아리에 이세를스(Arieh Iserles): 컴퓨터가 기하학을 존중하게 만들기
별을 공전하는 행성은 영원히, 정확히 그 에너지를 보존한다. 표준 수치법을 사용하여 컴퓨터에서 그 궤도를 시뮬레이션하면 에너지가 표류하게 된다. 물리학이 그렇게 말해서가 아니라 산술에 누수가 생기기 때문에 행성은 천천히 태양으로 나선형을 그리며 빨려 들어가거나 어둠 속으로 멀어진다. 아리에 이세를스(Arieh Iserles)는 이것이 용납될 수 없다고 판단하고 방정식이 암호화하는 법칙을 따르는 알고리즘을 구축하기 시작한 수학자 그룹에 속한다.
예루살렘에서 캠강까지
이세를스는 1947년 9월 2일에 태어나 예루살렘 히브리 대학교와 네게브 벤구리온 대학교에서 공부했다. 그의 박사 학위 논문은 좁아 보이지만 전혀 그렇지 않은 주제인 강성 상미분 방정식을 위한 수치법에 관한 것이었다.
강성(stiffness)은 시스템이 완전히 다른 시간대에 걸쳐 실행되는 프로세스를 포함할 때마다 나타나는 병리 현상이다. 예를 들어 한 단계는 마이크로초가 걸리고 다른 단계는 몇 시간이 걸리는 화학 반응이 이에 해당한다. 단순한 수치법은 아무런 흥미로운 일이 일어나지 않을 때에도 가장 빠른 프로세스의 속도로 기어갈 수밖에 없으며, 계산 비용이 감당할 수 없을 정도로 커진다. 강성을 제대로 해결하는 것은 20세기 과학 컴퓨팅의 중심적인 실무 문제 중 하나였으며, 연속 수학과 이산 기계 사이의 부조화에 평생을 바칠 사람에게는 훌륭한 훈련 장소이다.
단 한 번의 우회를 거친 케임브리지
그는 1978년 킹스 칼리지의 주니어 연구 펠로우로 케임브리지에 왔고, 1982년 시니어 연구 펠로우가 되었으며, 1986–87년에는 애리조나 대학교의 부교수로 재직했다. 그런 다음 그는 돌아와서 정착했다.
그는 1987년부터 1995년까지 케임브리지 대학교 강사였고, 1995년부터 1999년까지 수치해석학 리더였으며, 1999년부터는 디라크와 호킹이 연구했던 부서인 응용 수학 및 이론 물리 학과(DAMTP)에서 미분 방정식 수치해석학 교수로 재직 중이다. 2010년부터 2015년까지 그는 케임브리지 분석 센터를 이끌었다.
기하학적 적분
이세를스 연구 삶의 중심 아이디어는 미분 방정식이 구조를 담고 있으며, 좋은 수치법은 이를 보존해야 한다는 것이다.
어떤 시스템은 에너지를 보존한다. 어떤 시스템은 위상 공간의 부피를 보존한다. 어떤 시스템은 곡면 다양체 위에서 진화한다. 예를 들어 회전하는 강체는 그 상태가 회전 그룹 위에 존재하며 얼마나 오래 기다리든 그곳을 절대 떠날 수 없다. 전통적인 수치법은 이에 대해 전혀 알지 못한다. 그것들은 다음 단계를 근사하고 작은 오차를 허용하며, 긴 시뮬레이션에 걸쳐 이러한 작은 오차들이 누적되어 질적 넌센스가 된다. 회전 행렬이 회전이기를 멈추고, 에너지가 표류하며, 궤도가 어떤 추가 정밀도로도 고칠 수 없는 방식으로 잘못된다.
기하학적 수치 적분은 불변량을 정확히 존중하는 방법들을 설계함으로써 이를 공격한다. 해밀턴 시스템을 위한 심플틱 적분기, 부피 보존 방법, 그리고 리 군(Lie group)에 사는 시스템이 그곳에 머물도록 구축된 체계가 그것이다. 이세를스의 자신의 기여는 이를 위한 기계 장치, 즉 행렬 지수(matrix exponential)의 근사, 특히 리 대수를 리 군으로 올바르게 매핑하는 방법, 그리고 등스펙트럼 유동(isospectral flows)과 리-푸아송 구조(Lie–Poisson structures)의 분석 주변에 집중되어 있다.
진동, 또 다른 어려운 사례
그의 두 번째 주요 영역은 고도로 진동하는 현상, 즉 해가 매우 빠르게 흔들리는 문제들이다.
