팔 투란: 강제 노동 수용소에서 나온 정리들
1944년 7월, 강제 노동 중이던 헝가리계 유대인 팔 투란(Pál Turán)은 부다페스트 근교의 한 공장에서 철길을 따라 벽돌을 실은 수레를 밀고 있었다. 선로가 교차하는 곳에서 수레가 흔들렸고 작업은 더욱 힘들어졌다. 대부분의 사람들은 그 교차점을 저주했겠지만, 투란은 m개의 가마와 n개의 창고에 대해 교차점의 최소 개수가 얼마인지 궁금해하기 시작했다. 그렇게 해서 오늘날 '투란의 벽돌 공장 문제'라 불리는, 교차수 이론의 기초가 되는 질문이 탄생했다. 그는 죄수였지만, 그 순간 수학을 하고 있었다.
부다페스트, 페예르, 그리고 닫힌 문
투란은 1910년 8월 18일 당시 오스트리아-헝가리 제국의 부다페스트에서 헝가리계 유대인 가정에 태어났다. 중등학교에서 재능을 보인 그는 1933년 부다페스트 대학교에서 교직 학위를 받았고, 1935년 헝가리 해석학의 중심 인물인 페예르 리포트(Lipót Fejér)의 지도하에 에트뵈시 로란드 대학교에서 박사 학위를 받았다.
1933년 미국 및 런던 수학회 저널에 두 편의 중요한 논문을 발표했지만, 취업에는 아무런 도움이 되지 않았다. 유대인의 고등 교육 참여를 제한하는 헝가리의 '누메루스 클라우수스(numerus clausus)' 법 때문에 그는 수년간 안정적인 학문적 일자리를 얻지 못했고, 1938년에야 부다페스트의 랍비 훈련 학교에서 자리를 얻었다. 23세에 국제적으로 논문을 발표하고 28세에 신학교에서 가르치던 이 수학자는 국가가 법으로 그를 대학에서 배제했기 때문에 그런 처지에 놓여 있었다.
에르되시와의 만남
1930년 9월 1일, 부다페스트 대학교의 수학 세미나에서 투란은 에르되시 팔(Paul Erdős)을 만났다. 둘 다 학창 시절부터 문제지 'KöMaL'에서 주목받는 해결사였다. 그날 시작된 협력은 46년간 지속되어 28편의 공동 논문을 낳았다. 이는 20세기 수학계의 위대한 지속적 파트너십 중 하나이며, 에르되시가 그에 대해 길게 썼고 아첨하지 않았기 때문에 투란의 성격을 알 수 있는 많은 정보의 원천이기도 하다.
수용소에서의 5년
1940년 9월, 투란은 유대인 혈통이라는 이유로 체포되어 강제 노동 수용소로 보내졌다. 그는 트란실바니아와 헝가리 전역의 여러 수용소에서 5년을 보냈다.
이 기간은 그의 업적 목록에서 공백이 되었어야 했지만, 그렇지 않았다. 수학적 소양을 갖춘 요셰프 빈클러(Joshef Winkler)라는 장교가 투란의 이름을 알아보고 그를 위해 더 가벼운 임무를 주선했다. 투란은 이 여유를 활용했다. 그는 수용 중에 리만 제타 함수에 관한 중요한 논문을 작성했고, 머릿속으로 문제를 풀고 생각함으로써 자신을 유지했다. 벽돌 공장의 관찰은 1944년 7월의 일이지만, 그가 본격적으로 연구한 것은 1952년 이후였다. 하지만 그 질문은 철길 위에서 탄생했다.
에르되시는 "투란은 나치 수용소에서도 정신을 잃지 않았고 그곳에서 훌륭한 일을 해냈다"고 단언했다. 그는 1944년에 해방되어 교육 현장으로 돌아왔다.
극값 그래프 이론
투란이 구축한 가장 중요한 업적은 투옥 중에 이루어졌다. 에르되시는 다시 이렇게 말했다. "1940~1941년에 그는 그래프 이론의 극값 문제 분야를 창시했는데, 이는 현재 조합론에서 가장 빠르게 성장하는 주제 중 하나이다."
기초가 되는 '투란의 정리'는 r개의 꼭짓점을 가진 완전 부분 그래프를 포함하지 않는 그래프가 가질 수 있는 변의 수에 대한 상한을 제공한다. 이를 증명하기 위해 그는 완전 이분 그래프를 일반화한 '투란 그래프'를 발명했다. 이 정리의 중요성은 특정 경계값에 있는 것이 아니라 그것이 확립한 질문의 형식에 있다. 즉, "어떤 패턴이 나타나도록 강제되기 전에 얼마나 많은 구조를 가질 수 있는가?"라는 질문이다. 그 이후 수천 개의 설정에서 제기된 이 질문이야말로 극값 조합론의 본질이다. 쾨바리-쇼시-투란 정리(Kővári–Sós–Turán theorem)는 이 접근 방식을 금지된 부분 그래프를 가진 이분 그래프로 확장했다.
