ヤノシュ・ガランボシュ（Janos Galambos）: 最悪ケースの数学

統計学の大部分は中央値 — 平均値、典型的な値、通常起こることに関するものである。ヤノシュ・ガランボシュ（Janos Galambos）は、その反対の端にキャリアを費やした。すなわち、一世紀に一度の大洪水、ポートフォリオにおける最大の請求、サンプル中の単一の最悪の観測値である。1978年、彼はその主題を体系化した本を出版し、彼の名前を聞いたこともないエンジニアたちがそれ以来、その結論に基づいて構築を続けている。

ジルク

ガランボシュ（Galambos）は1940年9月1日にハンガリー西部のバコニ丘陵にある小さな町ジルク（Zirc）で生まれた。ここはシトー会修道院で最もよく知られている。彼は1958年にブダペストのエトヴェシュ・ロラーンド大学に入学し、1963年に23歳でそこで博士号を取得した。

彼の指導教官はアルフレッド・レニ（Alfréd Rényi）であった。それが彼の形成期に関する最も重要な事実である。レニはハンガリーの確率論の支配的な人物であり、エルデシュ（Erdős）とともに両者の名前を冠したランダムグラフモデルを共同執筆し、恐れを知らないある種の組み合わせ論的スタイル（確率論を他の分野、特に数論の問題をこじ開けるためのツールとして使用すること）を特徴とする学派の創始者であった。ガランボシュはその手法を吸収し、決して手放さなかった。

ブダペスト、レゴン、イバダン、フィラデルフィア

彼は1964年から1965年にかけて助教としてエトヴェシュ・ロラーンド大学にとどまった。その後、彼はそこを去り、その経歴はゆっくりと読む価値がある。

1965年から1969年まで、彼はレゴンのガーナ大学で講義を行った。1969年から1970年まで、彼はナイジェリアのイバダン大学で講義を行った。1970年になって初めて、彼はフィラデルフィアのテンプル大学に到着し、2012年に退職するまでの42年間、そこで教員として留まり続けた。

独立直後の時期に西アフリカで5年間数学を教えたことは、確率論者の履歴書における標準的な経歴ではない。それはガーナやナイジェリアの新設大学が急速にスタッフを充填していた時代であり、レニの博士号を持つ若いハンガリー人はまさに彼らが採用したような人材であった。それが何であれ、キャリアを最適化するための動きでは決してなかった。

極値

彼が記憶されている業績は、極値順序統計量（極値の数学、すなわち最大値と最小値）に関するものである。

中心的な疑問は、一見すると単純である。ある分布から大きなサンプルを取り出し、最大の値だけを記録する。サンプルが大きくなるにつれて、その最大値の分布はどのように見えるか。驚くべきことに、その答えは、何から始めたかに関係なく、ごく少数の極限形状のファミリーの1つに収束するというものである。それは中心極限定理と同じくらい独自の意味で驚くべき結果であり、恐れているものが平均ではなく外れ値である場合、はるかに有用である。

The Asymptotic Theory of Extreme Order Statistics（1978年にWiley社から出版）は、その理論に体系的な現代的処置を与えた。同書は1984年にロシア語に翻訳され、2001年には中国語版が出版された。これは、数学的テキストがどれほど遠くまで広まったかを示す、粗削りではあるが信頼できる指標である。ガランボシュは、数学界がその主題にアプローチする方法を大幅に形作った人物として記憶されており、極値分布のためのノンパラメトリック検定を含め、直接的な実用的用途の方向にそれを拡張した。

H. A. デヴィッド（H. A. David）とともに、彼は1974年に順序統計量の随伴量（concomitants）に関する記念碑的な論文を執筆した。これは、1つ目の測定値に基づいて選択を行ったとき、2つ目の相関する測定値に何が起こるかという問題である。部屋の中で一番背の高い男性が必ずしも一番重いとは限らない理由を一度でも不思議に思ったことがあるなら、それはその疑問の一種を問いかけていることになる。

