アリエ・アイセルス：コンピュータに幾何学を尊重させる
星の周りを公転する惑星は、そのエネルギーを正確に、永遠に保存する。標準的な数値解法を用いてコンピュータ上でその軌道をシミュレートすると、エネルギーがドリフトを起こし、惑星は物理法則のためではなく算術誤差の蓄積によって、ゆっくりと太陽に向かって、あるいは暗黒の宇宙空間へと螺旋を描いて吸い込まれていく。アリエ・アイセルスは、これが許容できないと判断し、方程式が表す物理法則に従うアルゴリズムの構築に着手した数学者グループの一人である。
エルサレムからカムへ
アイセルスは1947年9月2日に生まれ、エルサレム・ヘブライ大学およびネゲヴ・ベングリオン大学で学んだ。彼の博士論文の研究テーマは、硬い常微分方程式（スティッフ方程式）に対する数値解法であった。それは一見すると狭い分野に思えるが、実際はその対極にあるものである。
スティッフネス（硬さ）とは、システム内にまったく異なる時間スケールで進行するプロセスが含まれている場合に現れる病理現象である。例えば、ある化学反応においてあるステップがマイクロ秒単位で進行し、別のステップが数時間を要するような場合がそれに該当する。素朴な数値解法では、何も面白いことが起きていない場所であっても最速のプロセスのペースに合わせて低速で計算せざるを得なくなり、計算が事実上不可能になってしまう。スティッフネスを適切に解決することは20世紀の科学計算における中心的な実用的問題の一つであり、連続数学と離散的機械の間の不整合にそのキャリアの焦点を当てる者にとって、それは格好の訓練の場であった。
カンブリッジ、そして一つの寄り道
彼は1978年にキングス・カレッジのジュニア・リサーチ・フェローとしてケンブリッジに赴き、1982年には同地のシニア・リサーチ・フェローとなり、1986年から1987年にかけてはアリゾナ大学の准教授を務めた。その後ケンブリッジに戻り、そのまま定住した。
1987年から1995年までケンブリッジ大学のユニバーシティ・レクチャラー、1995年から1999年まで数値解析のリーダー（読者）を務め、1999年以降は応用数学・理論物理学科（DAMTP — ディラックやホーキングが働いていた部署）にて微分方程式の数値解析教授を務めている。2010年から2015年にはケンブリッジ・センター・フォー・アナリシス（Cambridge Centre for Analysis）の所長を務めた。
幾何学的数値積分
アイセルスの研究生活の核心にあるアイデアは、微分方程式には構造があり、優れた数値解法はそれを保存すべきであるという点にある。
いくつかのシステムはエネルギーを保存する。いくつかのシステムは相空間内の体積を保存する。また、曲面多様体上で進化するシステムもある。例えば回転する剛体の場合、その状態は回転群上に存在し、どれほど待とうともその群から離れることはない。従来の数値解法はこれについて何も知らない。それらは次のステップを近似し小さな誤差を許容するため、長時間のシミュレーションを行うと、そうした小さな誤差が蓄積して質的なナンセンスに至る。回転行列が回転でなくなり、エネルギーがドリフトし、軌道はどんなに追加の精度を上げても修正できないような形で誤ったものになってしまうのである。
幾何学的数値積分は、不変量を正確に尊重する手法を設計することでこれに対処する。ハミルトン系に対するシンプレクティック・インテグレーター、体積保存法、そしてリー群上に存在するシステムがその群上に留まるように構築されたスキームなどがそれにあたる。アイセルス自身の貢献は、このための道具立てに集中している。すなわち、行列指数の近似、特にリー代数をそのリー群へと正しく写像する手法、およびアイソスペクトラル流やリー・ポアソン構造の解析である。
振動、もう一つの難問
彼の2つ目の主要な研究領域は、解が非常に高速で揺らぐ高振動現象である。
これは直感に反する理由から、標準的な数値解析にとって本物の悪夢である。通常の求積法はサンプリングによって機能するが、関数がサンプリングよりも速く振動する場合、何も得ることができない。古典的な対応策はサンプリングを速くすることであるが、それは問題が悪化すればするほどコストがかさむ。アイセルスは、高振動積分に対する効率的な離散化手法に取り組んだ。それは、驚くべきことに、高振動を障害から利点へと変え、周波数が高くなるにつれて精度が崩壊するどころか向上するという一連の技術である。彼はこのアプローチを微分方程式や作用素のスペクトルへと拡張し、複数の相互作用する振動スケールを持つ方程式のための指数型インテグレーターを開発した。
