太陽がその輝きで星を圧倒するように、知識のある人は民衆の集会で代数問題を提案すれば他者の名声を圧倒し、さらにそれを解けば更に圧倒するであろう。
Brahmaguptaはインドの数学者で天文学者です。彼は数学と天文学に関する2つの初期の著作の著者です：Brāhmasphuṭasiddhānta（BSS、「Brahmaの正しく確立された教義」）は628年に著されました。これは理論的な論文であり、Khaṇḍakhādyaka（「食べられる一口」）は665年に著され、より実践的なテキストです。
Brahmaguptaはゼロで計算するための規則を与えた最初の人物です。Brahmaguptaによって作成されたテキストはサンスクリット語の楕円形の詩で構成されており、これはインド数学の一般的な慣例でした。証明が与えられていないため、Brahmaguptaの結果がどのように導かれたかは不明です。
人生と経歴
Brahmaguptaは自分自身の陳述によると598年に生まれました。彼はGurjardesa現代のBhinmal（インドのRajasthan）のBhillamālaに住んでいました。彼はChavda王朝の統治者Vyagharamukhの治世中です。彼はJishnuguptaの息子で、宗教的にはヒンドゥー教徒、特にShaivaiteでした。彼は人生の大部分をそこで生活し、働きました。後の解説者Prithudaka Svaminは彼をBhillamalacharya（Bhillamalaからの教師）と呼びました。
BhillamalaはGurjardisaの首都で、西インドの2番目に大きな王国で、現代のインドの南部Rajasthanと北部Gujaratを含んでいました。それはまた数学と天文学の学習の中心でもありました。Brahmaguptaはこの時期の4つの主要なインド天文学の学派の1つであるBrahmapaksha学派の天文学者になりました。彼はインド天文学の5つの伝統的なSiddharthaを研究し、Aryabhata I、Latadeva、Pradyumna、Varahamihira、Simha、Srisena、Vijayanandin、Vishnuchandraを含む他の天文学者の著作も研究しました。
628年、30歳の時に、彼は「Brāhmasphuṭasiddhānta」（Brahmaの改良された論文）を作成しました。これはBrahmapaksha天文学派の受け継がれたSiddhantaの改訂版であると信じられています。学者たちは、彼が彼の改訂に大量の独創性を組み込み、かなりの量の新しい素材を追加したと述べています。この本は24章と1008のārya韻律の詩で構成されています。その多くは天文学ですが、代数、幾何学、三角法、およびアルゴリズムを含む数学に関する重要な章も含まれており、これらはBrahmagupta自身の新しい洞察を含むと信じられています。
その後、Brahmaguptaは中央インドの主要な天文学の中心地でもあったAvanti（Ujjaini）に移りました。67歳の時に、彼は次の有名な著作Khanda-khādyaka（学生向けの使用を目的とした実用的なインド天文学の手冊で、karana範疇に属しています）を作成しました。
Brahmaguptaは668年に亡くなり、Ujjainで亡くなったと推定されています。
論争
Brahmaguptaはライバル天文学者の著作に対して多くの批判を向け、彼のBrahmasphutasiddhantaはインド数学者の間の最初の分裂の1つを示しています。この分裂は主に数学自体についてではなく、数学の物理世界への応用についてでした。Brahmaguptaの場合、不一致は主に天文学的パラメータと理論の選択から生じました。ライバル理論の批評は最初の10の天文学的章全体に表れ、11番目の章はこれらの理論の批評に完全に費やされていますが、12番目と18番目の章には批評は表れていません。
受容
科学史家のGeorge Sartonは彼を「彼の人種の最も偉大な科学者の一人で、彼の時代の最も偉大な者」と呼びました。Brahmaguptaの数学的進歩はUjjainの直系の子孫であるBhāskara IIによってさらに続けられ、Bhāskara IIはBrahmaguptaを「ganaka-chakra-chudamani（数学者の円の宝石）」と説明しました。Prithudaka Svaminは彼の両方の著作についての解説を書き、難しい詩をより簡単な言語にレンダリングし、図を追加しました。8世紀と9世紀のLallaとBhattotpalaはKhanda-khadyakaの解説を書きました。さらなる解説は12世紀まで書き続けられました。
