ヨーゼフ・タイヒマン：市場に向かった幾何学者
彼の1999年の博士論文のタイトルは「関数解析の観点からの無限次元リー群の理論」であった。この文章から、彼が地球上のあらゆる真面目な数理ファイナンス会議のプログラムに名を連ね、15年後にフランス科学アカデミーのルイ・バシュリエ賞を受賞するような人物になることを示唆するものは何もない。しかし、金利曲線は時間とともに進化する無限次元の対象であり、ヨーゼフ・タイヒマンがそのことに気づいたとき、抽象幾何学と債券市場との距離は実に短いものであることが判明した。
リエンツからウィーンへ
タイヒマンは1972年8月27日、オーストリアのチロル州リエンツで生まれた。彼はグラーツ大学で数学を学び、その後ウィーン大学に移り、無限次元微分幾何学の第一人者であるペーター・W・ミヒョル (Peter W. Michor) の指導の下で博士課程の研究を行った。1999年に完成したこの論文は、まさにその世界に位置づけられていた。すなわち、この分野を通常導く有限次元の直感ではなく、関数解析を通じてアプローチされる無限次元リー群である。
その後、彼はウィーン工科大学でポストドクトラル・フェローの職に就き、2002年にそこでハビリタシオン（ドイツ語圏の大学で教授資格を取得するための制度）を取得した。これが、彼のキャリアの転換点となった。
無限の次元、現実のお金
純粋幾何学から数理ファイナンスへの移行はキャリアチェンジのように見えるが、実際には例を変えたに近いものであった。
古典的なオプション価格設定は、単一の資産価格を確率過程として扱い、その派生商品の価値を問うものである。金利はより困難である。なぜなら、動くのは数値ではなく曲線だからである。つまり、翌日から30年までのあらゆる満期にわたる利回りの期間構造全体が、一つのつながった形状として変動する。タイヒマンが広範囲にわたって取り組んできたヒース・ジャロウ・モートン (Heath–Jarrow–Morton) フレームワークは、その曲線全体を関数空間における確率過程としてモデル化する。状態変数は無限の次元に存在し、これは幾何学者が問う質問、つまり「空間の形状は何か」、「どの部分多様体がダイナミクスによって保存されるか」、「フローが有限次元の族の中に留まるのはいつか」といった問いが、そのまま金融問題が投げかける問いであることを意味する。
これが彼のキャリアにおける繰り返しのパターンである。確率論と計算で主に扱われてきた領域に、並外れて強力な幾何学的ツールキットを持ち込み、探求する装備を持たなかったために他者には見えなかった構造を発見するのである。
ラフパス、マリアバン計算、求積法
彼の確率解析における研究は、この分野で最も技術的なメカニズムの全域に及んでいる。マリアバン計算 (Malliavin calculus) — ランダムな経路空間上の微分計算 — は、そうでなければアクセス不可能な感応度と平滑性の結果を提供する。ラフパス理論 (Rough path theory) と確率偏微分方程式の研究は、古典的な積分には不規則すぎるノイズによって駆動される方程式を解くとはどういうことか、という問題に取り組む。アフィン過程は、金利とボラティリティのモデル化の多くを支える扱いやすいクラスを提供する。
理論と並んで、計算に対する絶え間ない関心がある。確率微分方程式のための求積公式や数値スキームは華やかではないが、それがモデルを価格にする方法である。無限次元空間の幾何学という一方の極と、数値スキームという他方の極の両方で取り組もうとするタイヒマンの姿勢は異例であり、専門家たちが彼を読み込む大きな理由となっている。
シグネチャとランダム化
最近の転換点は機械学習に向かっており、ここでも入り口は流行ではなく構造的なものである。経路のシグネチャ (Signature) は、経路の形状を符号化する反復積分の無限数列であり、エンジニアの推測ではなくラフパス理論から生じる標準的な特徴量セットである。シグネチャ理論と数理ファイナンスに関するタイヒマンの講演は、その帰結を追求している。すなわち、シグネチャが軌道の原理的な記述を与えるのであれば、金融時系列データを操作する学習アルゴリズムに原理的な入力を与えることになる。
並行するラインは、ランダム化とリザーバーコンピューティングに関するものである。これは、大規模なランダムシステムを生成し、単純な読み出し層のみを訓練するアプローチである。数学者にとってのその魅力は、深層ネットワークでは一般的にできないような方法でその振る舞いが解析可能であるという点にある。その他の最近の研究には、漸近的成長のエルゴード的なロバスト最大化がある。これは、モデル自体が不確実である場合に、長期的に資本をどのように成長させるかという問題である。
チューリッヒ
彼は2009年6月、ETHチューリッヒの数学科の教授に就任し、数理ファイナンス・グループで活動した。このグループは、現代数理ファイナンスを定義するために欧州大陸で他のどの部門よりも多くの貢献をしてきた部門である。2023年8月からは同部門の学科長を務めている。彼はバシュリエ・コロキウムやSIAM数理ファイナンス会議から、国際産業応用数学会議に至るまで、世界中で講演やプレゼンテーションを行っている。
評価は早期に、いくつかの方向から得られた。2005年のオーストリア数学会賞、2006年のオーストリア科学基金によるSTART賞（オーストリアの若手研究者にとって最も権威のある賞）、そして2014年のフランス科学アカデミーのルイ・バシュリエ賞である。
なぜヨーゼフは天才と呼ばれるのか
私の前にあるどの情報源も彼にその言葉を当てておらず、それを捏造するのは不誠実だろう。記録が裏付けているのは、転移メカニズムとして展開される、特殊で珍しい認知的プロファイルである。ファイナンスに参入する数学者のほとんどは確率論を持ち込む。タイヒマンは無限次元微分幾何学を持ち込んだ。これは、利回り曲線が関数空間の一点であり、その進化がフローであると気づくまでは市場との明確な関連がない主題である。それを一度行うのは良いアイデアだが、それを何度も繰り返し — ラフパス、アフィン過程、機械学習のためのシグネチャ手法へと — 行うことは、計算方法を問う前に、問題の幾何学はどうなっているかを習慣的に問う精神を示唆している。
第二の資質は、専門性を狭めることの拒絶である。数学者が着実に抽象的になるか、着実に実用的になるのは普通のことである。タイヒマンはその両方を保持し、無限次元空間の構造と実装される求積スキームの両方について出版しており、バシュリエ賞はまさにその組み合わせに対して授与された評価である。
正直な反論として、彼は高い評価を受ける現役の研究数学者であり、分野を再編成した定理に名前が残るような人物ではない。彼の受賞歴はフィールズ賞やアーベル賞のような国際的なものではなく、国内および学術分野的なものである。彼の最も引用されている成果の多くは、数理ファイナンスで普通のことである共同研究によるものである。また、機械学習の研究は最近のものであるため、その永続性は確立されていない。シグネチャ手法が標準装備になるか脚注になるかはまだ時期尚早である。彼はその分野で最も強力で多才な数学者の一人であり、それは真の卓越した資質であり、天才とは異なるものである。
遺産
タイヒマンがチューリッヒで築き上げたのは、双方向に交通が行き交う橋である。幾何学と確率解析が銀行が実際に直面する価格設定やヘッジ問題に供給し、それらの問題の難解さがその見返りとして新しい純粋数学を生み出している。2023年からETH数学科の学科長を務めることは、この研究の次世代がどのようなものになるかを決定する機関の一つを指揮する立場にあることを意味する。無限次元リー群に関する論文は、出発点というよりも、彼がそれ以来、ますますありそうもない場所で解き明かしてきた一連のツールであったことが判明した。
