요제프 타이히만: 시장으로 향한 기하학자
그의 1999년 박사 학위 논문 제목은 '함수 해석학의 관점에서 본 무한차원 리군 이론 (The Theory of Infinite-Dimensional Lie Groups from the Point of View of Functional Analysis)'이었습니다. 그 문장에서 그가 전 세계 모든 진지한 양적 금융 컨퍼런스의 프로그램에 등장하거나, 15년 후 프랑스 과학 아카데미의 루이 바슐리에 상 (Louis Bachelier Prize)을 받게 될 인물임을 암시하는 것은 아무것도 없었습니다. 하지만 금리 곡선은 시간 속에서 진화하는 무한차원 객체이며, 요제프 타이히만 (Josef Teichmann)이 이를 깨닫는 순간, 추상 기하학과 채권 시장 사이의 거리는 사실상 매우 짧아졌습니다.
리엔츠에서 빈까지
타이히만은 1972년 8월 27일 오스트리아 티롤주의 리엔츠에서 태어났습니다. 그는 그라츠 대학교에서 수학을 공부한 뒤, 무한차원 미분기하학의 선구자 중 한 명인 페터 W. 미호어 (Peter W. Michor) 밑에서 박사 과정을 밟기 위해 빈 대학교로 옮겼습니다. 1999년에 완성된 그의 논문은 그 세계 한가운데에 있었습니다. 즉, 이 학문을 일반적으로 이끄는 유한차원 직관이 아닌 함수 해석학을 통해 접근한 무한차원 리군이었습니다.
그 후 그는 빈 공과대학교에서 박사후 연구원 자리를 얻었고, 2002년 그곳에서 교수 자격 (Habilitation)을 취득했습니다. 이는 독일어권 학계에서 교수가 되기 위한 정식 면허이며, 그의 경우 경력의 궤적이 바뀐 지점이기도 합니다.
무한 차원, 실제 돈
순수 기하학에서 수리 금융으로의 이동은 경력 변경처럼 보입니다. 하지만 그것은 예시의 변화에 더 가까웠습니다.
고전적인 옵션 가격 결정은 단일 자산 가격을 확률 과정으로 취급하고 그 파생 상품의 가치가 얼마인지 묻습니다. 금리는 더 어렵습니다. 움직이는 것이 숫자가 아니라 곡선이기 때문입니다. 하룻밤부터 30년까지 모든 만기에 걸친 수익률의 전체 기간 구조가 하나의 연결된 형태로 흔들리기 때문입니다. 타이히만이 폭넓게 연구한 히스-자로-모튼 (Heath–Jarrow–Morton) 프레임워크는 그 전체 곡선을 함수 공간 내의 확률 과정으로 모델링합니다. 상태 변수는 무한히 많은 차원에 존재합니다. 이는 기하학자가 던지는 질문, 즉 공간의 모양은 무엇인가, 어떤 부분다양체가 역학에 의해 보존되는가, 흐름은 언제 유한차원 내에 머무르는가 하는 질문이 금융 문제에서 제기되는 질문과 정확히 일치한다는 것을 의미합니다.
이것이 그의 경력에서 반복되는 패턴입니다. 주로 확률과 계산으로 다루어지던 영역에 비정상적으로 강력한 기하학적 도구 상자를 가져와, 다른 사람들이 볼 장비가 없어서 보지 못했던 구조를 찾아내는 것입니다.
거친 경로, 말리아방 미적분학, 쿠바처
그의 확률 해석학 연구는 해당 분야의 가장 기술적인 기계 장치들을 아우릅니다. 무작위 경로 공간에서의 미분인 말리아방 미적분학 (Malliavin calculus)은 다른 방식으로는 접근할 수 없는 민감도와 매끄러움 결과를 제공합니다. 거친 경로 이론 (Rough path theory)과 확률 편미분 방정식 연구는 고전적인 적분을 하기에는 너무 불규칙한 노이즈로 구동되는 방정식을 푼다는 것이 무엇을 의미하는지에 대한 문제를 다룹니다. 아핀 과정 (Affine processes)은 금리 및 변동성 모델링의 대부분을 뒷받침하는 다루기 쉬운 클래스를 제공합니다.
이론과 함께 계산에 대한 지속적인 관심이 있습니다. 확률 미분 방정식을 위한 쿠바처 공식 (Cubature formulas)과 수치 계획은 화려하지는 않지만, 모델이 가격이 되는 방식입니다. 무한차원 공간의 기하학이라는 한쪽 끝과 수치 계획이라는 다른 쪽 끝에서 기꺼이 작업하려는 타이히만의 의지는 드문 일이며, 실무자들이 그를 읽는 큰 이유 중 하나입니다.