Brahmaguptaの死後数十年で、Sindhは712年にアラブカリフ制の支配下に来ました。アラブ歴史家によると、Gurjardisaへの遠征（「Al-Baylaman in Jurz」）が送られました。Bhillamalaの王国は消滅したと思われますが、Ujjainは攻撃を撃退しました。Caliph Al-Mansur（754–775年）の宮廷はSindhからの大使館を受け取りました。これにはKanacaという名前の占星術師が含まれており、彼はBrahmaguptaのものを含む、おそらく暗唱された天文学的テキストをもたらしました。BrahmaguptaのテキストはAl-Mansurの宮廷の天文学者Muhammad al-Fazariによって、Sindhind、Arakhandの名前の下でアラビア語に翻訳されました。直接的な結果は、テキストで使用された十進法の普及でした。数学者Al-Khwarizmi（800–850年）は、「al-Jam wal-tafriq bi hisal-al-Hind（インド算術における加算と減算）」という名前のテキストを書きました。このテキストは13世紀にラテン語に「Algorithmi de numero indorum」として翻訳されました。これらのテキストを通じて、十進法とBrahmaguptaの算術アルゴリズムは世界中に広がりました。Al-Khwarizmiはまた、Al-Fazariのバージョンを利用し、Ptolemaicの要素を組み込んだSindhindの彼自身のバージョンを書きました。インド天文学の素材は何世紀にもわたって広く流通し、中世ラテン語のテキストにも入りました。
数学
代数
Brahmaguptaはbx + c = dx + eの方程式の解を与え、Brahmasphutasiddhāntaの18番目の章で、「rupas」は定数cとeを指します。与えられた解はx = e − c/b − dと同等です。彼はさらに一般的な二次方程式に2つの同等の解を与えました。
18.44. 中央の[数]によって減らし、rupaに4倍の平方を掛けたものの平方根を、中央の[数]の平方が増加した状態で取ります。残りを平方の2倍で割ります。[結果は]中央の[数]です。
18.45. rupaに平方を掛けたものの平方根が何であれ、未知数の半分の平方が増加した状態で、それを未知数の半分によって減らし、[残りを]その平方で割ります。[結果は]未知数です。
これらは、それぞれax2 + bx = cの方程式の解に相当しており、
および
彼は連立不定方程式のシステムを解くことに進み、目的の変数を最初に分離し、次に方程式を目的の変数の係数で割る必要があると述べました。特に、彼は複数の未知数を持つ方程式を解くために「粉砕者」を使用することを推奨しました。
18.51. 最初の色とは異なる色を引いてください。[残り]を最初の[色の係数]で割ったものは最初の尺度です。[項]は2つずつ[相似の約数に削減されると]考慮されます[、以下同様に]繰り返し。[色]が多い場合、粉砕者[を使用する必要があります]。
Diophantusの代数と同様に、Brahmaguptaの代数は同期されていました。加算は数字を並べて示し、減算は被減数の上に点を置くことで示され、除算は被除数の下に除数を置くことで示されました。これは棒がない点を除いて私たちの表記法に似ています。乗算、進化、および未知の量は適切な用語の略語で表されました。この同期に対するギリシャの影響の程度（もしあれば）は不明であり、ギリシャとインドの同期の両方が共通のバビロニア源から派生した可能性があります。
算術
加算、減算、乗算、除算の4つの基本的な演算は、Brahmaguptaの前に多くの文化で知られていました。この現在のシステムはHindu Arabic数値システムに基づいており、最初にBrahmasphutasiddhantaに表れました。Brahmaguptaは乗算を次のように説明します「被乗数は牛の弦のように繰り返され、乗数に統合部分がある限り繰り返され、それらによって繰り返し乗算され、製品が一緒に追加されます。それは乗算です。または被乗数は乗数に構成部分がある限り繰り返されます」。インド算術は中世ヨーロッパでは「Modus Indorum」として知られており、「インド人の方法」を意味しています。Brahmasphutasiddhantaでは、乗算はGomutrikaという名前が付けられました。