バールとしての確率論

レニの遺産は、ガランボシュのもう一つの研究分野、すなわち偶然性とは全く関係のない問題を攻撃するために確率論を使用するという点に最も明確に表れている。

Representations of Real Numbers by Infinite Series（Springer、1976年）は、数の展開における数字を確率変数であるかのように扱い、ほとんどすべての数がどのように見えるかを問いかけている。彼は確率論的手法によって算術的および乗法的な関数の研究に取り組んだ。それはレニとトゥラン（Turán）が作り上げるのを助けた確率論的数論という分野である。そして彼は、確率論と数論の両方で同時に作用するグラフ篩（ふるい）不等式を開発し、さらに、それらの重なりに関する部分的な情報しか得られていない場合に事象の和集合の確率を上から抑えるボンフェローニ型不等式に関する長期的なプログラムを展開した。

そのプログラムから、イタロ・シモネッリ（Italo Simonelli）との共著による Bonferroni-Type Inequalities with Applications（1996年）が生まれ、後に同じ協力者との共著で Products of Random Variables（2004年）が生まれた。その他の業績として、サミュエル・コッツ（Samuel Kotz）との共著による Characterizations of Probability Distributions（1978年）、Introductory Probability Theory（1984年）、Advanced Probability Theory（1995年）がある。合計で130を超える論文と8冊の本に達した。

なぜヤノシュが天才と呼ばれるのか

名前を挙げるに値する特定の資質は統一性である。それは、一見無関係に見える問題が骨格を共有していることを見抜く能力である。ガランボシュのボンフェローニ不等式、グラフ篩の結果、実数の数字に関する研究、および極値理論はすべて、同じ根底にある直感に基づいている。すなわち、稀な構成に関する疑問と数の構造に関する疑問は、異なる衣服を着た同じ疑問であるという直感である。その直感はある程度までしか教えることができず、彼はそれを早い段階から明らかに持っていた。23歳でのレニの下での博士号取得は、決して小さなことではない。

その評価は、その言葉を過度に裏付けることなく強力な評判を支えている。彼は1993年にハンガリー科学アカデミーの外部会員に選出され（母国が海外での20年を経て彼を呼び戻した）、2001年にはスペイン王立工学アカデミーの対応会員、国際統計学会の会員、および数理統計学会のフェロー（Fellow）に選出された。

しかし、反対の視点も冷静である。正典の中に「ガランボシュの定理」は存在しない。彼の偉大な著書は、理論を創始したというよりはむしろ、フィッシャー（Fisher）、ティペット（Tippett）、グネデンコ（Gnedenko）などによって大部分が構築された理論を体系化したものである。彼はその分野の最も優れた組織者兼解説者であり、それはその創始者であることとは異なる、より小さな主張である。アカデミーへの選出は50代や60代になってからであり、ブレイクスルーの瞬間というよりも、蓄積された貢献が称えられたものであった。そして、彼が亡くなったときに同僚たちが実際に口にした賛辞は、決して卓越した才能に関するものではなかった。「インスピレーションを与える教師であり、メンターであった」と記憶されているのである。それこそが、彼を知る人々が記録に残すことを選んだことであり、書かれたままにしておかれるべきである。

遺産

ガランボシュは2019年12月19日に79歳で亡くなり、妻のエヴァ（Éva）が後に残された。

彼の研究対象はますます緊急性を増している。極値理論は現在、洪水防御設計、災害再保険の価格設定、構造安全性コード、および金融リスクモデリングの数学的基礎となっている。これらはすべて、まだ起こっていない、あるいは一度しか起こらないかもしれないイベントについて決定を下さなければならないすべての分野である。気候変動により、前例のない最大値についてどのように推論するかという問題は、今世紀を規定する技術的問題の1つとなっている。

フィラデルフィアに定住する前レゴンやイバダンで教鞭を執ったジルクの男は、それについての本を書いた。それを活用している人々のほとんどは彼の名前を知ることは決してないだろう。それは、機能する数学にほぼ起こることそのものである。