Évariste Galois

Évariste Galois

Évariste Galois (/ɡælˈwɑː/; francese: [evaʁist ɡalwa]; 25 ottobre 1811 – 31 maggio 1832) è stato un matematico e attivista politico francese. Ancora adolescente, riuscì a determinare una condizione necessaria e sufficiente affinché un'equazione polinomiale fosse risolubile per radicali, risolvendo così un problema aperto da 350 anni. Il suo lavoro ha gettato le basi per la teoria di Galois e la teoria dei gruppi, due rami fondamentali dell'algebra astratta.

Galois era un convinto repubblicano ed è stato fortemente coinvolto nel tumulto politico che ha circondato la Rivoluzione francese del 1830. A causa del suo attivismo politico, è stato arrestato ripetutamente, scontando una pena detentiva di diversi mesi. Per ragioni che rimangono oscure, poco dopo il suo rilascio dalla prigione, Galois combatté in un duello e morì per le ferite riportate.

Vita

### Primi anni

Galois nacque il 25 ottobre 1811 da Nicolas-Gabriel Galois e Adélaïde-Marie (nata Demante). Suo padre era un repubblicano e capo del partito liberale di Bourg-la-Reine. Il padre divenne sindaco del villaggio dopo che Luigi XVIII tornò sul trono nel 1814. Sua madre, figlia di un giurista, leggeva correntemente il latino e la letteratura classica ed è stata responsabile dell'istruzione del figlio per i suoi primi dodici anni.

Nell'ottobre 1823, entrò al Lycée Louis-le-Grand, dove il suo insegnante Louis Paul Émile Richard riconobbe la sua genialità. All'età di 14 anni, iniziò a interessarsi seriamente alla matematica.

Galois trovò una copia degli Éléments de Géométrie di Adrien-Marie Legendre, che, si dice, lesse "come un romanzo" e padroneggiò alla prima lettura. A 15 anni, leggeva gli articoli originali di Joseph-Louis Lagrange, come le Réflexions sur la résolution algébrique des équations che probabilmente motivarono il suo lavoro successivo sulla teoria delle equazioni, e Leçons sur le calcul des fonctions, un'opera destinata ai matematici professionisti; tuttavia, il suo lavoro scolastico rimase privo di ispirazione e i suoi insegnanti lo accusarono di darsi arie da genio.

### Matematico in erba

Nel 1828, Galois tentò l'esame di ammissione all'École Polytechnique, l'istituzione più prestigiosa per la matematica in Francia all'epoca, senza la solita preparazione in matematica, e fallì per mancanza di spiegazioni all'esame orale. Nello stesso anno, entrò all'École Normale (allora nota come l'École préparatoire), un'istituzione molto inferiore per gli studi matematici di allora, dove trovò alcuni professori solidali con lui.

L'anno successivo fu pubblicato il primo articolo di Galois, sulle frazioni continue semplici. Fu all'incirca nello stesso periodo che iniziò a fare scoperte fondamentali nella teoria delle equazioni polinomiali. Sottopose due articoli su questo argomento all'Accademia delle Scienze. Augustin-Louis Cauchy fu il revisore di questi articoli, ma si rifiutò di accettarli per la pubblicazione per ragioni che rimangono tuttora poco chiare. Tuttavia, nonostante molte affermazioni contrarie, si ritiene ampiamente che Cauchy avesse riconosciuto l'importanza del lavoro di Galois e che avesse semplicemente suggerito di combinare i due articoli in uno solo per poterlo presentare al concorso per il Gran Premio di Matematica dell'Accademia. Cauchy, un eminente matematico dell'epoca, pur con opinioni politiche diametralmente opposte a quelle di Galois, considerava il lavoro di Galois come un probabile vincitore.

Il 28 luglio 1829, il padre di Galois morì suicida dopo un'aspra disputa politica con il parroco del villaggio. Un paio di giorni dopo, Galois fece il suo secondo e ultimo tentativo di entrare alla Polytechnique e fallì ancora una volta. È indiscusso che Galois fosse più che qualificato; i resoconti divergono sul perché abbia fallito. I resoconti più plausibili affermano che Galois fece troppi salti logici e sconcertò l'incompetente esaminatore, il che fece infuriare Galois. La recente morte del padre potrebbe aver influenzato anche il suo comportamento.

