레오폴트 크로네커: 신은 정수를 만들었다

“신은 정수를 만들었고, 그 외의 모든 것은 인간의 작품이다.” (Die ganzen Zahlen hat der liebe Gott gemacht, alles andere ist Menschenwerk) 하인리히 베버 (Heinrich Weber) 가 이 말을 전했으며, 이것은 저자가 말한 거의 모든 다른 것들보다 더 오래 살아남았습니다. 왜냐하면 이것은 경건한 곁말이 아니라 선전포고였기 때문입니다. 이 말을 내뱉은 사람은 생애 마지막 수십 년을 동료들이 한창 만들어내던 무한한 대상을 현대 수학에서 제거하려 애썼고, 그 과정에서 너무 많은 적을 만들어서 유럽에서 가장 위대한 해석학자 중 한 명이 그를 피해 베를린을 떠날 뻔하기도 했습니다.

리그니츠와 쿠머라는 이름의 스승

레오폴트 크로네커 (Leopold Kronecker) 는 1823년 12월 7일 프로이센의 리그니츠 (Liegnitz) — 현재 폴란드의 레그니차 (Legnica) — 의 부유한 유대인 가정에서 태어났습니다. 그의 부모인 이시도르 (Isidor) 와 요한나 (Johanna, 결혼 전 성은 프라우스니처 (Prausnitzer)) 는 그를 리그니츠 김나지움 (Gymnasium) 에 보내기 전에 집에서 개인 과외를 시켰으며, 그는 그곳에서 과학, 역사, 철학을 넘나들었고 수영과 체조도 같은 열정으로 했습니다. 그의 남동생 후고 (Hugo) 는 저명한 생리학자가 되었습니다. 김나지움에서 그의 수학 스승은 에른스트 쿠머 (Ernst Kummer) 였는데, 그는 크로네커의 재능을 알아보고 그것을 이끌어주었습니다. 이 관계는 두 사람의 경력이 계속해서 겹쳤기 때문에 크로네커의 남은 인생을 결정짓게 되었습니다.

그는 1841년 베를린 대학교에 입학하여 천문학, 철학, 수학 사이에서 저울질하다가 1843년 여름 본 (Bonn) 에서 천문학을 공부했고, 1843-44년에는 쿠머를 따라 브레슬라우 (Breslau) 로 갔다가 다시 베를린으로 돌아와 1845년 페터 구스타프 르죄른 디리클레 (Peter Gustav Lejeune Dirichlet) 의 지도하에 대수적 정수론에 관한 학위 논문을 변호했습니다.

수학을 했던 사업가

그가 다음에 한 일은 그가 가진 재능을 고려할 때 특이했습니다. 전혀 학문적인 일이 아니었습니다. 그는 고향으로 돌아가 대규모 농장을 관리하고 가족 사업을 돌보았습니다. 1848년 사촌 파니 프라우스니처 (Fanny Prausnitzer) 와 결혼하여 여섯 자녀를 두었습니다. 그는 약 10년 동안, 부유한 지방 사업가였으며, 틈틈이 독창적인 수학 논문을 발표했는데, 여기에는 갈루아 (Galois) 의 업적을 확장한 1853년 방정식의 대수적 가해성에 관한 회고록과, 군론 (group theory) 을 사용한 5차 방정식에 대한 1850년의 처리(아벨 (Abel) 과 루피니 (Ruffini) 가 이미 불가능하다고 증명한, 근호에 의한 것이 아님) 가 포함되어 있습니다.

사업은 1855년에 그가 베를린으로 돌아와 직책도 필요 없고 급여도 필요 없는 개인 학자로 살아갈 수 있을 만큼 충분히 성공했습니다. 1861년 베를린 아카데미 회원으로 선출되면서 대학에서 강의할 권리를 얻었고, 1862년부터 강의를 시작했습니다. 그는 정교수직 없이 20년 동안 가르쳤습니다. 1866년, 그는 가우스 (Gauss) 와 디리클레의 자리였으며 유럽 수학계에서 가장 권위 있는 직책이라 할 수 있는 괴팅겐 (Göttingen) 의 수학 정교수직을 거절하고 베를린을 택했습니다. 1883년 쿠머가 은퇴했을 때야 비로소 그는 자신을 발견했던 스승의 뒤를 이어 정교수직을 맡았습니다.

정수론의 가장 소중한 꿈

크로네커의 수학은 학문을 닫는 것이 아니라 씨앗을 뿌리는 종류의 수학입니다. 그는 1853년에 나중에 크로네커-베버 정리 (Kronecker-Weber theorem) 가 된 것을 공식화했는데, 그 완전한 증명은 다비트 힐베르트 (David Hilbert) 가 나중에 제공했습니다. 그는 현대 대수의 핵심 결과 중 하나인 유한 생성 아벨 군 (finitely generated abelian groups) 에 대한 구조 정리를 도입했습니다. 그는 타원 함수에 대해 연구했고, 자신이 "가장 사랑하는 젊은 시절의 꿈" (liebster Jugendtraum) 이라고 부른 것을 추측했습니다. 이는 명시적 체류 이론 (explicit class field theory) 에 대한 비전으로, 힐베르트가 나중에 자신의 12번째 문제에 포함시켰으며, 그곳에서 여전히 활발한 연구 프로그램으로 남아 있습니다.

