アンドレアス・ドレス：分野を変え続けた数学者

トロピカル幾何学には「ドレス空間（Dressian）」と呼ばれる多様体が存在する。周期的なタイリングを分類するために使用される「デラニー・ドレス記号（Delaney–Dress symbol）」という組み合わせ論的対象がある。距離データから進化系統樹を再構築する「T理論」として知られる研究分野がある。これら3つはすべて同じ人物から生まれたものであり、ほとんどの研究者が別々のキャリアと見なすであろう数学の3つの異なる分野に属している。2024年2月23日に85歳で亡くなったアンドレアス・ドレス（Andreas Dress）は、一流の数学者の間でも珍しいことを60年間続けた。彼は常にゼロからやり直していたのである。

キール、1962年

ドレスは1938年8月26日に生まれた。ベルリン自由大学、テュービンゲン大学、キール大学で学び、1962年にキール大学でフリードリヒ・バッハマンとカール＝ハインリヒ・ヴァイゼの下で博士号を取得した。学位論文のタイトルは『計量平面の構成（Konstruktion metrischer Ebenen）』であり、彼の起源が幾何学の基礎というドイツの伝統にしっかりと根ざしていることを示している。ヒルベルト以来、ドイツの大きな専門分野の一つであった主題において、24歳で博士号を取得したという事実は注目に値する。

ゼロからのビーレフェルト

1969年、ノルトライン＝ヴェストファーレン州はビーレフェルトに新しい大学を開設した。これは学際的な憲章を持つ研究第一の機関として構想された。ドレスはその数学の創設教授の一人であり、2003年に退職するまでそこに留まった。同じ学科に34年間在籍したことは、彼の落ち着きのなさを考えると奇妙な統計であるが、彼が住所を変えることなく約10年ごとに主題を変えていたことに気づけば納得できる。ビーレフェルトの数学学部はその期間にドイツで最も強力な学部の一つとなり、ドレスはその大きな理由であった。

関手、タイリング、マトロイド

彼の最初の主要な研究分野は表現論であり、そこで彼はマッキー関手とグリーン関手を発展させた。これは有限群の表現論に浸透している制限定理と誘導定理のための統一的な枠組みを提供する形式的な機械である。これは純粋な抽象代数学であり、この分野における標準的な道具として残っている。

1980年代初頭、彼は離散幾何学に転向し、アンドリュー・デラニーと共に、現在「デラニー・ドレス記号」と呼ばれる組み合わせ論的符号化を導入した。これは、周期的なタイリングの対称性の型を、体系的な分類を可能にするのに十分なほど完全に捉える有限構造である。結晶学者と数学者の双方がこれを取り入れた。なぜなら、幾何学的な分類問題をコンピュータが列挙可能な組み合わせ論的な問題に変換するからである。

その後、彼はマトロイド理論に転向し、マトロイドのタット群の構成を含む、大部分が組み合わせ論的であった主題に対して包括的な代数的アプローチを構築した。そこから研究はトロピカル幾何学へと発展した。ドレスは付値マトロイドとトロピカル線形空間との間の接続を確立し、そこから現れたパラメータ化対象は彼の名を取って「ドレス空間（Dressian）」と呼ばれている。

距離からの系統樹

最後にして最も公に目に見える章は、彼を純粋数学から完全に生物学へと連れ出した。問題は簡単に述べられるが解決は困難である。種、配列、または集団間の測定された非類似度の行列が与えられたとき、それらを生成した進化系統樹を再構築する、あるいはどの系統樹も適合しないと判断し、適合するものを表現する。ドレスは計量幾何学の道具を用いてこれに取り組み、T理論とタイトスパン（tight spans）の理論を発展させた。これらは有限計量空間を埋め込み、その木構造的および非木構造的な構造を読み取るための標準的な方法を提供する。彼が構築を助けた主題は系統発生組み合わせ論（phylogenetic combinatorics）と呼ばれるようになり、2012年にカタリーナ・フーバー、ヤコブス・クーレン、ヴィンセント・モールトン、アンドレアス・スピルナーと共に『Basic Phylogenetic Combinatorics』としてケンブリッジ大学出版局から出版された。

上海

2003年にビーレフェルトを退職した後、ドレスはライプツィヒのマックス・プランク数学研究所に行き、そこで長年外部科学メンバーとして留まった。2005年、マックス・プランク協会と中国科学院の合弁事業である上海計算生物学パートナー研究所の創設ディレクターとなり、2010年まで務めた。1998年のベルリンでの国際数学者会議では招待講演者であった。

なぜアンドレアスは天才と呼ばれるのか

ドレスを際立たせる品質は構造的転移である。ある問題のために開発された機械が、密かに全く別のことに関するものであるという認識である。これは彼のキャリアのあらゆる段階で見られる。1962年の計量平面に関する博士論文のために学んだ計量幾何学は、40年後、遺伝的距離の行列が木構造的であるかどうかを決定するための装置となった。表現論で培った代数的直感はマトロイド理論の代数化となり、それがトロピカル幾何学の基礎となった。タイリングのためにデラニー・ドレス記号を生み出した組み合わせ論的な目は、生物学的データのためにスプリット分解を生み出した目と明らかに同一である。ほとんどの数学者は深めるが、ドレスは翻訳した。一度行うのは幸運である。表現論、離散幾何学、マトロイド、数理生物学にわたって4回行うのは独特の精神の持ち主であり、3つの別々の分野で3つの別々の対象が彼の名を冠しているという事実は、その客観的な証拠である。

反論も述べる価値がある。ドレスは有名な未解決問題を解決しておらず、彼の貢献のどれもフィールズ賞の結果に伴うような特異な名声を持っていない。彼の最もよく知られた構成のいくつかは共同研究であった（デラニー・ドレス記号、フーバー、クーレン、モールトン、スピルナーとの系統発生の研究、他者が実質的に発展させたトロピカル幾何学の接続など）。彼の才能は、同僚が後に構築する枠組みを設定することにあることが多かった。彼はICMでは全体講演者ではなく招待講演者であり、彼の正式な栄誉は彼の影響力に比べれば控えめである。公平な評価は、彼が有名な問題の解決者というよりも、枠組みの例外的な生成者であり、隠れた類似性の素晴らしい識別者であったということである。数学の内部ではそれらは異なる評判であり、前者は過小評価されやすい。

遺産

系統発生組み合わせ論は現在、教科書、研究コミュニティ、進化生物学および配列解析における直接的な応用を持つ確立された分野であり、ドレスが創設した学問に最も近いものである。デラニー・ドレス記号は、周期的なタイリングの体系的な分類のための作業道具として残っている。ドレス空間はトロピカル幾何学の標準的な語彙の中に位置している。そして上海では、彼が設立を支援したパートナー研究所が、中国がゼロからこの分野を構築していた時期に、次世代の中国の計算生物学者を育成した。ビーレフェルト、ライプツィヒ、上海はそれぞれ彼を自分たちのものとして悼んだ。これは、一つの主題に主張されるほど長く一箇所に留まることのなかったキャリアの、ほぼ正しい説明である。