イスラエル・ゲルファント：数学の道を切り拓いた男

彼は高校を卒業しておらず、大学の学部課程も一度も受講したことがなかった。16歳の時、モスクワのレーニン図書館で門番として働きながら、生活費を稼ぐために夜間の初等算数クラスを教え、隙を見ては大学の講義に潜り込んでいた。19歳の時、コルモゴロフの判断により、モスクワ国立大学の大学院に直接入学を許可された。ウラジーミル・アーノルドは後に、二人をこう対比した。「コルモゴロフは最も高い山に登るだろうが、ゲルファントは道を切り拓き始めるだろう」と。

学校も学位もなし、それでもモスクワへ

イスラエル・モイセエヴィチ・ゲルファント（Israil Moiseevic Gelfand）は1913年9月2日、当時ロシア帝国領で現在はウクライナのオデッサ近郊のオクヌィで生まれた。1930年、16歳で中等教育を修了しないままモスクワへ向かった。その後の2年間は、即興的なサバイバルと独学の日々だった。図書館の門番という仕事の傍ら、モスクワの夜間学校で初等数学から上級コースまでを教えるという梯子のような生活を送り、自らも学びながら教えていた。

彼はモスクワ大学の講義を聴講生として受講し、最初のコースはラヴレンチェフによる複素解析だった。1932年、コルモゴロフが彼を研究学生として受け入れ、A. E. プレスナーやL. A. リュステルニクも在籍していた関数解析の学派に放り込んだ。3年後、22歳で抽象関数と線形作用素に関する論文で学位を取得した。

極大イデアルのトリック

1935年の論文には、彼を定義づける手法がすでに現れていた。通常の微積分の道具が通用しない抽象的なノルム空間上の関数に直面した際、ゲルファントの戦術は、それらに線形汎関数を適用することだった。これにより、扱いが困難な対象を実変数または複素変数の通常の関数に変換し、そこに古典解析の全重量をかけるというものだった。

1938年の可換ノルム環に関する博士論文で、これを一般的な手法へと昇華させた。その核となるアイデアが「極大イデアル」だった。それまで、関数の代数と位相空間は別々の対象に見えていた。ゲルファントは、空間の点は代数のみから極大イデアルとして復元できることを示した。つまり、抽象代数は、内部から再構築できる空間上の関数代数であるということだ。同僚たちは彼をこう評価した。極大イデアルという根本的な概念を明らかにし、それまで断絶していた事実を一つの構造に統合したのはゲルファントであると。

この構成は現在「ゲルファント表現」と呼ばれ、その対象は「バナッハ代数」と呼ばれる。最も劇的な成果は1940年代初頭、マルク・ナイマルクとの共同研究で得られた。二人は対合を持つ非可換ノルム環を扱い、これらも常にヒルベルト空間上の線形作用素の代数として具体的に表現できることを示した。ゲルファント＝ナイマルクの定理は20世紀解析学の支柱の一つであり、量子力学の代数的定式化が機能する理由そのものである。観測量の抽象代数は常に作用素として実現できるからだ。

同時に複数の数学を歩んだキャリア

ゲルファントは1935年から1941年までソ連科学アカデミーで働き、その後モスクワ国立大学の教授となった。その後の彼の業績は、一つの分野に留まらないため要約が難しい。

彼は表現論（有限群に関するフロベニウスとシューアの研究、コンパクト群に関するワイルの研究）を取り上げ、それを非コンパクト群へと拡張した。そこは物理学が宿る場所であり、数学的機構ははるかに困難である。微分方程式における逆シュトゥルム＝リウヴィル問題にも取り組んだ。「このシステムが与えられたとき、どう振動するか？」ではなく、「どう振動するかから、システムは何か？」という逆の問題だ。ゲオルギ・シロフと共に、ソボレフとシュワルツに続いて「超関数」の理論を構築した。これにより、物理学者は数学を破綻させることなくディラックのデルタ関数のような対象を扱えるようになった。

