ゲオルク・カントール：無限を数えられるものにした男
1874年1月、カントールは友人のリヒャルト・デデキントに疑問を投げかけた。「（境界を含む正方形のような）面を線と一対一に対応させることはできるか……つまり、面上のすべての点に対して線上の対応する点があり、その逆も成り立つようにできるか？」彼は答えは明らかにノーだと想定していた。3年後、彼はそれがイエスであることを証明した。正方形全体、さらには何次元の空間であっても、単一の線分とちょうど同じだけの点を含んでいることを示したのである。彼は直ちにデデキントに書き送った。「私には見えるが、信じられない！」
サンクトペテルブルクの商人の息子
ゲオルク・フェルディナント・ルートヴィヒ・フィリップ・カントール（Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor）は、1845年3月3日にサンクトペテルブルクで生まれた。父ゲオルク・ヴァルデマール・カントールは成功した商人であり、母マリア・アンナ・ベーム（Maria Anna Böhm）はロシア人で、音楽の才能に恵まれていた。ゲオルクが11歳だった1856年、父の健康問題により一家はドイツに移住し、まずヴィースバーデンに落ち着いた。
彼はフランクフルトのギムナジウムとダルムシュタットのレアルシューレ（Realschule）に通い、1860年に数学と三角法で優秀な成績を収めて卒業した。父は彼をエンジニアにするつもりだったが、カントールは代わりに数学を学ぶ許可を得た。1862年にチューリッヒ工科大学に入学し、1863年6月に父が亡くなった後、ベルリン大学に転校した。そこでカール・ワイエルシュトラス、エルンスト・クンマー、レオポルト・クロネッカーに学び、ヘルマン・シュヴァルツと親交を深めた。不定方程式に関する博士論文は1867年に完成した。
ハレとハイネの問題
ベルリンの女子校で教えた後、カントールは1869年にハレ大学に加わった。ここは彼が生涯のキャリアを過ごすことになった地方の機関であった。同僚のハインリヒ・ハイネ（Heinrich Heine）は、三角級数表現の一意性に関する長年の問題を彼に託した。カントールは1870年4月までにそれを解決した。
その問題こそがすべての種であった。そのような級数が不規則な振る舞いをする可能性がある例外的な点を追跡することは、無限集合について真剣に考えることを彼に強いた。1872年までには、彼は有理数の収束列を用いて無理数を定義し、デデキントとの往復書簡を始めており、それが10年間にわたって彼を支えることになった。
1つ以上の無限
1874年、カントールは世界を震撼させる結果を発表した。彼は有理数が自然数と一対一に対応させられること（つまり可算であること）を証明し、実数はそうではないことを示した。無限は一つではなく、少なくとも二つあり、それらは異なるサイズであることを示したのである。
その手法は、彼が考案した基準であった。二つの集合の大きさが同じであるとは、その要素がいかに大きくても、ちょうどペアにできることである。それはトリックのように見えたが、その結果は即座に、かつ常軌を逸したものであった。カントールは、「ほとんどすべての」数は代数的ではなく超越的であると述べた。これは、一個の例を示すことなく、数のクラス全体の存在を証明するものであった。
超限
彼の1878年のクレレ誌（Crelle's Journal）での論文は、「可算集合」という用語を導入した。クロネッカーの敵意がその出版をほとんど阻止したため、デデキントが介入しなければならなかった。カントールは二度とクレレ誌に投稿することはなかった。
1879年から1884年の間に、彼は数学年報（Mathematische Annalen）で集合論の基礎を築く6本の論文を発表した。1883年の『一般多様体論の基礎（Grundlagen einer allgemeinen Mannigfaltigkeitslehre）』は、超限数を「自然数の自律的かつ体系的な拡張」として提示した。それは補足や極限ではなく、順序付けられ、算術ができる数である。彼は自分のしていることを理解していた。「私はこの試みにおいて、数学的な無限に関する広く保持されている見解とある種の対立関係にあることを認識している。」
彼は超限基数をヘブライ文字のアレフで表記し、ℵ₀（アレフ・ゼロ）を最小のものとした。また、実数のサイズを 2^ℵ₀ と表現した。これが彼の人生の残りを費やす疑問を提起した。連続体は可算の次の無限か――つまり 2^ℵ₀ = ℵ₁ なのか？クロネッカーの構成主義に対して、彼はマニフェストを発した。「数学の本質はその自由にある。」