이것은 직관에 반하는 이유로 표준 수치 해석에 있어서 진정한 악몽이다. 일반적인 구적법(quadrature)은 샘플링 방식으로 작동한다. 함수가 샘플링하는 것보다 더 빨리 진동하면 아무것도 알 수 없으며, 고전적인 대응책은 더 빨리 샘플링하는 것이다. 이는 문제가 나빠질수록 비용이 더 많이 든다. 이세를스는 고도로 진동하는 적분을 위한 효과적인 이산화 방법, 즉 주목할 만하게도 높은 진동이 장애물에서 장점으로 바뀔 수 있으며 주파수가 상승함에 따라 정확도가 붕괴되는 것이 아니라 향상되는 일련의 기술을 연구했다. 그는 이 접근법을 미분 방정식과 연산자의 스펙트럼으로 확장하고, 여러 상호 작용하는 진동 척도를 가진 방정식을 위한 지수 적분기를 개발했다.
그의 전체 연구 범위는 상미분 및 편미분 방정식, 근사 이론, 직교 다항식, 함수 방정식, 계산 역학을 포괄한다.
문지기
이세를스는 자신의 분야 기관들에서 예외적으로 중심적인 위치를 차지해 왔다. 그는 이 분야의 입장을 본질적으로 대변하는 연례 리뷰 볼륨인 악타 누메리카(Acta Numerica)의 책임 편집자이며, IMA 수치해석학 저널(IMA Journal of Numerical Analysis)의 편집장이자 다른 곳의 이사회 직책을 맡고 있다. 1997년부터 2000년까지 그는 계산 수학 기초 학회를 의장으로서 이끌었다.
또한 그는 케임브리지 대학교 출판부에서 출판하고 현재 제2판에 이른 미분 방정식의 수치해석학 입문(A First Course in the Numerical Analysis of Differential Equations)을 저술했다. 이는 전 세계의 수많은 대학원생들에게 이 과목을 가르쳐 준 책이다.
아리에가 천재라 불리는 이유
드러난 지적 자질은 일종의 구체적인 반전이다. 문제를 어렵게 만드는 속성을 반복적으로 가져와서 솔루션을 작동하게 만드는 속성으로 바꾸는 것이다. 가장 명확한 경우는 고속 진동 적분으로, 표준 프레임워크는 빠른 진동을 오버샘플링해야 할 적으로 취급하지만 이세를스가 연구한 방법은 진동이 증가할수록 더 좋아진다. 기하학적 적분은 더 높은 수준에서 동일한 움직임을 포함한다. 미분 방정식을 근사해야 할 공식으로 취급하는 것을 멈추고, 그 구조가 보존되어야 하는 기하학적 객체로 취급하기 시작하는 것이다. 그러한 재구성은 기술적 기교보다 더 희귀하고 어렵고, 전체 커뮤니티가 자신이 하고 있다고 생각하는 바를 바꾼다.
공정하게 평가하자면 그에 대한 인정은 상당하지만 봉사 중심적이다. 온사거 메달(Onsager Medal)은 1999년에 수여되었다. 데이비드 크라이턴 메달(David Crighton Medal)은 2012년에 이어졌으며 명시적으로 "수학과 수학 커뮤니티에 대한 봉사"로 수여되었다. 전문직에 대한 SIAM 공헌상(SIAM Prize for Distinguished Service to the Profession)은 2014년에 주어졌다. 그 세 가지 중 두 가지는 자체 인용문에 따르면 발견이 아니라 봉사에 관한 것이다.
따라서 반대 사례도 실재한다. 룽게-쿠타나 뉴턴 방법처럼 이세프스의 이름이 붙은 정리는 없다. 기하학적 적분은 하이러(Hairer), 루비치(Lubich), 바너(Wanner), 마스덴(Marsden), 맥클라클란(McLachlan) 등과 같은 커뮤니티에 의해 구축되었으며, 그는 독보적인 저자가 아니라 중요한 기여 자 중 한 명이다. 그가 측정할 수 있는 가장 큰 영향력은 편집 및 교육적인 것일 수 있다. 즉, 악타 누메리카 운영, IMA 저널 운영, 표준 입문서 집필 등이 그것이다. 그를 천재라고 부르는 기록은 접근 가능한 출처 어디에도 없다. 그는 뛰어난 응용수학자이자 예외적인 기관 건설자이며, 그 문장의 후반부는 찬사자들이 대개 인정하는 것보다 더 많은 역할을 하고 있다.
유산
이세를스는 1987년부터 근무해 온 DAMTP 부서에 계속 머물고 있다.
그가 주도하는 것을 도운 프로그램은 조용히 승리를 거두었다. 심플틱 및 구조 보존 적분기는 이제 분자 역학, 천체 역학, 플라즈마 물리, 가속기 설계 등 시뮬레이션이 아주 오랜 시간 동안 실행되어야 하고 끝날 때 여전히 신뢰할 수 있어야 하는 모든 곳에서 표준이 되었다. 그 이면의 통찰력은 기술적인 것만큼이나 철학적이다. 수치법은 방정식을 근사하기 위한 중립적인 도구가 아니다. 그것은 그 자체로 하나의 작은 동적 시스템이며, 부주의하게 구축하면 존재하지 않는 우주에 대한 이야기를 들려줄 것이다.