대수적 정수론에서 그는 데데킨트 (Dedekind) 의 이상 (ideals) 이론의 대안으로 제수 (divisors) 이론을 구축했는데, 이는 기술적인 이유가 아닌 철학적인 이유 때문이었습니다. 이상은 무한 집합을 필요로 하는 반면, 제수는 명시적 구성으로 다룰 수 있었기 때문입니다. 데데킨트의 접근 방식이 그 세기를 지배했고, 크로네커의 이론은 20세기가 그것을 다시 부활시킬 때까지 널리 호기심 정도로 취급되었습니다. 그의 이름은 이제 엄청나게 많은 수학 용어에 붙어 있습니다: 크로네커 델타, 크로네커 곱, 크로네커 기호, 크로네커 극한 공식, 크로네커 정리, 크로네커 보조정리, 크로네커-카펠리 정리, 크로네커 치환.

무한에 대한 전쟁

제수 이론을 낳은 철학적 입장은 적대감을 포함한 다른 모든 것을 낳았습니다. 크로네커는 수학이 유한하고 명시적인 구성을 통해 정수로부터 구축되어야 한다고 믿었으며 — 이는 현재 유한주의 (finitism) 라고 불리는 교리로, 그를 직관주의 (intuitionism) 의 선구자로 만들었습니다. 그는 연속성 개념과 실해석학에서 무리수의 재구성에 기여했지만, 철학적 근거를 들어 바이어슈트라스 (Weierstrass) 의 연속이지만 미분 불가능한 함수를 거부했고, 실무한의 위계를 가진 게오르크 칸토어 (Georg Cantor) 의 집합론을 부당하다고 공격했습니다.

그는 이러한 견해를 세미나에 국한하지 않았습니다. 그의 운동은 카를 바이어슈트라스 (Karl Weierstrass) 와의 관계를 매우 악화시켜 1888년 바이어슈트라스는 대학을 떠날 뻔했습니다. 생애 마지막 해에 크로네커는 기독교로 개종했습니다. 그는 1891년 12월 29일 베를린에서 사망하여 쇠네베르크 (Schöneberg) 의 알터 성 마태우스 묘지 (Alter St Matthäus Kirchhof) 에 묻혔습니다.

레오폴트가 천재라 불리는 이유

이 주장은 특수하고 드문 조합에 기반합니다: 구조에 대한 대수학자의 본능과 구성적 내용에 대한 거의 강박적인 요구. 크로네커는 원칙적으로 구축할 수 없는 수학적 대상을 받아들일 수 없었던 것으로 보이며, 이러한 제약은 제한처럼 보이지만 생성기로 작동했습니다. 그것은 제수 이론, 유한 생성 아벨 군 구조 정리, 크로네커-베버 정리, 그리고 "젊은 시절의 꿈"을 낳았고, 이 중 몇 가지는 각 분야를 재구성했습니다. 그의 추측 또한 비정상적으로 정확했습니다. 힐베르트가 그중 하나를 증명하는 데 상당한 노력을 기울이고 다른 하나를 자신의 이름을 딴 문제로 명시한 것은 많은 것을 시사합니다.

솔직한 반론은 수학 전반에 대한 그의 판단이 좋지 않았고, 그 대가가 컸다는 것입니다. 그는 이제 학부 수준의 표준 자료가 된 바이어슈트라스의 병리적 함수에 대해 틀렸습니다. 그는 초한 산술이 기초가 된 칸토어에 대해 틀렸습니다. 그가 선호했던 제수 이론은 거의 한 세기 동안 데데킨트의 이상 이론에 가려져 있었는데, 이는 그의 구성적 양심이 당시에는 실질적인 표현력을 희생시켰음을 시사합니다. 그리고 그는 이러한 확신을 너무나 격렬하게 밀어붙여 바이어슈트라스 수준의 동료를 베를린에서 쫓아낼 뻔했는데, 역사가들은 이를 단순한 엄밀함으로 변명할 수 없었습니다. 공정한 요약은 크로네커가 일류 수학자이자 이류 예언자였다는 것입니다. 그의 정리는 그의 의견보다 훨씬 더 잘 숙성되었으며, 그의 철학적 반론은 그가 의도했던 강령으로서보다는 수학 내에서 영구적인 소수 의견으로서 더 유용함이 입증되었습니다.

유산

그는 1861년 프로이센 과학 아카데미, 1868년 프랑스 과학 아카데미, 1884년 왕립 학회 회원으로 선출되었으며, 소행성 25624 크로네커가 그의 이름을 따왔습니다. 그는 쿠르트 헨젤 (Kurt Hensel), 아돌프 크네저 (Adolf Kneser), 마티아스 레르흐 (Mathias Lerch), 프란츠 메르텐스 (Franz Mertens) 를 지도했으며, 헨젤의 p-진수는 이 구성적 충동의 직접적인 후손입니다. 20세기에 제수 이론이 부활하고 직관주의가 진지한 기초 대안으로 살아남았다는 것은 평생 논쟁에서 졌던 그 사람이 결코 완전히 패배한 것은 아니었음을 의미합니다.