이스라엘 겔판트: 수학의 길을 닦은 사람

그는 고등학교를 졸업하지 않았고 대학 학부 과정을 단 한 번도 수강한 적이 없었다. 16세 때 모스크바 레닌 도서관에서 문지기로 일하며 생활비를 벌기 위해 야간 초등 산수 수업을 가르쳤고, 틈틈이 대학 강의를 몰래 들었다. 19세 때 콜모고로프의 판단에 따라 모스크바 국립대학교 대학원에 직접 입학 허가를 받았다. 블라디미르 아르놀트는 훗날 두 사람의 차이를 이렇게 표현했다. "콜모고로프는 가장 높은 산을 오르겠지만, 겔판트는 길을 닦기 시작할 것이다."

학교도 학위도 없지만, 모스크바에서

이스라엘 모이세예비치 겔판트(Israil Moiseevic Gelfand)는 1913년 9월 2일 당시 러시아 제국령이자 현재는 우크라이나인 오데사 근처의 오크니에서 태어났다. 1930년 16세의 나이로 중등 교육을 마치지 못한 채 모스크바를 향해 떠났다. 그 후 2년은 즉흥적인 생존과 독학의 시간이었다. 도서관 문지기 일과 모스크바 야간 학교에서 초등 수학부터 고급 과정까지 가르치는 일을 병행하며 스스로 내용을 익혀 나갔다.

그는 모스크바 대학교 강의를 청강생으로 들었고, 첫 강의는 라브렌티예프의 복소 해석학이었다. 1932년 콜모고로프가 그를 연구생으로 받아들였고, A. E. 플레스너와 L. A. 류스테르니크가 있던 함수 해석학 학파에 합류시켰다. 3년 후 22세의 나이로 추상 함수와 선형 연산자에 관한 논문으로 학위를 받았다.

극대 아이디얼의 트릭

1935년 논문에는 그를 정의하는 전략이 이미 나타나 있었다. 일반적인 미적분 도구가 통하지 않는 추상적인 노름 공간 위의 함수를 다룰 때, 겔판트의 전략은 선형 범함수를 적용하는 것이었다. 이를 통해 다루기 힘든 대상을 실수 또는 복소 변수의 일반 함수로 변환한 뒤, 고전 해석학의 모든 무게를 그 위에 싣는 방식이었다.

1938년 가환 노름환에 관한 박사 논문은 이를 일반적인 방법론으로 승화시켰다. 그 핵심 아이디어가 '극대 아이디얼'이었다. 이전까지 함수 대수와 위상 공간은 서로 다른 종류의 대상으로 보였다. 겔판트는 공간의 점들이 대수만으로 극대 아이디얼로서 복원될 수 있음을 보였다. 즉, 추상 대수는 내부에서 재구성할 수 있는 공간 위의 함수 대수라는 의미이다. 동료들은 그를 정확히 평가했다. 극대 아이디얼이라는 근본적인 개념을 밝혀내고, 이전까지 단절되었던 사실들을 하나의 구조로 통합한 것은 겔판트였다.

이 구성은 현재 '겔판트 표현'이라 불리며, 그 대상은 '바나흐 대수'라 불린다. 가장 극적인 성과는 1940년대 초 마르크 나이마르크와의 공동 연구에서 나왔다. 두 사람은 대합(involution)이 있는 비가환 노름환을 다루며, 이들 역시 항상 힐베르트 공간 위의 선형 연산자 대수로 구체적으로 표현될 수 있음을 보였다. 겔판트-나이마르크 정리는 20세기 해석학의 지주 중 하나이며, 양자 역학의 대수적 정식화가 작동하는 이유이기도 하다. 관측량의 추상 대수는 항상 연산자로 실현될 수 있기 때문이다.

동시에 여러 수학 분야를 섭렵한 경력

겔판트는 1935년부터 1941년까지 소련 과학 아카데미에서 일했고, 이후 모스크바 국립대학교 교수가 되었다. 그 이후의 업적은 한 분야에 머물지 않아 요약하기 어렵다.

그는 표현론(유한군에 관한 프로베니우스와 슈어의 연구, 콤팩트군에 관한 바일의 연구)을 비콤팩트군으로 확장했는데, 이는 물리학이 깃든 곳이자 수학적 기계 장치가 훨씬 어려운 분야였다. 미분 방정식의 역 슈투름-리우빌 문제도 연구했다. "이 시스템이 주어졌을 때 어떻게 진동하는가?"가 아니라 "어떻게 진동하는지로부터 시스템이 무엇인지"를 묻는 역문제였다. 게오르기 실로프와 함께 소볼레프와 슈와르츠에 이어 '초함수' 이론을 구축했고, 이를 통해 물리학자들은 수학적 붕괴 없이 디랙 델타 함수 같은 대상을 사용할 수 있게 되었다.