시그니처와 무작위화
가장 최근의 전환은 기계 학습을 향하고 있으며, 여기서도 진입점은 유행이 아닌 구조적인 것입니다. 경로의 시그니처 (Signature)는 경로의 모양을 인코딩하는 무한 반복 적분 시퀀스입니다. 이는 엔지니어의 추측이 아닌 거친 경로 이론에서 발생하는 정준 특징 세트입니다. 시그니처 이론과 수리 금융에 대한 타이히만의 강연은 그 결과를 추구합니다. 시그니처가 궤적에 대한 원칙적인 설명을 제공한다면, 금융 시계열에서 작동하는 학습 알고리즘에 원칙적인 입력을 제공할 수 있다는 것입니다.
병행되는 연구는 무작위화와 저장소 컴퓨팅 (Reservoir computing)에 관한 것입니다. 이는 대규모 무작위 시스템을 생성하고 간단한 읽기 계층만 학습시키는 접근 방식입니다. 수학자에게 어필하는 이유는 딥 네트워크가 일반적으로 그렇지 못한 방식으로 동작을 분석할 수 있기 때문입니다. 다른 최근 연구는 점근적 성장의 에르고딕 강건 극대화, 즉 모델 자체가 불확실할 때 장기적으로 자본을 어떻게 증식시킬 것인가에 대한 문제입니다.
취리히
그는 2009년 6월 취리히 연방 공과대학교 (ETH Zürich) 수학과 교수로 부임하여 확률 금융 그룹 내에서 일했습니다. 이 학과는 유럽 대륙에서 현대 수리 금융을 정의하는 데 그 어떤 곳보다 많은 일을 했습니다. 2023년 8월부터는 학과장을 맡고 있습니다. 그는 바슐리에 콜로키움 (Bachelier Colloquiums)과 SIAM 금융 수학 회의부터 국제 산업 응용 수학 대회에 이르기까지 전 세계에서 강연하고 발표합니다.
인정은 여러 방향에서 일찍 찾아왔습니다. 2005년 오스트리아 수학회 상, 2006년 오스트리아 과학 재단의 START상 (젊은 연구자를 위한 오스트리아 최고 권위의 상), 그리고 2014년 프랑스 과학 아카데미의 루이 바슐리에 상을 받았습니다.
요제프가 천재로 불리는 이유
제 앞에는 그에게 이 단어를 적용하는 출처가 없으며, 그것을 만들어내는 것은 부정직할 것입니다. 기록이 뒷받침하는 것은 특정하고 흔하지 않은 인지적 프로필입니다. 즉, 전이 메커니즘으로 배포되는 비정상적인 범위입니다. 금융으로 옮겨가는 대부분의 수학자는 확률론을 가져옵니다. 타이히만은 무한차원 미분기하학을 가져왔는데, 이는 수익률 곡선이 함수 공간의 한 점이고 그 진화가 흐름이라는 것을 알아차리기 전까지는 시장과 명백한 연결 고리가 없는 학문입니다. 한 번 그렇게 하는 것은 좋은 생각입니다. 거친 경로, 아핀 과정, 기계 학습을 위한 시그니처 방법 등으로 반복적으로 그렇게 하는 것은 문제를 계산하는 방법을 묻기 전에 기하학이 무엇인지 습관적으로 묻는 정신을 시사합니다.
두 번째 자질은 아래로 전문화하기를 거부하는 것입니다. 수학자가 점점 더 추상적이거나 점점 더 응용적이 되는 것은 정상입니다. 타이히만은 둘 다를 유지했습니다. 무한차원 공간의 구조에 대해 출판하고, 구현되는 쿠바처 계획에 대해 출판했으며, 바슐리에 상은 바로 그 조합에 대해 수여되는 인정입니다.
정직한 반론은 다음과 같습니다. 그는 고도의 식견을 갖춘 현직 연구 수학자이지, 분야를 재편한 정리에 자신의 이름이 붙은 인물은 아닙니다. 그의 상은 필즈상이나 아벨상이 아니라 국가적 및 학문적 차원의 것입니다. 수리 금융에서 흔히 그렇듯, 그의 가장 많이 인용된 결과물 중 다수는 공동 작업입니다. 그리고 기계 학습 연구는 너무 최근이라 그 내구성이 확립되지 않았습니다. 시그니처 방법은 표준 장비가 될 수도 있고 각주가 될 수도 있으며, 어느 쪽인지 말하기에는 너무 이릅니다. 그는 자기 분야에서 가장 강력하고 다재다능한 수학자 중 하나이며, 이는 천재와는 다른 실질적인 탁월함입니다.
유산
타이히만이 취리히에 구축한 것은 양방향으로 통행하는 다리입니다. 기하학과 확률 해석학은 은행이 실제로 직면한 가격 결정 및 헤지 문제에 피드백을 제공하고, 그 문제들의 난해함은 그 대가로 새로운 순수 수학을 생성합니다. 2023년부터 ETH 수학과를 이끄는 것은 그가 이 연구의 다음 세대가 어떻게 보일지를 결정하는 기관 중 하나를 책임지게 합니다. 무한차원 리군에 대한 논문은 출발점이라기보다는 그가 그 이후로 점점 더 예상치 못한 곳에서 풀어나가고 있는 도구 상자였습니다.
