기꺼이 나는 파에톤처럼 죽을 것이다. 태양에 도달하고 그 모양, 크기, 물질을 배우는 대가라면 말이다.
Eudoxus of Cnidus는 고대 그리스의 천문학자, 수학자, 학자이며 Archytas와 Plato의 제자였다. 그의 모든 저작은 소실되었지만, 일부 단편은 Hipparchus의 천문학 시 Aratus에 대한 주석에 보존되어 있다. Theodosius of Bithynia의 구면론은 Eudoxus의 저작을 기반으로 할 수 있다.
생애
Eudoxus는 현대 터키의 남서쪽 해안에 위치한 도시 Cnidus(Knidos라고도 표기)에서 태어나고 죽었다. Eudoxus의 태어난 해와 죽은 해는 완전히 알려지지 않았지만 범위는 기원전 408년경 – 기원전 355년경, 또는 기원전 390년경 – 기원전 337년경일 수 있다. 그의 이름 Eudoxus는 "존경받는" 또는 "좋은 평판의" εὔδοξος를 의미하며, eu "좋은"과 doxa "의견, 믿음, 명성"에서 나온다. 이는 라틴어 이름 Benedictus와 유사하다.
Eudoxus의 아버지 Aeschines of Cnidus는 밤에 별을 관찰하는 것을 좋아했다. Eudoxus는 먼저 Tarentum으로 여행을 가 Archytas와 함께 공부했으며, 그로부터 수학을 배웠다. 이탈리아에 있는 동안 Eudoxus는 Sicily를 방문하여 Philiston과 함께 의학을 공부했다.
23세에 의사 Theomedon과 함께—Diogenes Laërtius에 따르면 일부는 그가 그의 애인이라고 믿었다—Athens로 여행을 가 Socrates의 추종자들과 함께 공부했다. 그는 결국 Plato와 다른 철학자들의 강의에 여러 달간 참석했지만, 그들이 가진 불일치로 인해 결별했다. Eudoxus는 상당히 가난했고 Piraeus의 아파트만 감당할 수 있었다. Plato의 강의에 참석하기 위해 그는 매일 왕복 7마일 11km를 걸었다. 그의 빈곤으로 인해 친구들이 그를 Heliopolis, Egypt로 보낼 수 있는 충분한 기금을 모았고, 천문학과 수학 연구를 계속했다. 그는 그곳에서 16개월을 살았다. 이집트에서 그는 북쪽으로 Marmara 해의 남쪽 해안 Propontis에 위치한 Cyzicus로 여행했다. 그는 Mausolus의 궁정으로 남쪽으로 여행했다. 여행 중에 그는 많은 자신의 제자들을 모았다.
기원전 368년경 Eudoxus는 그의 제자들과 함께 Athens로 돌아왔다. 일부 출처에 따르면 기원전 367년경 그는 Plato의 Syracuse 기간 동안 아카데미의 우두머리를 맡았고 Aristotle을 가르쳤다. 그는 결국 그의 고향 Cnidus로 돌아갔고, 그곳에서 시 집회에 참석했다. Cnidus에 있는 동안 그는 천문대를 건설했고 신학, 천문학, 기상학에 대해 계속 저술하고 강의했다. 그는 한 명의 아들 Aristagoras와 세 명의 딸 Actis, Philtis, Delphis를 두었다.
수학 천문학에서 그의 명성은 동심 구의 도입과 행성 운동의 이해에 대한 초기 기여 때문이다.
비례에 대한 그의 저작은 실수에 대한 통찰력을 보여준다. 그것은 정수뿐만 아니라 유리수도 연속 양을 엄격하게 다룰 수 있게 한다. 16세기에 Tartaglia와 다른 사람들에 의해 부활했을 때, 그것은 Richard Dedekind에 의해 대체될 때까지 1세기 동안 과학의 정량적 작업의 기초가 되었다.
Mars와 Moon의 분화구는 그의 이름을 따서 명명되었다. Kampyle of Eudoxus라는 대수 곡선도 그의 이름을 따서 명명되었다.
수학
Eudoxus는 고대 그리스 수학자 중 가장 위대한 인물로 여겨지며, 모든 고대에서 Archimedes 다음으로만 여겨진다. Eudoxus는 아마도 Euclid의 원론 5권의 대부분의 근원이었다. 그는 엄격하게 Antiphon의 소진법을 발전시켰으며, 이는 다음 세기에 Archimedes에 의해 정교하게 사용된 적분학의 선구자이다. 이 방법을 적용하면서 Eudoxus는 다음과 같은 수학 명제를 증명했다: 원의 넓이는 그들의 반지름의 제곱으로 서로 비례하며, 구의 부피는 그들의 반지름의 세제곱으로 서로 비례하고, 피라미드의 부피는 같은 밑과 높이를 가진 프리즘 부피의 3분의 1이며, 원뿔의 부피는 대응하는 원기둥의 3분의 1이다.