Essendo stata negata l'ammissione all'École Polytechnique, Galois sostenne gli esami di Baccalaureate per entrare all'École Normale. Superò gli esami, ottenendo il diploma il 29 dicembre 1829. Il suo esaminatore di matematica riferì: "Questo studente è talvolta oscuro nell'esprimere le sue idee, ma è intelligente e mostra un notevole spirito di ricerca."

Galois sottopose il suo memoriale sulla teoria delle equazioni diverse volte, ma non fu mai pubblicato durante la sua vita. Sebbene il suo primo tentativo fosse stato rifiutato da Cauchy, nel febbraio 1830, seguendo il suggerimento di Cauchy, lo sottopose al segretario dell'Accademia, Joseph Fourier, per essere preso in considerazione per il Gran Premio dell'Accademia. Sfortunatamente, Fourier morì poco dopo e il memoriale andò perduto. Il premio sarebbe stato assegnato quell'anno a Niels Henrik Abel postumo e anche a Carl Gustav Jacob Jacobi. Nonostante il memoriale perduto, Galois pubblicò tre articoli quell'anno. Uno pose le basi per la teoria di Galois. Il secondo riguardava la risoluzione numerica delle equazioni (ricerca delle radici nella terminologia moderna). Il terzo fu importante nella teoria dei numeri, in cui il concetto di corpo finito fu articolato per la prima volta.

### Attivista politico

Galois visse durante un periodo di tumulto politico in Francia. Carlo X era succeduto a Luigi XVIII nel 1824, ma nel 1827 la sua fazione subì una grave battuta d'arresto elettorale e nel 1830 il partito liberale di opposizione divenne la maggioranza. Carlo, di fronte all'opposizione politica delle camere, mise in atto un colpo di stato ed emanò le sue famigerate Ordinanze di luglio, scatenando la Rivoluzione di luglio che si concluse con Luigi Filippo I diventato re. Mentre le loro controparti alla Polytechnique stavano facendo la storia per le strade, Galois, all'École Normale, era chiuso a chiave dal direttore della scuola. Galois si infuriò e scrisse una lettera feroce criticando il direttore, che sottopose alla Gazette des Écoles, firmando la lettera con il suo nome completo. Sebbene l'editore della Gazette abbia omesso la firma per la pubblicazione, Galois fu espulso.

Sebbene la sua espulsione sarebbe entrata formalmente in vigore il 4 gennaio 1831, Galois lasciò la scuola immediatamente e si unì all'unità di artiglieria della Guardia Nazionale, decisamente repubblicana. Divise il suo tempo tra il lavoro matematico e le sue affiliazioni politiche. A causa delle polemiche che circondavano l'unità, poco dopo che Galois ne divenne membro, il 31 dicembre 1830, l'artiglieria della Guardia Nazionale fu sciolta per paura che potesse destabilizzare il governo. Più o meno nello stesso periodo, diciannove ufficiali della precedente unità di Galois furono arrestati e accusati di cospirazione per rovesciare il governo.

Nell'aprile 1831, gli ufficiali furono assolti da tutte le accuse e, il 9 maggio 1831, fu tenuto un banchetto in loro onore, con la presenza di molte persone illustri, come Alexandre Dumas. Il procedimento divenne tumultuoso. A un certo punto, Galois si alzò e propose un brindisi in cui disse: "A Luigi Filippo", con un pugnale sopra la sua coppa. I repubblicani al banchetto interpretarono il brindisi di Galois come una minaccia alla vita del re e applaudirono. Fu arrestato il giorno seguente a casa di sua madre e tenuto in custodia nella prigione di Sainte-Pélagie fino al 15 giugno 1831, quando subì il processo. L'avvocato difensore di Galois sostenne abilmente che Galois aveva in realtà detto: "A Luigi Filippo, se tradisce", ma che la qualifica era stata soffocata dagli applausi. Il procuratore fece qualche altra domanda e, forse influenzata dalla giovinezza di Galois, la giuria lo assolse quello stesso giorno.