彼の研究の全範囲は、常微分方程式および偏微分方程式、近似理論、直交多項式、関数方程式、計算力学に及んでいる。
門番
アイセルスは、自身の分野の諸機関において異例ほど中心的な存在であった。彼は、その分野の現状を本質的に示す年次レビュー誌である『Acta Numerica』のマネージングエディターであり、『IMA Journal of Numerical Analysis』の編集長を務め、さらに他の場所でも理事会の役職を歴任した。1997年から2000年には計算数学基礎学会（Society for Foundations of Computational Mathematics）の会長を務めた。
また、ケンブリッジ大学出版局から出版され現在第2版に達している著書『A First Course in the Numerical Analysis of Differential Equations』を執筆し、世界中の非常に多くの大学院生にとって、その主題を学んだ教科書となった。
アリエが天才と呼ばれる理由
そこに示されている知的資質は、特定の種類の反転である。すなわち、問題を困難にしている性質を繰り返し取り上げ、それを解決策を機能させる性質へと変えることである。その最も明確な例が高振動積分であり、標準的な枠組みでは急速な振動はオーバーサンプリングすべき敵として扱われるのに対し、アイセルスが取り組んだ手法では振動が増加するにつれて結果が向上する。幾何学的数値積分には、それよりも高いレベルでの同様の移行が含まれている。すなわち、微分方程式を近似すべき公式として扱うのをやめ、その構造が保存されるべき幾何学的対象として扱い始めるのである。そうした再枠組み化は、技術的な卓越性よりも稀であり難しく、コミュニティ全体が自分が何をしていると考えているかを変えてしまう。
その評価を正直に測るならば、それは多大であるが、実務や貢献に偏ったものである。オンサーガー・メダルは1999年に授与された。2012年にはデヴィッド・クライトン・メダルが続き、明確に「数学および数学コミュニティへの貢献に対して」授与された。2014年にはSIAM（数値解析・応用数学会）からプロフェッションへの卓越した貢献に対する賞（SIAM Prize for Distinguished Service to the Profession）が授与された。これら3つのうち2つは、それぞれの受賞理由の記載によれば、発見というよりも貢献に関するものである。
したがって、反論は現実のものである。ルンゲ・クッタ法やニュートン法のように、アイセルスの名前を冠した定理は存在しない。幾何学的数値積分は、ハイレール、ルビッヒ、ワナー、マーズデン、マクラクランら他の人々とともに一つのコミュニティによって構築されたものであり、彼はその単独の創作者ではなく重要な貢献者の一人である。彼の最も測定可能な影響力は、編集および教育の面にあるかもしれない。すなわち、『Acta Numerica』の運営、『IMA Journal』の運営、標準的な入門コースの執筆である。いかなるアクセス可能な情報源も、彼を天才と呼ぶ記録を残していない。彼は傑出した応用数学者であり、並外れた制度構築者であり、その文の後半部分は、称賛者が通常認めている以上に大きな役割を果たしているのである。
遺産
アイセルスは1987年以来働き続けているDAMTP（応用数学・理論物理学科）に留まり続けている。
彼が推進を助けたプログラムは、静かに勝利を収めた。シンプレクティックおよび構造保存型インテグレーターは現在、分子動力学、天体力学、プラズマ物理学、加速器設計において標準的なものとなっている。それは、シミュレーションが非常に長期間実行されなければならず、なおかつ終了時にも信頼されなければならないあらゆる場所においてである。その根底にある洞察は、技術的であると同時に哲学的でもある。数値方程式を近似するための中立的な道具ではない。それはそれ自体が小さな力学系であり、もし不注意に構築すれば、存在しない宇宙についての物語をあなたに語ることになるだろう。