Eudoxus는 직선, 각, 넓이, 부피와 같은 연속 기하학적 실체를 설명하고 작업하기 위해 정량화되지 않은 수학적 크기의 개념을 도입했으며, 이로써 무리수의 사용을 피했다. 이렇게 함으로써 그는 수와 산술에 대한 피타고라스 강조를 역전시켰고, 대신 엄격한 수학의 기초로 기하학적 개념에 초점을 맞췄다. Eudoxus의 스승 Archytas와 같은 일부 피타고라스 주의자들은 산술만이 증명의 기초를 제공할 수 있다고 믿었다. 인정할 수 없는 양을 이해하고 작동시킬 필요성에 의해 유도된 Eudoxus는 명시적 공리에 기반한 수학의 첫 번째 연역적 조직을 확립했을 수 있다. Eudoxus의 초점 변화는 2천 년 동안 지속된 수학의 분열을 자극했다. 실제 문제와 관계없는 그리스 지적 태도와 결합하여, 산술과 대수 기법 개발에서 상당한 후퇴가 있었다.'
피타고라스 주의자들은 정사각형의 대각선이 정사각형의 변과 공통 측정 단위가 없다는 것을 발견했다. 이것은 2의 제곱근이 두 정수의 비로 표현될 수 없다는 유명한 발견이다. 이 발견은 정수와 유리 분수를 초과하는 정량화할 수 없는 양의 존재를 알렸지만, 동시에 기하학 전체의 측정과 계산의 개념에 의문을 제기했다. 예를 들어, Euclid는 영역 추가를 사용하여 피타고라스 정리 원론 I.47의 정교한 증명을 제공하고, 훨씬 나중에 원론 VI.31에서 선분의 비율에 의존하는 유사한 삼각형의 더 간단한 증명을 제공한다.
고대 그리스 수학자들은 오늘날 우리가 하는 것처럼 양과 방정식으로 계산하지 않았지만, 대신 양 사이의 관계를 표현하기 위해 비례를 사용했다. 따라서 두 유사 양의 비율은 단지 오늘날 우리가 생각하는 수치 값이 아니었다. 두 유사 양의 비율은 그들 사이의 원시적 관계였다.
Eudoxus는 두 비율 사이의 동일성의 의미에 대한 놀라운 정의를 제공함으로써 비례의 사용에 대한 신뢰를 회복할 수 있었다. 이 비례의 정의는 Euclid의 5권을 구성한다.
Euclid의 5권의 정의 5에서 우리는 다음을 읽는다:
크기는 같은 비율에 있다고 말해진다. 첫 번째 대 두 번째, 세 번째 대 네 번째는 첫 번째와 세 번째의 어떤 등배수든 취해지고 두 번째와 네 번째의 어떤 등배수든 취해질 때, 전자의 등배수는 마찬가지로 초과하고, 마찬가지로 같거나, 마찬가지로 대응 순서대로 취한 후자의 등배수에 미치지 못한다.
현대식 표기법을 사용하면 이는 다음과 같이 명확해진다. 네 개의 양을 취하자: a, b, c, d, 그러면 첫 번째와 두 번째는 비율 a / b를 가진다.
이제 a / b = c / d라고 말하기 위해 우리는 다음을 한다: 임의의 두 정수 m과 n에 대해 첫 번째와 세 번째의 등배수 m·a와 m·c를 형성하고, 두 번째와 네 번째의 등배수 n·b와 n·d를 형성한다.
m·a > n·b인 경우가 발생하면 m·c > n·d도 있어야 한다. m·a = n·b인 경우가 발생하면 m·c = n·d도 있어야 한다. 마지막으로 m·a < n·b인 경우가 발생하면 m·c < n·d도 있어야 한다.
정의는 유사한 양 m·a와 n·b, 그리고 유사한 양 m·c와 n·d를 비교하는 것에 의존하며, 이 양들을 측정하는 공통 단위의 존재에 의존하지 않는다는 점을 주목하라.
정의의 복잡성은 관련된 깊은 개념적, 방법론적 혁신을 반영한다. 그것은 평행선에 대한 Euclid의 유명한 다섯 번째 공준을 떠올리게 한다. 이는 다른 공준보다 표현에서 더 광범위하고 복잡하다.
Eudoxus의 비례 정의는 현대의 극한과 연속성의 엡실론-델타 정의처럼 "모든 ..."의 한정자를 사용하여 무한과 무한소를 제어한다.
추가로, Euclid의 5권 정의 4로 명시된 Archimedean 성질은 원래 Archimedes가 아니라 Eudoxus에 기인한다.