崩壊、ベーコン、そして教皇
カントールは1884年5月に最初の記録に残るうつ病を患った。古い説ではクロネッカーの迫害が彼を狂わせたと言われているが、現代の解釈では因果関係は逆であり、うつ病が数学的な悩みの原因ではなく、うつ病がその悩みを拡大させたとされている。彼は何年もの間、連続体仮説を証明したと信じたり、間違いを見つけては否定したりすることを繰り返した。
1885年、ミッタク＝レフラーは、論文の内容が約100年早すぎるとして『アクタ・マテマティカ（Acta Mathematica）』から取り下げるよう説得した。カントールの皮肉は苦々しいものだった。「ミッタク＝レフラーの思い通りになっていたら、私は1984年まで待たなければならなかっただろう。それは私にはあまりに大きな要求に思えた！」彼らの往復書簡は事実上終わり、それとともに集合論を構築した12年間の創造的な急成長も終わった。
うつ病の期間中、彼は哲学と文学に目を向け、フランシス・ベーコンがシェイクスピアの戯曲を書いたという理論に執着し、1896年から97年にかけてそれに関するパンフレットを発行した。彼は非常に信心深く、超限数は神から伝えられたものだと信じていた。無限の性質についてカトリックの神学者と文通し、教皇レオ13世に直接手紙を書き、自身の数学が教会教義の参考にされることを望んだ。
最後の数十年
彼は1890年頃にドイツ数学会（Deutsche Mathematiker-Vereinigung）を設立し、初代会長を務めた。1895年と1897年の最後の主要な論文では、超限算術と整列集合を概観した。1897年のチューリッヒ国際会議では、フルヴィッツとアダマールによって公に称賛され、デデキントとも和解した。
その頃には彼自身が綻びを見つけており、1896年に集合論に潜むパラドックスについてヒルベルトに伝えた。ブラリ＝フォルティは1897年に独立して一つを発表した。個人的な喪失も続いた。1896年10月には母、1899年1月には兄、1899年12月16日には末息子を亡くした。うつ病が彼の人生の残りを支配し、1900年以降はハレの神経病院で長い期間を過ごし、1902-03年、1904-05年、1907-08年の冬には講義を休んだ。王立協会のコプリ・メダルを受け、セント・アンドリュース大学から名誉学位を授与され、1911年の大学創立500周年記念式典のためにそこへ旅行した。1918年1月6日、ハレで心臓発作により死去。
なぜゲオルクは天才と呼ばれるのか
ヒルベルト自身がその言葉を与え、カントールの業績を「数学的天才の最も美しい産物であり、純粋な知的人間活動の最高の成果の一つ」と呼んだ。その具体的な質は、直感よりも定義を信頼する意欲であった。彼以前の誰もが無限を方向として扱い、量として扱わなかった。カントールはサイズの同一性の基準（正確なペアリング）を提案し、躊躇なく無限集合に適用し、それがどこへ導こうとも従った。それには彼自身が信じられない結論も含まれていた。「私には見えるが、信じられない」という言葉は、自らの論理に引きずられながらも突き進む男の言葉である。
反論も述べる価値がある。彼は連続体仮説を解決することはできず、間違いを見つける前には、両方の方向に解決したと繰り返し自分に言い聞かせていた。これは彼の判断力だけでなく、問題の深さをも反映している。ゲーデルとコーエンは最終的に、その仮説が標準的な公理から独立していることを示した。つまり、彼が30年間追い求めたものは、捕まえられるものではなかったのである。彼が構築したものは未完成で矛盾も抱えていた。自身のシステムの中にパラドックスを発見したのである。集合論を安全なものにするためには、ツェルメロの公理化、そして後のフレンケルとフォン・ノイマンの業績が必要であった。超限数が神から来たという確信や、バチカンへのロビー活動、ベーコンに関するパンフレットは、必ずしも適切に調整されていなかった確信を示唆している。また、彼が望んでいた名誉ある椅子を得ることもなく、ハレで40年間を過ごした。
遺産
集合論は現代数学が依拠する基盤となり、『プリンキピア・マテマティカ（Principia Mathematica）』から現代の数学者が使用するツェルメロ＝フレンケル公理系に至るまでその影響は続いている。ヒルベルトの賛辞が今も残っている。「誰一人として、カントールが作り出した楽園から我々を追い出すことはできない。」