Nel seguente giorno della Bastiglia (14 luglio 1831), Galois era alla testa di una protesta, indossando l'uniforme dell'artiglieria sciolta, e arrivò pesantemente armato con diverse pistole, un fucile carico e un pugnale. Fu nuovamente arrestato. Durante la sua permanenza in prigione, Galois una volta bevve alcol per la prima volta su incitamento dei suoi compagni di cella. Uno di questi detenuti, François-Vincent Raspail, registrò ciò che Galois disse mentre era ubriaco in una lettera del 25 luglio. Estratto dalla lettera:

> E ti dico, morirò in un duello in occasione di qualche coquette de bas étage. Perché? Perché lei mi inviterà a vendicare il suo onore che un altro ha compromesso.

Sai cosa mi manca, amico mio? Posso confidarlo solo a te: è qualcuno che posso amare e amare solo nello spirito. Ho perso mio padre e nessuno lo ha mai sostituito, mi senti...?

Raspail continua dicendo che Galois, ancora in delirio, tentò il suicidio e che ci sarebbe riuscito se i suoi compagni di cella non lo avessero fermato con la forza. Mesi dopo, quando il processo di Galois ebbe luogo il 23 ottobre, fu condannato a sei mesi di prigione per aver indossato illegalmente un'uniforme. Mentre era in prigione, continuò a sviluppare le sue idee matematiche. Fu rilasciato il 29 aprile 1832.

### Giorni finali

Galois tornò alla matematica dopo la sua espulsione dall'École Normale, sebbene continuasse a dedicare tempo ad attività politiche. Dopo che la sua espulsione divenne ufficiale nel gennaio 1831, tentò di avviare una classe privata di algebra avanzata che attirò un certo interesse, ma questo scemò, poiché sembrava che il suo attivismo politico avesse la priorità. Siméon Denis Poisson gli chiese di sottoporre il suo lavoro sulla teoria delle equazioni, cosa che fece il 17 gennaio 1831. Intorno al 4 luglio 1831, Poisson dichiarò il lavoro di Galois "incomprensibile", dichiarando che "l'argomentazione [di Galois] non è né abbastanza chiara né abbastanza sviluppata per permetterci di giudicare il suo rigore"; tuttavia, il rapporto di rifiuto termina con una nota incoraggiante: "Suggeriremmo quindi che l'autore pubblichi l'intera sua opera per formare un'opinione definitiva". Sebbene il rapporto di Poisson sia stato redatto prima dell'arresto di Galois del 14 luglio, ci vollero fino a ottobre per raggiungere Galois in prigione. Non sorprende, alla luce del suo carattere e della sua situazione all'epoca, che Galois abbia reagito violentemente alla lettera di rifiuto e abbia deciso di abbandonare la pubblicazione dei suoi articoli tramite l'Accademia e pubblicarli invece privatamente tramite il suo amico Auguste Chevalier. Apparentemente, tuttavia, Galois non ignorò il consiglio di Poisson, poiché iniziò a raccogliere tutti i suoi manoscritti matematici mentre era ancora in prigione e continuò a perfezionare le sue idee fino al suo rilascio il 29 aprile 1832, dopo di che fu in qualche modo convinto a partecipare a un duello.

Il fatale duello di Galois ebbe luogo il 30 maggio. Le vere motivazioni dietro il duello sono oscure. Ci sono state molte speculazioni al riguardo. Ciò che si sa è che, cinque giorni prima della sua morte, scrisse una lettera a Chevalier che allude chiaramente a una storia d'amore finita.