천문학
고대 그리스에서 천문학은 수학의 한 분야였다. 천문학자들은 천체 운동의 외관을 모방할 수 있는 기하학적 모델을 만들기를 원했다. Eudoxus의 천문학 저작을 별도의 범주로 식별하는 것은 따라서 현대의 편의이다. 이름이 살아남은 Eudoxus의 천문학 저작 일부는 다음을 포함한다:
- 태양의 소실, 아마도 일식에 관한
- Oktaeteris Ὀκταετηρίς, 달력의 8년 음력-Venus 주기에 관한
- Phaenomena Φαινόμενα와 Entropon Ἔντροπον, 구체적 천문학에 관한, 아마도 Eudoxus가 Egypt와 Cnidus에서 한 관찰에 기반한
- 속도에 관하여, 행성 운동에 관한
우리는 Phaenomena의 내용에 대해 상당히 잘 알고 있다. 왜냐하면 Eudoxus의 산문 텍스트는 Aratus의 같은 이름의 시의 기초였기 때문이다. Hipparchus는 Aratus에 대한 자신의 주석에서 Eudoxus의 텍스트를 인용했다.
Eudoxus의 행성 모델
On Speeds의 내용에 대한 일반적인 아이디어는 Aristotle의 형이상학 XII, 8과 Aristotle의 또 다른 저작인 De caelo에 대한 Simplicius of Cilicia 6세기 AD의 주석에서 얻을 수 있다. Simplicius가 보도한 이야기에 따르면 Plato는 그리스 천문학자에게 한 질문을 제기했다: "균일하고 질서 있는 운동의 가정에 의해 행성의 겉보기 운동이 어떻게 설명될 수 있는가?" Lloyd 1970, p. 84에서 인용. Plato는 행성의 겉보기상 혼란스러운 방황 운동이 구형 지구를 중심으로 한 균일한 원형 운동의 조합으로 설명될 수 있다고 제안했다. 이는 기원전 4세기에는 아마도 새로운 아이디어였던 것 같다.
Eudoxus 모델의 대부분의 현대 재구성에서 달은 세 개의 구로 할당된다:
- 가장 바깥쪽은 24시간에 한 번 서쪽으로 회전하여 상승과 설정을 설명한다.
- 두 번째는 동쪽으로 한 달에 한 번 회전하여 황도대를 통한 달의 월간 운동을 설명한다.
- 세 번째는 또한 한 달에 한 번 공전을 완성하지만 축이 약간 다른 각도로 기울어져 있어 황도에서의 편차인 위도의 운동과 달의 노드의 운동을 설명한다.
태양도 세 개의 구로 할당된다. 두 번째는 한 달 대신 1년 안에 운동을 완성한다. 세 번째 구의 포함은 Eudoxus가 태양이 위도의 운동을 가진다고 잘못 믿었음을 암시한다.
다섯 개의 가시 행성 Venus, Mercury, Mars, Jupiter, Saturn은 각각 네 개의 구로 할당된다:
- 가장 바깥쪽은 일일 운동을 설명한다.
- 두 번째는 황도대를 통한 행성의 운동을 설명한다.
- 세 번째와 네 번째는 함께 행성이 느려지는 것처럼 보이다가 황도대를 통한 운동을 간단히 역전하는 역행을 설명한다. 두 구의 축을 서로 기울이고 반대 방향으로 같은 기간으로 회전함으로써 Eudoxus는 내부 구의 한 지점이 피곡선 또는 hippopede라 불리는 숫자-8 모양을 추적하게 할 수 있었다.
Eudoxus 시스템의 중요성
기원전 4세기의 그리스 천문학자 Callippus는 Eudoxus의 원래 27개에 일곱 개의 구를 추가했다. 행성 구에 추가하여 Eudoxus는 고정된 별을 위한 구를 포함했다. Aristotle은 두 시스템을 모두 설명했지만, 각 구의 집합 사이에 "펼침" 구를 추가하여 외부 집합의 운동을 취소할 것을 주장했다. Aristotle은 시스템의 물리적 성질에 대해 걱정했다. 펼침 없이 외부 운동이 내부 행성으로 전달될 것이다.
Eudoxus 시스템의 주요 결함은 지구에서 본 행성의 밝기 변화를 설명할 수 없다는 것이다. 구들이 동심이므로 행성은 항상 지구로부터 같은 거리에 머물게 된다. 이 문제는 고대에 Autolycus of Pitane에 의해 지적되었다. 천문학자들은 행성이 거리를 변하게 하는 종원과 소원을 도입하여 대응했다. 그러나 Eudoxus의 그리스 천문학에 대한 중요성은 상당하다. 왜냐하면 그는 행성에 대한 수학적 설명을 시도한 첫 번째 사람이었기 때문이다.
윤리
Aristotle은 Nicomachean Ethics에서 쾌락주의를 선호하는 논변을 Eudoxus에 귀속시킨다. 즉, 쾌락이 활동이 추구하는 궁극의 선이라는 것이다. Aristotle에 따르면 Eudoxus는 이 입장에 대해
