エヴァリスト・ガロア

エヴァリスト・ガロア

エヴァリスト・ガロア（1811年10月25日 - 1832年5月31日）は、フランスの数学者であり政治活動家である。彼は10代のうちに、多項式がべき根で解けるための必要十分条件を決定し、350年間未解決であった問題を解いた。彼の業績は、現代代数学の主要な二つの分野であるガロア理論と群論の基礎を築いた。

ガロアは熱心な共和主義者であり、1830年のフランス革命を取り巻く政治的混乱に深く関与していた。政治活動の結果、彼は繰り返し逮捕され、数ヶ月の投獄も経験した。獄中から解放された直後、理由は不明であるが、ガロアは決闘に挑み、受けた傷がもとで死去した。

生涯

### 初期人生

ガロアは1811年10月25日、ニコラ＝ガブリエル・ガロアとアデライド＝マリー（旧姓デマント）の間に生まれた。父は共和主義者で、ブール＝ラ＝レーヌの自由党の指導者であった。1814年にルイ18世が王位に復帰した後、父は同村の市長となった。法律家の娘である母は、ラテン語と古典文学に精通しており、息子の最初の12年間の教育を担当した。

1823年10月、彼はルイ＝ル＝グラン校（リセ）に入学し、教師ルイ・ポール・エミール・リシャールによってその卓越した才能が見出された。14歳の時、彼は数学に真剣な関心を抱き始めた。

ガロアはアドリアン＝マリ・ルジャンドルの『幾何学原論』を手にし、それを「小説のように」読み、一読でマスターしたと言われている。15歳になると、ジョゼフ＝ルイ・ラグランジュの『代数方程式の解法に関する省察』（後の方程式論に関する研究の動機となった可能性が高い）や、専門数学者向けの著書『関数計算の講義』などの原著論文を読んでいた。しかし、学校の成績は冴えず、教師たちからは天才気取りであると批判されていた。

### 数学への目覚め

1828年、ガロアは当時フランスで最も権威のあるエコール・ポリテクニークの入学試験を受けた。通常の数学教育を受けていなかったため、口頭試験で十分な説明ができず不合格となった。同年、当時は数学研究においてポリテクニークよりはるかに劣っていたエコール・ノルマル（当時の名称は準備学校）に入学し、そこで理解ある教授たちと出会った。

翌年、ガロアの最初の論文が出版された。テーマは単純連分数についてであった。同じ頃、彼は多項式方程式論における根本的な発見をし始めた。彼はこのトピックに関する二本の論文を科学アカデミーに提出した。オーギュスタン＝ルイ・コーシーが査読したが、不明な理由で出版を拒否した。しかし、これに反する主張が多いにもかかわらず、コーシーはガロアの業績の重要性を認識しており、アカデミーの数学大賞コンクールに応募するために二つの論文を一つにまとめることを単に提案しただけであるという見方が広く支持されている。政治的見解がガロアとは正反対であった当時の高名な数学者コーシーは、ガロアの業績を優勝候補と考えていた。

1829年7月28日、村の司祭との深刻な政治的対立の末、父が自殺した。数日後、ガロアはエコール・ポリテクニークへの二度目の入学試験を受けたが、またしても失敗した。ガロアに十分な資格があったことは疑いようがないが、なぜ失敗したかについては諸説ある。より妥当な説によると、ガロアは論理の飛躍が多すぎて無能な試験官を当惑させ、結果として試験官を激怒させたというものである。父の死も彼の行動に影響を与えた可能性がある。

エコール・ポリテクニークへの入学を拒否されたガロアは、エコール・ノルマルに入学するためバカロレア試験を受けた。彼は合格し、1829年12月29日に学位を取得した。数学の試験官は、「この生徒は自分の考えを表現する際に時に曖昧だが、知的であり、研究の驚くべき精神を示している」と報告した。