체와 거듭제곱 합
수론이 그의 주 분야였다. 1934년의 '투란의 체'는 서로 다른 소인수의 수의 정규 분포에 관한 하디와 라마누잔의 1917년 결과에 대한 간략화된 증명을 제공했다. 할라시는 그 진정한 의미를 "확률론적 수론의 출발점이었다는 사실에 있다"고 지적했다. 학문 분야를 창시하는 간략화는 더 이상 간략화가 아니다. 투란-쿠빌리우스 부등식은 이 연구를 일반화했다.
그는 소수가 잉여류에 어떻게 분포하는지에 대한 불규칙성에 대해 '소수 레이스'라는 용어를 만들었고, 크나포프스키와 함께 체비쇼프의 편향에 관한 결과들을 연구했다. 에르되시-투란 추측은 산술 급수에서의 소수에 관한 것이다. 또한 그는 리만 제타 함수의 영점의 거듭제곱 합의 부등식에 관한 기법인 '거듭제곱 합법'을 개발하여 복소 해석학, 수치 해석학, 미분 방정식, 초월 수론, 그리고 일반적인 영점 추정으로 응용을 넓혔다.
리만 가설 자체에 대해 에르되시는 투란이 "불신자, 사실상 '이교도'였다. 그는 리만 가설의 진실을 믿지 않았다"고 기록했다. 그의 해석은 르장드르 다항식에 관한 투란의 부등식을 낳았고, 에르되시와 함께 에르되시-투란 등분포 부등식을 도출했다.
비밀로 유지된 진단
1945년 부다페스트 대학교 부교수, 1949년 정교수가 되었다. 1948년과 1952년에 코슈트 상을 받았고, 1948년 헝가리 과학 아카데미 통신 회원, 1953년 정회원으로 선출되었다. 야노시 볼여이 수학회를 창설 및 주재했고, 주요 학술지 편집 위원을 역임했으며, 1970년 국제 수학자 대회에서 강연했고, 같은 해 필즈상 위원회에 초대되었다. 1975년에는 티보르 셀레 상이 이어졌다.
1939년 에디트 코보르와 결혼하여 아들 로베르트를 두었다. 1952년에는 수학자 베라 쇼시와 재혼하여 공동 연구를 수행했고, 두 아들 죄르지와 타마시를 두었다.
1970년경 백혈병 진단을 받았다. 이를 알고 있던 사람은 베라뿐이었다. 그녀는 그가 "삶을 너무 사랑했기 때문에" 절망할 것이라 생각하여 본인에게 알리지 않기로 했다. 그녀가 에르되시에게 알린 것은 1976년이었다. 에르되시는 나중에 그 대가를 한탄했다. 자신의 시간이 얼마 남지 않았음을 몰랐던 투란은 몇몇 작업을 "나중에"로 미루었고 결코 완성하지 못했다.
팔이 천재라 불리는 이유
그의 특별한 능력은 학문 분야 전체에 걸친 문제 창출에 있다. 투란의 개별 정리들은 강력하지만, 그의 특징은 3개의 독립적인 분야가 그에게서 시작된다는 점이다. 에르되시가 1940~41년에 그가 창시했다고 명시한 '극값 그래프 이론', 할라시가 1934년의 체에서 시작되었다고 한 '확률론적 수론', 그리고 벽돌에서 시작된 '교차수 이론'이다. 하나의 분야를 창시하는 것은 경력이지만, 3개를 창시하는 것은 다른 차원의 일이다. 그것은 특정 어려움이 인스턴스인 질문 아래의 질문에 대한 비범한 직관이다.
상황이 그 주장을 단순한 장식이 아니라 더 날카롭게 만든다. 그는 도서관도 동료도 종이도 없는 강제 노동 수용소에서 구조를 머릿속에 유지하며 극값 그래프 이론을 창시했다. 수학적 능력에 대해 감상적이지 않고 알 가치가 있는 모든 사람을 알았던 에르되시는 그가 그곳에서 훌륭한 일을 했다고 말했다.
반론은 평소보다 얇지만 존재한다. 에르되시는 46년간 그의 절친한 친구이자 가장 많이 인용되는 평가자였으므로 독립적인 정보원은 아니다. 투란의 거듭제곱 합법은 그 광범위함에도 불구하고 그가 믿지 않았던 리만 가설을 풀지는 못했다. 그의 영예(2번의 코슈트 상, 셀레 상, 아카데미 회원)는 학문 분야의 최고 국제상이라기보다는 헝가리의 국가적 평가이다. 그리고 극값 그래프 이론의 폭발적인 성장은 그 이후에 그것을 발전시킨 사람들에게 큰 빚을 지고 있다. 그는 질문을 던졌고, 다른 사람들이 그 주제를 구축했다.
유산
투란은 1976년 9월 26일 백혈병으로 부다페스트에서 66세의 나이로 사망했다. 자신이 무엇 때문에 죽어가는지 모른 채였다. 현재 모든 조합론 과정에서 그의 정리가 가르쳐지고 있으며, 확률론적 수론은 그 기원을 그가 24세에 고안한 체로 거슬러 올라간다. 벽돌 공장 문제는 일반적으로 미해결 상태로 남아 있다. 그것은 적절한 기념비이다. 철길의 교차를 지켜보던 죄수가 던진 질문은 학문 분야가 아직 다 답하지 못한 채 남아 있다.
