ダドリー・E・リトルウッド：証明できなかった法則

1934年、ウェールズの小さな大学の数学者2人が、特定の代数的対象の乗法を支配する組合せ論的法則を発表した。彼らはそれを定理として提示した。彼らはごくわずかな単純な特殊なケースでしかそれを証明しておらず、例証として提示した計算例には誤りが含まれていた。それにもかかわらず、その規則は正しかった。専門家がそれを証明するまで40年を要し、その頃には現代代数学で最も頻繁に使用される結果の一つとなっていた。表現論の研究者ゴードン・ジェームズが述べたように、リトルウッド・リチャードソン則は「人類を月へ送る助けとなったが、彼らが月に着くまで証明されていなかった」。

トッテナムからトリニティへ

ダドリー・アーネスト・リトルウッドは1903年9月7日、ロンドンで弁護士事務員のハリー・ブラムリー・リトルウッドとエイダ・パイパーの間に一人っ子として生まれた。数学的な家系ではなく、資産もなかった。彼は試験を勝ち抜くことで道を切り開いた。ミドルセックスのトッテナム・カウンティ・スクールから、州奨学金とケンブリッジ大学トリニティ・カレッジへの入学奨学金の双方を獲得した。

トリニティでの学部時代の家庭教師は、ハーディの共同研究者で著名な解析学者ジョン・イーデンサー・リトルウッド（John Edensor Littlewood）であった。両者は無関係であり、その偶然が今日まで文献目録を混乱させてきた。彼は1925年に数学トライポスでラングラー（高成績者）として卒業し、ホール（Hall）やホッジ（Hodge）と同期であった。その後、戦間期の学界の慣習通り、しばらくの間は何事も起こらなかった。彼は教職に就いた。1928年、スウォンジー大学カレッジで一時的な非常勤講師職を得、続いてダンディーのクイーンズ・カレッジで短い職に就いた。1930年にミュリエル・ドリス・ダイソンと結婚し、1935年に息子が生まれた。

スウォンジーとリチャードソン

数学者としての彼の人生が真に始まったのはスウォンジーであり、それは一人の同僚のおかげであった。そこに教授として在籍していたアーチボルド・リード・リチャードソン（Archibald Read Richardson）が、リトルウッドに代数学を紹介した。これは彼がそれまで取り組んでこなかった分野であった。彼は1930年に助手としてスウォンジーに戻り、1934年に講師となり、1947年まで在籍した。彼の初期の論文は四元数環と不変式論を扱ったもので、それ自体は立派な業績であったが、後に何が起こるかを示す特別な兆候はなかった。

後に起こったのは、リチャードソンと共同執筆した1934年の論文「群の指標と代数（Group characters and algebras）」である。それは行列のイマナント（行列式とパーマネントの中間に位置する一般化）を導入し、現在では普遍的にシューア関数（Schur functions）と呼ばれるS関数を取り上げた。これは対称群および一般線形群の指標を符号化するものである。論文は次の明らかな問いを立てた。「2つのシューア関数を掛け合わせると何が起こるか？」彼らが提案した答えは、積はシューア関数の和に分解され、その係数はある種のタブロー（厳格なルールに従って数字で埋め尽くされた箱の組合せ論的配列）を数えるというものであった。

なぜこの法則が重要なのか

その一つの主張は、いくつかの分野が交差する結節点にあることが判明した。リトルウッド・リチャードソン係数は、有限次元表現のテンソル積が分解される際や、対称群の表現が誘導される際の重複度を与えるものである。それらはシューア基底における対称関数環の構造定数である。また代数幾何学では、シューベルト多様体がどのように交わるかを数えるグラスマン多様体上の交差数として再出現する。これは1934年当時は誰も追求していなかった繋がりであった。リトルウッド自身は、表現論の量子力学への応用を追求した。