ガロアは方程式論に関する回想録を何度か提出したが、生前には出版されなかった。最初の試みはコーシーに拒否されたが、1830年2月、彼はコーシーの助言に従い、アカデミー事務局長のジョゼフ・フーリエに論文を提出した。しかし、フーリエは間もなく急死し、回想録は紛失した。その年の賞はニールス・ヘンリック・アーベル（没後）とカール・グスタフ・ヤコブ・ヤコビに授与された。紛失した回想録にもかかわらず、ガロアはその年に三本の論文を発表した。一本はガロア理論の基礎を築くものであった。二本目は方程式の数値解法（現代の用語では根の探索）についてであった。三本目は数論における重要な論文で、そこで有限体の概念が初めて明文化された。

### 政治的火種

ガロアはフランスの政治的混乱の時代に生きた。シャルル10世は1824年にルイ18世の跡を継いだが、1827年に彼の派閥は選挙で大敗し、1830年までにはリベラルな野党が多数派となっていた。議会からの政治的反対に直面したシャルルはクーデターを画策し、悪名高い「7月勅令」を発布し、ルイ・フィリップが王となる「7月革命」を引き起こした。ポリテクニークの生徒たちが街頭で歴史を作っている間、エコール・ノルマルのガロアは校長によって学校に閉じ込められていた。ガロアは激怒し、校長を批判する過激な手紙を書き、『Gazette des Écoles』に提出し、本名で署名した。新聞社は出版に際して署名を削除したが、ガロアは退学処分となった。

退学処分は正式には1831年1月4日に発効することになっていたが、ガロアは直ちに退学し、国民軍の熱烈な共和主義者の砲兵隊に加わった。彼は時間を数学的研究と政治活動に分けた。部隊をめぐる論争のため、ガロアが入隊して間もない1830年12月31日、国民軍の砲兵隊は政府を不安定にする恐れがあるとして解散させられた。同時期に、ガロアのかつての所属部隊の将校19名が、政府転覆の陰謀の疑いで逮捕された。

1831年4月、将校たちはすべての嫌疑について無罪となった。1831年5月9日、彼らの名誉を讃える宴会が開かれ、アレクサンドル・デュマのような多くの著名人が出席した。その場は暴動に近い状態となった。ある時、ガロアは立ち上がり、「ルイ・フィリップに乾杯」と言い、杯の上に短剣を掲げた。共和主義者たちはガロアの乾杯を王に対する脅迫と解釈し、歓声を上げた。翌日、彼は母の家で逮捕され、6月15日の裁判までサン・ペラジー監獄に勾留された。ガロアの弁護人は、ガロアは実際には「ルイ・フィリップが裏切るなら、彼に乾杯」と言ったが、歓声にかき消されたと主張した。検察官がいくつか質問をした際、ガロアの若さに影響されたのか、陪審員はその日のうちに彼を無罪放免とした。

翌年のパリ祭（1831年7月14日）、ガロアは解散した砲兵隊の制服を着て抗議活動の先頭に立ち、数丁のピストル、装填済みのライフル、短剣で武装していた。彼は再び逮捕された。獄中滞在中、ガロアは仲間の囚人たちに促されて初めてアルコールを飲んだ。囚人の一人、フランソワ＝ヴァンサン・ラスパイユは、泥酔したガロアが語った内容を7月25日付の手紙に記録した。手紙からの抜粋：

> いいか、私はあるあばずれ女のために決闘で死ぬことになるだろう。なぜかって？ 私が彼女の汚された名誉をそそぐために決闘を申し込むからだ。

友よ、私に何が足りないか知っているか？ 君にだけは打ち明けよう。それは精神の上でだけ愛せる相手だ。父を亡くしてから、誰もその代わりにならなかった、聞こえるか…？

ラスパイユは、 delirium（せん妄）状態にあったガロアが自殺を図ったが、仲間の囚人たちが力ずくで止めたと続けている。数ヶ月後、10月23日の裁判で、ガロアは制服を不法着用した罪で6ヶ月の禁固刑を言い渡された。獄中、彼は数学的な構想を深め続けた。1832年4月29日に釈放された。