Alcune indagini d'archivio sulle lettere originali suggeriscono che la donna di interesse romantico fosse Stéphanie-Félicie Poterin du Motel, figlia del medico dell'ostello in cui Galois soggiornò durante gli ultimi mesi della sua vita. Frammenti di lettere da lei, copiati dallo stesso Galois (con molte parti, come il suo nome, cancellate o deliberatamente omesse), sono disponibili. Le lettere suggeriscono che Poterin du Motel avesse confidato alcuni dei suoi problemi a Galois, e questo potrebbe averlo spinto a provocare lui stesso il duello per suo conto. Questa congettura è supportata anche da altre lettere che Galois scrisse in seguito ai suoi amici la notte prima di morire. Il cugino di Galois, Gabriel Demante, quando gli fu chiesto se conoscesse la causa del duello, menzionò che Galois "si ritrovò in presenza di un presunto zio e di un presunto fidanzato, ognuno dei quali provocò il duello". Lo stesso Galois esclamò: "Sono vittima di un'infame civetta e dei suoi due sciocchi".

Per quanto riguarda il suo avversario nel duello, Alexandre Dumas nomina Pescheux d'Herbinville, che in realtà era uno dei diciannove ufficiali di artiglieria la cui assoluzione era stata celebrata al banchetto che causò il primo arresto di Galois. Tuttavia, Dumas è solo in questa asserzione, e se avesse ragione non è chiaro perché d'Herbinville sarebbe stato coinvolto. È stato ipotizzato che fosse il "presunto fidanzato" di Poterin du Motel all'epoca (lei alla fine sposò qualcun altro), ma non sono state trovate prove chiare a sostegno di questa congettura. D'altra parte, i ritagli di giornale esistenti di pochi giorni dopo il duello forniscono una descrizione del suo avversario (identificato dalle iniziali "L.D.") che sembra applicarsi più accuratamente a uno degli amici repubblicani di Galois, molto probabilmente Ernest Duchatelet, che fu imprigionato con Galois con le stesse accuse. Date le informazioni contrastanti disponibili, la vera identità del suo assassino potrebbe benissimo essere persa nella storia.

Qualunque fossero le ragioni dietro il duello, Galois era così convinto della sua imminente morte che rimase sveglio tutta la notte a scrivere lettere ai suoi amici repubblicani e a comporre quello che sarebbe diventato il suo testamento matematico, la famosa lettera ad Auguste Chevalier delineando le sue idee, e tre manoscritti allegati. Il matematico Hermann Weyl disse di questo testamento: "Questa lettera, se giudicata dalla novità e dalla profondità delle idee che contiene, è forse lo scritto più sostanzioso dell'intera letteratura dell'umanità". Tuttavia, la leggenda di Galois che versa i suoi pensieri matematici sulla carta la notte prima di morire sembra essere stata esagerata. In questi documenti finali, delineò i contorni di alcuni lavori che stava svolgendo nell'analisi e annotò una copia del manoscritto sottoposto all'Accademia e altri documenti.

La mattina presto del 30 maggio 1832, fu colpito all'addome, abbandonato dai suoi avversari e dai suoi stessi padrini, e trovato da un contadino di passaggio. Morì la mattina seguente alle dieci all'Hôpital Cochin (probabilmente di peritonite), dopo aver rifiutato i servizi di un prete. Il suo funerale finì in rivolte. C'erano piani per iniziare una rivolta durante il suo funerale, ma nello stesso periodo i leader seppero della morte del generale Jean Maximilien Lamarque e la rivolta fu posticipata senza che si verificasse alcuna sollevazione fino al 5 giugno. Solo il fratello minore di Galois fu informato degli eventi prima della morte di Galois. Galois aveva 20 anni. Le sue ultime parole al fratello minore Alfred furono:

> "Ne pleure pas, Alfred ! J'ai besoin de tout mon courage pour mourir à vingt ans !" (Non piangere, Alfred! Ho bisogno di tutto il mio coraggio per morire a vent'anni!)

Il 2 giugno, Évariste Galois fu sepolto in una fossa comune del cimitero di Montparnasse la cui posizione esatta è sconosciuta. Nel cimitero della sua città natale – Bourg-la-Reine – fu eretto un cenotafio in suo onore accanto alle tombe dei suoi parenti.