彼のBrahmasphutasiddhāntaの12番目の章「計算」の最初に、Brahmaguptaは分数に関する演算の詳細を述べています。読者は平方根を取るまで基本的な算術演算を知っていることが期待されていますが、彼は整数の立方体と立方体の根を見つける方法を説明し、後に正方形と平方根の計算を容易にするための規則を提供します。その後、彼は分数の5つのタイプの組み合わせを扱うための規則を与えます：a/c + b/c; a/c × b/d; a/1 + b/d; a/c + b/d × a/c = ad + b/cd; およびa/c − b/d × a/c = ad − b/cd。
級数
Brahmaguptaはその後、最初のn個の整数の平方と立方体の合計を与えます。
ここでBrahmaguptaは、現代の慣例のようにnの観点からではなく、最初のn個の整数の合計の観点で結果を見つけました。
彼は最初のn個の自然数の平方の合計をnn + 12n + 1/6として与え、最初のn個の自然数の立方体の合計をnn + 1/22として与えます。
ゼロ
BrahmaguptaのBrahmasphuṭasiddhāntaは、ゼロと負の数に適用される算術操作の規則を提供する最初の本です。Brahmasphutasiddhāntaは、バビロニア人によって別の数を表すための単なるプレースホルダー数字として行われたのか、またはPtolemyとローマ人によって行われた数量の不足の象徴としてではなく、ゼロを独自の権利で数として扱う最初の既知のテキストです。Brahmaguptaはbx + c = dx + e方程式の解を与え、Brahmasphutasiddhāntaの18番目の章で負の数に関する演算を説明しています。彼は最初に加算と減算を説明します。
18.30. [2つの正の合計]は正です。2つの負の合計は負です。正と負の[合計]はそれらの違いです。それらが等しい場合、それはゼロです。負とゼロの合計は負、[正とゼロのそれ]正、[そして2つのゼロのそれ]ゼロです。
18.32. ゼロから引かれた負は負、正[ゼロから引かれた]正です。ゼロ[ゼロから引かれた]はゼロです。正が負から引かれる場合、または負が正から引かれる場合、それは追加される必要があります。
彼は乗算の説明に進みます。
18.33. 負と正の積は負です。2つの負の積は正です。正の積は正です。ゼロと負、ゼロと正、または2つのゼロの積はゼロです。
しかし、彼のゼロ除算の説明は私たちの現代の理解と異なります：
18.34. 正を正で割ったもの、または負を負で割ったものは正です。ゼロをゼロで割ったものはゼロです。正を負で割ったものは負です。負を正で割ったものは[また]負です。
18.35. ゼロで割った負または正はそれ[ゼロ]を除数として持っています。または負で割ったゼロまたは正[はそれの負または正を除数として持っています]。負または正の平方は正です。[ゼロの]平方はゼロです。平方がそれの平方である[その]は[その]平方根です。
ここでBrahmaguptaは/ = 0を述べており、a/（aが0でない場合）の質問に関しては、彼は自分自身をコミットしませんでした。彼の負の数とゼロの算術に関する規則は現代の理解にかなり近いですが、現代の数学では、ゼロによる除算は未定義のままです。
Diophantine分析
ピタゴラスの三つ組
Brahmaguptaは彼のBrahmasphutasiddhantaの12番目の章で、ピタゴラスの三つ組を生成するのに役立つ公式を提供しています：
12.39. 山の高さに与えられた乗数を掛けたものは都市までの距離です。それは消されません。乗数が2で増加したもので割られるとき、それは同じ旅をする2つのうちの1つの飛躍です。
言い換えると、d = mx/x + 2の場合、山の頂上から垂直上向きに距離dを「飛躍」し、山のふもとからmx水平距離にある都市に直線で移動する旅人は、山を垂直に下り、次に水平方向に都市に向かって移動する旅人と同じ距離を移動します。幾何学的に述べると、これは直角三角形の底辺の長さがa = mx、高さがb = m + dの場合、斜辺の長さcがc = m1 + x − dで与えられることを言います。そして確かに、初等代数操作はd が述べられた値を持つときはいつでもa2 + b2 = c2を示しています。また、m とxが有理数の場合、d、a、bおよびcも有理数です。したがって、ピタゴラスの三つ組は、a、bおよびcのそれぞれにそれらの分母の最小公倍数を掛けることによって取得できます。
Pellの方程式
Brahmaguptaは特定の種類のDiophantine方程式のインスタンスに対する解を生成するための再帰関係を与えることに進みました。