### 最期の数日間

エコール・ノルマルから退学した後、ガロアは政治活動に時間を費やしながらも数学に戻った。1831年1月に退学処分が確定した後、彼は上級代数学の私的な講義を始めようとし、一定の関心を集めたが、政治活動が優先されたようで関心は薄れた。シメオン・ドニ・ポアソンは方程式論に関する業績を提出するように頼み、1831年1月17日にガロアはそれに応じた。1831年7月4日頃、ポアソンはガロアの論文を「理解不能」とし、「（ガロアの）論証は、その厳密さを判断するのに十分明確でも十分発展してもいない」と断言した。しかし、この拒否報告書は励ましの言葉で終わっていた。「著者が決定的な意見を形成するために、業績の全体を出版することを提案する」。ポアソンの報告は7月14日の逮捕前になされていたが、獄中のガロアに届いたのは10月であった。ガロアの性格と当時の状況を考えれば、彼がこの拒否に対して激しく反応し、アカデミーを通じた出版を断念し、友人のオーギュスト・シュヴァリエを通じて私的に出版することに決めたのは驚くべきことではない。しかし、ガロアはポアソンの助言を無視しなかったようで、獄中から数学的原稿をすべて集め、1832年4月29日の釈放まで構想を磨き続けた。釈放後、何らかの理由で決闘に巻き込まれた。

ガロアの死に至る決闘は5月30日に行われた。決闘の真の動機は曖昧で、多くの憶測が飛び交っている。死の5日前、彼がシュヴァリエに宛てた手紙で、破局した恋愛について明確に言及していることは事実である。

オリジナルの手紙のアーカイブ調査により、恋愛対象の女性が、ガロアが晩年滞在した下宿の医師の娘ステファニー＝フェリシー・ポトラン・デュ・モテルであった可能性が示唆されている。ガロア自身が書き写した彼女からの手紙の断片（彼女の名前など多くの部分は消去または意図的に省略されている）が現存している。手紙には、ポトラン・デュ・モテルが自分の悩みをガロアに打ち明けたことが示唆されており、これがガロアに彼女のために決闘を挑ませた動機となった可能性がある。この推測は、ガロアが死の前夜に友人に宛てた手紙でも裏付けられている。ガロアの従兄弟ガブリエル・デマントは、決闘の理由を知っているか問われた際、ガロアが「叔父を名乗る人物と婚約者を名乗る人物の二人と向き合うことになり、双方が決闘を挑んできた」と話した。ガロア自身は「私は悪名高いあばずれ女と、その二人のカモの犠牲者だ」と叫んでいる。

決闘の対戦相手については、アレクサンドル・デュマがペシュ・デルバンヴィルという名を挙げている。彼はガロアの最初の逮捕のきっかけとなった宴会で無罪を祝った19人の砲兵隊士官の一人であった。しかし、この主張はデュマのみのものであり、もしそれが事実だとしても、なぜデルバンヴィルが関与したのかは不明である。当時は彼女の「自称婚約者」であったという憶測もある（彼女は最終的に別の人と結婚した）が、これを裏付ける明確な証拠は見つかっていない。一方、決闘から数日後の新聞の切り抜きには、対戦相手について「L.D.」というイニシャルが記されており、これはガロアの共和主義者の友人、おそらくはガロアと同じ罪状で投獄されたエルネスト・デュシャトレに当てはまる可能性が高い。情報が矛盾しており、真の犯人は歴史の闇に消えてしまったかもしれない。

決闘の理由が何であれ、ガロアは死が差し迫っていると確信し、夜通し共和主義者の友人たちへの手紙を書き、彼の数学的遺言となるものを作成した。それは、自身のアイデアを概説したオーギュスト・シュヴァリエへの有名な手紙と、3つの添付原稿であった。数学者ヘルマン・ワイルは、この遺言について「この手紙は、その含まれるアイデアの斬新さと深さから判断すれば、おそらく人類の全文学の中でも最も実質的な著作である」と評した。しかし、ガロアが死の前夜に数学的思考を紙に書きなぐったという伝説は誇張されているようである。これら最期の論文で、彼は解析学で行っていたいくつかの研究の概要を記し、アカデミーに提出した原稿のコピーに注釈を加えた。