또한 적분 기하학을 발전시켜 라돈 변환 연구도 수행했다. 이는 물체의 단면이나 투영의 집합으로부터 물체를 재구성하는 수학이다. 이것이 의료 영상 처리의 이론적 기반이 되었다. CT 스캔과 MRI는 바로 이 문제를 해결함으로써 살아있는 신체의 3차원 영상을 만들어낸다. 1968년에서 1972년 사이에는 무한 차원 리 대수의 코호몰로지에 관한 연구도 추가했다. 평생 500편 이상의 논문을 발표했다.

세미나

모스크바 세미나는 그 자체로 하나의 기관이었으며, 모스크바 국립대학교에서 매주 열려 살아남은 모든 이들의 기억에 남아 있다. 강의 프로그램이라기보다 즉흥에 가까웠고, 참가자들은 시작 전까지 주제를 모르는 경우가 많았다. 겔판트의 특징적인 기여는 '리프레이밍'이었다. 새로운 문제의 정식화, 예상치 못한 질문, 아무도 시도하지 않은 각도에서 잘 알려진 사물을 보는 경향이었다. 또한 연구 센터에 접근할 수 없는 소련 전역의 학생들에게 본격적인 수학을 전달하는 통신 교육 학교도 설립했다.

그는 사귀기 쉬운 사람은 아니었다. 안드레이 젤레빈스키의 평가는 냉정했다. "세상에서 가장 섬세하고 예의 바른 사람은 아니었다"고 했다. 그를 예측 불가능하다고 느꼈던 알렉산드르 곤차로프조차 그를 "지금까지 만난 사람 중 가장 흥미로운 사람"이라고 불렀다.

생물학, 그리고 그 이유

1958년부터 겔판트는 관심의 상당 부분을 생물학과 의학으로 옮겼고, 1960년 포민과 함께 생물 물리학 연구소를 공동 설립했다. 계기는 개인적인 것이었다. 아들이 백혈병을 앓게 되자 겔판트는 생물학 세미나를 시작했다. 거기서 나온 연구는 기술적이라기보다 구조적이었다. 복잡한 다세포 시스템에서 제어가 어떻게 조직되는지에 대한 일반 원리였으며, X선 분석과 패턴 인식으로 응용이 확장되었다.

왜 이스라엘은 천재라 불리는가

이 단어가 여기서 정당화되는 이유는 명확하다. 겔판트의 재능은 무관해 보이는 두 가지가 같은 것이 되는 추상화의 수준을 찾아내는 데 있었다. 극대 아이디얼에 대한 통찰이 가장 명쾌한 예이다. 대수적 대상과 기하학적 공간이 같은 구조의 두 가지 관점임이 밝혀졌고, 일단 그것이 보이면 별개의 결과들에 관한 방대한 문헌이 단 하나의 정리로 수렴한다. 그는 해석학, 표현론, 미분 방정식, 적분 기하학, 리 이론, 그리고 생물학으로 경계를 넘나들며 이를 반복했다.

아르놀트의 '산과 길'의 구분은 그에 대해 말해진 가장 날카로운 평가이며, 완전히 칭찬만은 아니다. 겔판트는 주로 유명한 난제를 해결하는 사람이 아니었다. 그는 인프라 구축자였으며, 다른 사람들이 다닐 수 있도록 영토를 정비했다. 그의 영향력은 세미나와 학생들을 통해 강하게 흘렀고, 이는 그의 각인이 찍힌 연구의 상당수가 엄밀히 말하면 그 자신의 것이 아님을 의미한다. 그토록 방대한 경력을 쌓으면서도 필즈상을 수상하지 못한 점은 정직하게 짚고 넘어갈 가치가 있다.

반대로 독학은 낭만적인 각주가 아니라 증거이다. 중등 교육을 받지 못한 소년이 지도 없이 콜모고로프가 대학원 입학을 허가하는 수준에 도달했고, 25세까지 함수 해석학을 재편하는 구조적 아이디어를 만들어냈다. 그 능력이 무엇이든, 그것을 가진 사람은 극히 드물다.

유산

영예는 모든 방향에서 끊임없이 쏟아졌다. 1968년부터 1970년까지 모스크바 수학회 회장, 레닌 훈장, 1977년 왕립 학회 펠로우, 1978년 울프상, 1989년 교토상, 1994년 맥아더 펠로우, 2005년 많은 연구 분야에 깊은 영향을 준 공로로 르로이 P. 스틸상 수상. 1989~90년 하버드 대학교에서 가르쳤고, 1990년 미국으로 이주하여 럿거스 대학교의 특별 객원 교수가 되었으며, 그곳에서 고등학생을 위한 겔판트 아웃리치 프로그램을 설립했다. 소련의 통신 교육 학교와 같은 본능이 이식된 것이다.

2009년 10월 5일 뉴저지주 뉴브런즈윅의 로버트 우드 존슨 대학 병원에서 96세의 나이로 사망했으며, 아내 타티아나, 아들 세르게이와 블라디미르, 딸 타티아나, 손주 4명과 증손주 3명이 유족으로 남았다. MRI 스캐너 안에 들어가 본 적이 있는 사람이라면 누구나 그의 수학을 통과한 셈이다.