さらに積分幾何学を発展させ、ラドン変換の研究も行った。これは、物体の断面や投影の集合から物体を再構成する数学である。これが医療画像処理の理論的基盤となった。CTスキャンやMRIは、まさにこの問題を解くことで生身の体の3次元画像を作り出している。1968年から1972年の間には、無限次元リー代数のコホモロジーに関する研究も加えた。生涯で500本以上の論文を発表した。

セミナー

モスクワのセミナーはそれ自体が一つの機関であり、モスクワ国立大学で毎週開催され、生き残った全員の記憶に刻まれている。講義プログラムというよりは即興に近く、参加者は始まるまでトピックを知らないことも多かった。ゲルファントの際立った貢献は「リフレーミング」だった。新しい問題の定式化、予期せぬ問いかけ、誰も試さなかった角度から既知の物事を見る傾向だ。また、研究センターへのアクセスがないソ連中の学生に本格的な数学を届ける通信教育学校も設立した。

彼は付き合いやすい人物ではなかった。アンドレイ・ゼレヴィンスキーの評価は辛辣で、「世界で最も繊細で礼儀正しい人物ではなかった」と述べている。彼を予測不能だと感じていたアレクサンドル・ゴンチャロフでさえ、彼を「これまで会った中で最も興味深い人物」と呼んだ。

生物学、そしてその理由

1958年から、ゲルファントは関心の大部分を生物学と医学に移し、1960年にフォミンと共に生物物理学研究所を共同設立した。きっかけは個人的なものだった。息子が白血病を患い、ゲルファントは生物学セミナーを始めた。そこから生まれた研究は、記述的というよりは構造的だった。複雑な多細胞システムにおいて制御がどのように組織化されるかという一般原理であり、X線解析やパターン認識にも応用が広がった。

なぜイスラエルは天才と呼ばれるのか

この言葉がここで正当化される理由は明確だ。ゲルファントの才能は、無関係に見える二つのものが同じものになる抽象化のレベルを見つけることにあった。極大イデアルの洞察が最も明快な例だ。代数的対象と幾何学的空間が同じ構造の二つの見方であることが判明し、一度それが見えると、別々の結果に関する膨大な文献が単一の定理に収束する。彼は解析学、表現論、微分方程式、積分幾何学、リー理論、そして生物学へと境界を越えて、これを繰り返し行った。

アーノルドの「山と道」の区別は、彼について語られた最も鋭い言葉であり、完全に褒め言葉というわけではない。ゲルファントは主に有名な難問を解く人ではなかった。彼はインフラの構築者であり、他の人々が通れるように領土を整備した。彼の影響力はセミナーや学生を通じて強く流れており、彼の刻印がある研究の多くは、厳密には彼自身のものとは言えない。これほどの到達点を持つキャリアでありながらフィールズ賞を受賞しなかったことは、正直に指摘しておく価値がある。

それに反して、独学はロマンチックな脚注ではなく証拠である。中等教育を受けていない少年が、指導なしでコルモゴロフが大学院入学を認めるレベルに達し、25歳までに関数解析を再編する構造的アイデアを生み出した。その能力が何であれ、それを持つ人間は極めて少ない。

遺産

栄誉はあらゆる方向から絶え間なく届いた。1968年から1970年までモスクワ数学会会長、レーニン勲章、1977年に王立協会フェロー、1978年にウルフ賞、1989年に京都賞、1994年にマッカーサー・フェロー、2005年には多くの研究分野に深い影響を与えたとしてレロイ・P・スティール賞を受賞した。1989年から90年にかけてハーバード大学で教鞭をとり、1990年にアメリカへ移住。ラトガース大学の特別客員教授となり、高校生向けのゲルファント・アウトリーチ・プログラムを設立した。ソ連の通信教育学校と同じ本能が、移植されたのである。

2009年10月5日、ニュージャージー州ニューブランズウィックのロバート・ウッド・ジョンソン大学病院にて96歳で死去。妻タチアナ、息子のセルゲイとウラジーミル、娘のタチアナ、4人の孫と3人のひ孫が遺された。MRIスキャナーの中に入ったことのある人は誰でも、彼の数学を通過したことになる。