1832年5月30日早朝、彼は腹部を撃たれ、対戦相手や自身の介添人に見捨てられ、通りかかった農夫に発見された。翌朝10時、コーチン病院で死去した（おそらく腹膜炎）。司祭による臨終の儀式を拒否した。葬儀は暴動に発展した。彼の葬儀中に反乱を起こす計画があったが、同時に指導者たちはジャン・マクシミリアン・ラマルク将軍の死を知り、反乱は6月5日まで延期された。ガロアの死を知らされたのは、弟のアルフレッドのみであった。ガロアは20歳であった。弟に残した最後の言葉は以下の通りである：

> "Ne pleure pas, Alfred ! J'ai besoin de tout mon courage pour mourir à vingt ans !"（泣かないで、アルフレッド！ 20歳で死ぬには、全勇気が必要なんだ！）

6月2日、エヴァリスト・ガロアはモンパルナス墓地の共同墓地に埋葬されたが、正確な場所は不明である。故郷のブール＝ラ＝レーヌの墓地には、親族の墓の隣に彼を称える記念碑が建立されている。

1842年、ジョゼフ・リウヴィルはガロアの未発表原稿を研究し始め、1843年にその価値を認めた。1832年から1842年までの10年間に何が起こったのか、また、何がリウヴィルをガロアの論文を読むきっかけにしたのかは不明である。イェスパー・リュッツェンは自身のジョゼフ・リウヴィルに関する著作の第14章「ガロア理論」でこのテーマを深く掘り下げているが、結論には至っていない。

ガロアが6月暴動（パリの共和主義者による失敗した反王党派の蜂起）の5日前に死んだ共和主義の活動家であったため、数学者たち（リウヴィルを含む）がガロアの論文の公表を望まなかった可能性は十分に高い。ガロアの追悼文の中で、友人のオーギュスト・シュヴァリエはエコール・ポリテクニークのアカデミー会員たちがガロアを殺したも同然だと非難した。もし彼らが論文を拒否していなければ、彼は数学者になっていたはずであり、彼らが殺されたと信じられている共和主義の政治活動に身を捧げることはなかったであろうからだ。フランスは依然として恐怖政治とナポレオン時代の影の下にあったため、リウヴィルは（失敗に終わった6月暴動とその余波から）政治的混乱が沈静化するのを待ってからガロアの論文に注意を向けたのかもしれない。

リウヴィルはついに、1846年10月–11月号の『純粋・応用数学ジャーナル』でガロアの原稿を出版した。ガロアの最も有名な功績は、五次方程式の解の公式が存在しないこと、すなわち、五次以上の方程式は一般にべき根では解けないことを証明したことである。ニールス・ヘンリック・アーベルは1824年にべき根による「五次方程式の解の公式」の不可能性をすでに証明しており、パオロ・ルフィニも1799年に不完全ながら解法を発表していたが、ガロアの手法は今日ガロア理論と呼ばれる分野へのより深い研究へとつながった。これは、任意の多項式方程式がべき根で解けるかどうかを判定するために使用できる。

数学への貢献

死の2日前、1832年5月29日付の友人オーギュスト・シュヴァリエに宛てた手紙の最後の一節：

> Tu prieras publiquement Jacobi ou Gauss de donner leur avis, non sur la vérité, mais sur l'importance des théorèmes.

Après cela, il y aura, j'espère, des gens qui trouveront leur profit à déchiffrer tout ce gâchis.

