀릴 수 있는지 판단하는 데 사용될 수 있습니다.

수학적 기여

갈루아가 죽기 이틀 전인 1832년 5월 29일, 친구 오귀스트 슈발리에에게 보낸 편지의 마지막 문장:

> "자코비나 가우스에게 공개적으로 의견을 묻게나. 진실 여부가 아니라 이 정리들의 중요성에 대해서 말일세."

"그 후에는 이 엉망진창인 것들을 해석하여 이익을 얻는 사람들이 나타나리라 믿네."

（해석: 자코비나 가우스에게 공개적으로 의견을 묻게나. 진실 여부가 아니라 이 정리들의 중요성에 대해서 말일세. 그 후에는 이 엉망진창인 것들을 해석하여 이익을 얻는 사람들이 나타나리라 믿네.）

갈루아의 수집된 저작 60여 페이지 안에는 수학의 거의 모든 분야에 광범위한 결과를 가져온 중요한 아이디어들이 담겨 있습니다. 그의 연구는 매우 젊은 나이에 요절한 동시대 수학자 닐스 헨리크 아벨(1802–1829)의 연구와 비교되며, 두 사람의 연구는 많은 부분에서 중첩되었습니다.

### 대수학

갈루아 이전의 많은 수학자가 오늘날 '군'이라 알려진 개념을 고려했으나, 오늘날 이해되는 기술적 의미에 가깝게 '군'(프랑스어로 groupe)이라는 단어를 처음 사용한 사람은 갈루아였으며, 그는 대수학의 한 분과인 '군론'의 창시자 중 한 명이 되었습니다. 그는 군을 왼쪽 및 오른쪽 잉여류로 분해하는 것을 좌우 잉여류가 일치할 경우 '정규 분해'라고 불렀고, 이는 오늘날 '정규 부분군'이라 알려진 개념으로 이어졌습니다. 또한 그는 오늘날 이해되는 것과 본질적으로 같은 형태의 '유한체'(그를 기려 '갈루아 체'라고도 함) 개념을 도입했습니다.

슈발리에에게 보낸 마지막 편지와 첨부된 세 편의 원고 중 두 번째 원고에서 그는 유한체 위에서의 선형군에 대한 기초 연구를 수행했습니다.

그는 일반 p차 방정식의 갈루아 군을 연구하면서 소체 위에서의 일반 선형군 GL(ν, p)를 구성하고 그 위수를 계산했습니다.

- 그는 사영 특수 선형군 PSL(2,p)를 구성했습니다. 갈루아는 이들을 분수 선형 변환으로 구성했으며, p가 2나 3인 경우를 제외하고는 단순군임을 관찰했습니다. 이들은 교대군 다음으로 두 번째 유한 단순군 계열이었습니다. - 그는 PSL(2,p)가 단순군이며 p가 5, 7, 11일 때만 p개의 점에서 작용한다는 예외적인 사실에 주목했습니다.

### 갈루아 이론

갈루아의 가장 중요한 수학적 기여는 갈루아 이론의 발전입니다. 그는 다항식 방정식의 대수적 해법이 그 다항식의 근들과 관련된 치환군, 즉 다항식의 갈루아 군 구조와 관련이 있음을 깨달았습니다. 그는 갈루아 군의 부분군 계열을 찾을 수 있고, 각 부분이 아벨商群을 가진 정규 부분군이라면, 즉 갈루아 군이 가해군이면 방정식이 근호로 풀릴 수 있음을 발견했습니다. 이는 매우 유용한 접근법으로 증명되었으며, 후대의 수학자들은 이를 갈루아가 원래 적용했던 방정식 이론 외의 다른 많은 수학 분야에도 적용했습니다.

### 해석학

갈루아는 아벨 적분 이론과 연분수에도 기여했습니다.

마지막 편지에 썼듯이, 갈루아는 타원 함수 연구에서 오늘날 아벨 적분이라 불리는 가장 일반적인 대수적 미분의 적분 연구로 넘어갔습니다. 그는 이 적분들을 세 가지 범주로 분류했습니다.

### 연분수

1828년 첫 논문에서 갈루아는 이차 무리수 ζ를 나타내는 정칙 연분수가 순주기적이기 위한 필요충분조건은 ζ가 기약 무리수, 즉

ζ > 1

{\displaystyle \zeta >1}

이고 그 공액

η

{\displaystyle \eta }

가

− 1 < η < 0

{\displaystyle -1<\eta <0}

을 만족하는 것임을 증명했습니다.

사실 갈루아는 그 이상을 보여주었습니다. 그는 ζ가 기약 이차 무리수이고 η가 그 공액이라면, ζ와 (−1/η)에 대한 연분수가 모두 순주기적이며, 그 연분수들의 반복 블록은 서로의 거울상이라는 것도 증명했습니다. 기호로 표현하면 다음과 같습니다.

ζ

= [

a

0

;

a

1

,

a

2

, … ,

a

m − 1

¯

]

− 1

η

= [

a

m − 1

;

a

m − 2

,

a

m − 3

, … ,

a

0

¯

]

{\displaystyle {\begin{aligned}\zeta &=[\,{\overline {a_{0};a_{1},a_{2},\dots ,a_{m-1}}}\,]\\[3pt]{\frac {-1}{\eta }}&=[\,{\overline {a_{m-1};a_{m-2},a_{m-3},\dots ,a_{0}}}\,]\,\end{aligned}}}

여기서 ζ는 임의의 기약 이차 무리수이고 η는 그 공액입니다.

갈루아의 이 두 정리로부터 라그랑주에게 이미 알려져 있던 결과를 도출할 수 있습니다. r > 1이 완전제곱수가 아닌 유리수라면,

r

=

[

a

0

;

a

1

,

a

2

, … ,

a

2

,

a

1

, 2

a

0

¯

]

.

{\displaystyle {\sqrt {r}}=\left[\,a_{0};{\overline {a_{1},a_{2},\dots ,a_{2},a_{1},2a_{0}}}\,\right].}

특히 n이 임의의 비제곱 양의 정수일 때, √n의 정칙 연분수 전개는 길이 m의 반복 블록을 포함하며, 처음 m − 1개의 부분 분모는 회문 형태의 문자열을 형성합니다.