しかし、証明は欠けていた。ギルバート・ド・ボーレガード・ロビンソン（Gilbert de Beauregard Robinson）は1938年に証明を完了したと主張したが、その説明は十分に難解で、欠落が数十年間気づかれなかった。イアン・マクドナルド（Ian Macdonald）は1995年になってもその一部を埋めていた。現代の基準を満たす最初の議論は、1974年のグランフルード・P・トーマス（Glânffrwd P. Thomas）と1977年のマルセル＝ポール・シュッツェンベルガー（Marcel-Paul Schützenberger）によるもので、シェンステッド（Schensted）、シュッツェンベルガー、ドナルド・クヌース（Donald Knuth）によって開発されたロビンソン・シェンステッド対応の組合せ論的機構に基づいて構築された。主張から証明まで、およそ40年を要した。

著書とバンガー

リトルウッドは研究成果を、彼の名を最も遠くまで広めた著書『群の指標と群の行列表現の理論（The Theory of Group Characters and Matrix Representations of Groups）』（1940年出版、1950年に第2版）にまとめた。これは一世代の間、英語圏でこの主題を学ぶ標準的な教科書であった。続いて1949年に『数学の万能鍵（The Skeleton Key of Mathematics）』という一般的な解説書を著し、後に何度も改訂された。また1950年には『大学代数学（A University Algebra）』を出版し、1961年に改訂された。

彼は1947年から1948年までケンブリッジで大学講師を務め、1948年にバンガーのノースウェールズ・ユニバーシティ・カレッジの数学教授に就任し、1970年に退職するまで22年間その職にあった。同僚たちは、彼を控えめで内気な人柄として記憶している。いつも親しみやすい笑顔を浮かべ、親切で協力的であり、SF小説を読み、数学よりも哲学や宗教の方が探求する価値のある主題だと考えていた。これは数学の教授としては珍しい告白であった。

なぜダドリーは天才と呼ばれるのか

この言葉は、特定の狭い才能に適用される。彼は、代数的な仕組みの形を、誰もそれがそのような形であることを証明する前から見ることができた。教え子のJ・A・グリーン（J. A. Green）はそれを正確に表現している。「リトルウッドの数学的な強みは、特定の代数プロセスがどのように機能するかについての並外れた洞察力にあった」。同僚たちは、形式数学に対する強い直感的な把握と、厳密な導出よりも有用な公式を好む姿勢を指摘し、フロベニウス、シューア、ワイルのメソッドを再現するのではなく、自分の流儀で作り直していたと述べている。1934年の法則はその好例である。リトルウッドとリチャードソンは、直感が当てにならないことで有名な領域で、誰も完全には理解していなかった対象について正しい組合せ論的法則にたどり着いた。そして彼らは正しかった。一方で、その後の40年間に証明を試みた有能な数学者たちの多くは間違っていた。

反例は現実のものであり、単なる揚げ足取りではない。彼らは単純な特殊なケースしか証明していない段階で法則を定理として発表し、提示した例も誤っていた。レフェリーがより厳格であれば、結果は予想として現れたはずであり、実際それがその段階であった。数学者の仕事は証明であり、その基準に照らせば、リトルウッドの最も有名な貢献は40年間不完全であり、彼が持っていなかったツールを使った他の人々によって完成された。彼の広範な業績（3冊の著書と不変式、四元数環、群指標に関する一連の論文）は、時代を画するというよりは堅実で有用なものであり、彼はスウォンジーとバンガーという、学問の中心地から遠く離れた場所でキャリアを終えた。正直な評価を下せば、彼は真に例外的な数学的直感を持っていたが、それを裏付ける厳密さが不足していたということになる。専門界は90年間、その直感から恩恵を受け、厳密さを修復し続けてきた。

遺産

彼は1970年に退職し、1979年10月6日、76歳の誕生日を迎えた直後、転倒による脚の骨折の後遺症でスランディドノで亡くなった。彼はスランロス（Llanrhos）に埋葬されている。ミュリエルは彼より10年長生きした。今日、彼の名前は彼について何も知らない人々によっても毎日語られている。それは対称関数の現代的な研究、古典群の表現論、シューベルト・カルキュラス（Schubert calculus）を支える規則に冠されているからである。自分の名前を冠した定理を持つ数学者は極めて少ない。さらに、証明される前に名声が先行した定理を持つ数学者はなおさら少ない。