Nel 1842, Joseph Liouville iniziò a studiare i documenti inediti di Galois e ne riconobbe il valore nel 1843. Non è chiaro cosa sia successo nei dieci anni tra il 1832 e il 1842 né cosa abbia finalmente ispirato Liouville a iniziare a leggere i documenti di Galois. Jesper Lützen esplora questo argomento in modo approfondito nel Capitolo XIV, "Teoria di Galois", del suo libro su Joseph Liouville senza giungere a conclusioni definitive.

È certamente possibile che i matematici (incluso Liouville) non volessero pubblicizzare i documenti di Galois perché Galois era un attivista politico repubblicano morto 5 giorni prima della Ribellione di Giugno, un'insurrezione antimonarchica fallita dei repubblicani parigini. Nel necrologio di Galois, il suo amico Auguste Chevalier accusò quasi gli accademici dell'École Polytechnique di aver ucciso Galois poiché, se non avessero rifiutato il suo lavoro, sarebbe diventato un matematico e non si sarebbe dedicato all'attivismo politico repubblicano per il quale alcuni credevano fosse stato ucciso. Dato che la Francia viveva ancora all'ombra del Regime del Terrore e dell'era napoleonica, Liouville potrebbe aver aspettato che il tumulto politico si placasse (dalla fallita Ribellione di Giugno e le sue conseguenze) prima di rivolgere la sua attenzione ai documenti di Galois.

Liouville pubblicò finalmente i manoscritti di Galois nel numero di ottobre-novembre 1846 del Journal de Mathématiques Pures et Appliquées. Il contributo più famoso di Galois fu una prova innovativa del fatto che non esiste una formula quintica – cioè, che le equazioni di quinto grado e superiori non sono generalmente risolubili per radicali. Sebbene Niels Henrik Abel avesse già dimostrato l'impossibilità di una "formula quintica" per radicali nel 1824 e Paolo Ruffini avesse pubblicato una soluzione nel 1799 che si rivelò errata, i metodi di Galois portarono a ricerche più approfondite in quella che oggi viene chiamata teoria di Galois, che può essere utilizzata per determinare, per qualsiasi equazione polinomiale, se essa ha una soluzione per radicali.

Contributi alla matematica

Dalle righe finali di una lettera di Galois al suo amico Auguste Chevalier, datata 29 maggio 1832, due giorni prima della morte di Galois:

> Tu prieras publiquement Jacobi ou Gauss de donner leur avis, non sur la vérité, mais sur l'importance des théorèmes.

Après cela, il y aura, j'espère, des gens qui trouveront leur profit à déchiffrer tout ce gâchis.

(Chiedi a Jacobi o Gauss pubblicamente di dare la loro opinione, non sulla verità, ma sull'importanza di questi teoremi. Più tardi ci saranno, spero, alcune persone che troveranno vantaggioso decifrare tutto questo disordine.)

All'interno delle circa 60 pagine delle opere raccolte di Galois ci sono molte idee importanti che hanno avuto conseguenze di vasta portata per quasi tutti i rami della matematica. Il suo lavoro è stato paragonato a quello di Niels Henrik Abel (1802–1829), un matematico contemporaneo che morì anch'egli in giovanissima età, e gran parte del loro lavoro ebbe una significativa sovrapposizione.

### Algebra

Sebbene molti matematici prima di Galois avessero preso in considerazione quelli che oggi sono noti come gruppi, fu il primo a usare la parola gruppo (in francese groupe) in un senso vicino al senso tecnico che si intende oggi, rendendolo tra i fondatori del ramo dell'algebra noto come teoria dei gruppi. Chiamò la decomposizione di un gruppo nelle sue classi laterali sinistre e destre una decomposizione propria se le classi laterali sinistre e destre coincidono, il che porta alla nozione di quelli che oggi sono noti come sottogruppi normali. Introdusse anche il concetto di corpo finito (noto anche come campo di Galois in suo onore) essenzialmente nella stessa forma in cui è inteso oggi.