（ヤコビかガウスに公に意見を求めてくれ。それが真実かどうかではなく、定理の重要性についてだ。そうすれば、いつかこの混乱を解読して利益を得る者が現れるだろう。）

ガロアの収集された論文、約60ページの中には、数学のほぼすべての分野に遠大な影響を及ぼした多くの重要なアイデアが含まれている。彼の業績は、同様に若くして亡くなった同時代の数学者ニールス・ヘンリック・アーベル（1802–1829）と比較され、彼らの業績は大きく重複している。

### 代数学

ガロア以前にも多くの数学者が「群」として知られる概念を考察していたが、今日理解されている専門的な意味に近い形で「群」（フランス語でgroupe）という言葉を最初に使用したのは彼であり、代数学の分野である群論の創始者の一人となった。彼は、左剰余類と右剰余類が一致する場合、その群を正規部分群に分解することを「適切な分解」と呼んだ。また、彼に敬意を表して「ガロア体」とも呼ばれる有限体の概念を、今日理解されているのと同じ形で導入した。

シュヴァリエへの最後の手紙とその添付原稿（3つのうちの2番目）において、彼は有限体上の線型群に関する基本的な研究を行った：

素体上の一般線型群 GL(ν, p) を構成し、その次数を計算した。これは p 次の一般方程式のガロア群の研究によるものである。

- 射影特殊線型群 PSL(2,p) を構成した。ガロアはそれらを分数線型変換として構成し、p が 2 または 3 でない限り、それらが単純群であることを観察した。これらは交代群に続く、有限単純群の第二の族であった。 - PSL(2,p) が単純であり、p が 5, 7, 11 の場合にのみ p 点上で作用するという例外的な事実を指摘した。

### ガロア理論

ガロアの数学への最も重要な貢献は、ガロア理論の構築である。彼は多項式方程式の代数的な解法が、その根に関連する置換群（多項式のガロア群）の構造と関連していることを悟った。彼は、方程式がべき根で解けるためには、そのガロア群の部分群の系列であって、各々が次の部分群において正規であり、その商群がアーベル群であるようなものが存在しなければならないこと、すなわちガロア群が可解であることを見出した。これは肥沃なアプローチであり、後の数学者たちは、ガロアが当初適用した方程式論だけでなく、数学の多くの他の分野にもこれを適用した。

### 解析学

ガロアはアーベル積分や連分数の理論にもいくつかの貢献をした。

最後の手紙に書かれているように、ガロアは楕円関数の研究から、今日アーベル積分と呼ばれる最も一般的な代数微分積分の考察へと移行した。彼はこれらの積分を3つのカテゴリーに分類した。

### 連分数

1828年の最初の論文で、ガロアは二次無理数 ζ を表す正則連分数が純周期的になるのは、ζ が縮約二次無理数である場合、すなわち

ζ > 1

{\displaystyle \zeta >1}

であり、その共役数

η

{\displaystyle \eta }

が

− 1 < η < 0

{\displaystyle -1<\eta <0}

を満たす場合のみであることを証明した。

実際、ガロアはそれ以上のことを示した。彼は、ζ が縮約二次無理数で η がその共役数であれば、ζ と (−1/η) の連分数はどちらも純周期的であり、一方の連分数の循環部分は他方の循環部分の鏡像になることを証明した。記号で表すと

ζ

= [

a

0

;

a

1

,

a

2

, … ,

a

m − 1

¯

]

− 1

η

= [

a

m − 1

;

a

m − 2

,

a

m − 3

, … ,

a

0

¯

]

{\displaystyle {\begin{aligned}\zeta &=[\,{\overline {a_{0};a_{1},a_{2},\dots ,a_{m-1}}}\,]\\[3pt]{\frac {-1}{\eta }}&=[\,{\overline {a_{m-1};a_{m-2},a_{m-3},\dots ,a_{0}}}\,]\,\end{aligned}}}

となる。ここで ζ は任意の縮約二次無理数、η はその共役数である。

ガロアのこれらの二つの定理から、すでにラグランジュによって知られていた結果が導き出される。r > 1 が完全平方数ではない有理数である場合、

r

=

[

a

0

;

a

1

,

a

2

, … ,

a

2

,

a

1

, 2

a

0

¯

]

.

{\displaystyle {\sqrt {r}}=\left[\,a_{0};{\overline {a_{1},a_{2},\dots ,a_{2},a_{1},2a_{0}}}\,\right].}

特に、n が平方数でない正の整数である場合、√n の正則連分数展開には長さ m の循環部分が含まれ、その最初の m − 1 個の分母は回文的な文字列を形成する。