Nella sua ultima lettera a Chevalier e nei manoscritti allegati, il secondo di tre, fece studi di base sui gruppi lineari su campi finiti:

Costruì il gruppo lineare generale su un campo primo, GL(ν, p) e calcolò il suo ordine, studiando il gruppo di Galois dell'equazione generale di grado p.

- Costruì il gruppo lineare speciale proiettivo PSL(2,p). Galois li costruì come trasformazioni lineari frazionarie e osservò che erano semplici eccetto se p era 2 o 3. Queste furono la seconda famiglia di gruppi semplici finiti, dopo i gruppi alterni. - Notò il fatto eccezionale che PSL(2,p) è semplice e agisce su p punti se e solo se p è 5, 7 o 11.

### Teoria di Galois

Il contributo più significativo di Galois alla matematica è il suo sviluppo della teoria di Galois. Si rese conto che la soluzione algebrica di un'equazione polinomiale è correlata alla struttura di un gruppo di permutazioni associato alle radici del polinomio, il gruppo di Galois del polinomio. Scoprì che un'equazione poteva essere risolta per radicali se si riusciva a trovare una serie di sottogruppi del suo gruppo di Galois, ognuno normale nel suo successore con quoziente abeliano, cioè il suo gruppo di Galois è risolubile. Questo si rivelò un approccio fertile, che i matematici successivi adattarono a molti altri campi della matematica oltre alla teoria delle equazioni a cui Galois lo applicò originariamente.

### Analisi

Galois diede anche alcuni contributi alla teoria degli integrali abeliani e delle frazioni continue.

Come scritto nella sua ultima lettera, Galois passò dallo studio delle funzioni ellittiche alla considerazione degli integrali dei differenziali algebrici più generali, oggi chiamati integrali abeliani. Classificò questi integrali in tre categorie.

### Frazioni continue

Nel suo primo articolo nel 1828, Galois provò che la frazione continua regolare che rappresenta un irrazionale quadratico ζ è puramente periodica se e solo se ζ è un irrazionale ridotto, cioè,

ζ > 1

{\displaystyle \zeta >1}

e il suo coniugato

η

{\displaystyle \eta }

soddisfa

− 1 < η < 0

{\displaystyle -1<\eta <0}

.

Infatti, Galois mostrò più di questo. Provò anche che se ζ è un irrazionale quadratico ridotto e η è il suo coniugato, allora le frazioni continue per ζ e per (−1/η) sono entrambe puramente periodiche, e il blocco che si ripete in una di quelle frazioni continue è l'immagine speculare del blocco che si ripete nell'altra. In simboli abbiamo

ζ

= [

a

0

;

a

1

,

a

2

, … ,

a

m − 1

¯

]

− 1

η

= [

a

m − 1

;

a

m − 2

,

a

m − 3

, … ,

a

0

¯

]

{\displaystyle {\begin{aligned}\zeta &=[\,{\overline {a_{0};a_{1},a_{2},\dots ,a_{m-1}}}\,]\\[3pt]{\frac {-1}{\eta }}&=[\,{\overline {a_{m-1};a_{m-2},a_{m-3},\dots ,a_{0}}}\,]\,\end{aligned}}}

dove ζ è un qualsiasi irrazionale quadratico ridotto e η è il suo coniugato.

Da questi due teoremi di Galois si può dedurre un risultato già noto a Lagrange. Se r > 1 è un numero razionale che non è un quadrato perfetto, allora

r

=

[

a

0

;

a

1

,

a

2

, … ,

a

2

,

a

1

, 2

a

0

¯

]

.

{\displaystyle {\sqrt {r}}=\left[\,a_{0};{\overline {a_{1},a_{2},\dots ,a_{2},a_{1},2a_{0}}}\,\right].}

In particolare, se n è un qualsiasi intero positivo che non è un quadrato, lo sviluppo in frazione continua regolare di √n contiene un blocco che si ripete di lunghezza m, in cui i primi m − 1 denominatori parziali formano una stringa palindroma.